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1、经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用第四章第四章 向量空间向量空间 4.1 向量空间向量空间4.2 向量内积向量内积4.3 正交矩阵正交矩阵l l 的标准正交基的标准正交基的标准正交基的标准正交基l l 两组标准正交基间的过渡矩阵两组标准正交基间的过渡矩阵两组标准正交基间的过渡矩阵两组标准正交基间的过渡矩阵l l 正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质正交矩阵及其性质l l 求标准正交基的方法求标准正交基的方法求标准正交基的方法求标准正交基的方法经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消
2、费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用【注】【注】1标准正交基标准正交基不唯一不唯一；2特点特点:设设 是是 的一组标准正交基的一组标准正交基,则则例如例如定义定义1 中的中的 n 个向量个向量 满足满足(1)两两正交两两正交(2)都是单位向量都是单位向量,即即则称则称为为的一组的一组标准正交基标准正交基.设设一、一、的标准正交基的标准正交基经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用二、两组标准正交基间的过渡矩阵二、两组标准正交基间的过渡矩阵 设设 与与 是是
3、的两组标准的两组标准正交基正交基,令令,由由 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为Q,即即 =Q,则则证明：因为证明：因为 =Q,则则 T=QT T,所以所以 T =QT T Q,又因为又因为 与与 均为标准正交基均为标准正交基,所以所以 T =E,T =E,故故 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用性质性质(1)n阶矩阵阶矩阵Q 为正交矩阵为正交矩阵(2)Q 为正交矩阵为正交矩阵,则则 也是正交矩阵也是正交矩阵;(3)若若P,Q 都是都是n阶正交矩阵阶正交矩阵,则则PQ 也是也是n阶正交矩阵阶正交矩阵;定
4、义定义2 实数域实数域 R 上的上的 n 阶矩阵阶矩阵 Q 满足满足 称称 Q 为为正交矩阵正交矩阵.则则如果如果 ,则则Q 为正交矩阵为正交矩阵.进而进而,给出等价定义给出等价定义:(4)Q为正交矩阵为正交矩阵,则则 三、正交矩阵及其性质三、正交矩阵及其性质经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用1若若 和和 均是的标准正交基均是的标准正交基,则过渡矩阵则过渡矩阵Q是正交是正交矩阵矩阵.2若若 是标准正交基是标准正交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正交是标准正交基基.3若若 是标准正交基是标准正
5、交基,Q是正交矩阵是正交矩阵,则则 是标准正是标准正交基交基.小结：小结：设设定理定理 设设,则则为正交矩阵为正交矩阵 为为 的一组标准正交基的一组标准正交基.列向量组列向量组为为 的一组标准正交基的一组标准正交基.行向量组行向量组经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1 设设 是是 的一组标准正交基的一组标准正交基,证明证明是一组标准正交基是一组标准正交基.证明：设证明：设 则则 且且 即即 Q 为正交矩阵为正交矩阵,所以所以 是一组标准正交基是一组标准正交基.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，
6、应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例2 设设A,B为同阶正交矩阵为同阶正交矩阵,下面错误的是下面错误的是()(1)A1为正交矩阵；为正交矩阵；(2)A*为正交矩阵；为正交矩阵；(3)AB 为正交矩阵；为正交矩阵；(4)A+B 为正交矩阵。为正交矩阵。答：答：(4)不正确。不正确。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3 设设设三维向量设三维向量 的长度的长度|8,则则|P|？【注】【注】设设 ,为为n维向量维向量,在在n阶正交矩阵阶正交矩
7、阵A的作用下的作用下|A|=|,且且 T =(A)T(A).向量向量 在正交矩阵在正交矩阵A作用下变为作用下变为A 称为正交变换称为正交变换.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用四、求标准正交基的方法四、求标准正交基的方法1施密特正交化方法施密特正交化方法设设是是 Rn 中一组给定的基中一组给定的基,令令 即即,则则 是与是与 等价且两两正交等价且两两正交的向量组的向量组.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
8、2在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：1用施密特正交化方法用施密特正交化方法,将其化为正交向量组将其化为正交向量组;2将正交向量组中每个向量单位化将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化也称标准化).例例4 已知已知 是是 的一组基，的一组基，将其化为标准正交基将其化为标准正交基.解答见书上解答见书上187页例页例4。经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5 设设 是是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，求求 的一组标准正交基的一组标准正交基.作业作业:P162 14,16,17,18(2),1924,25(1),26,27,28