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1、线性代数1.内容简介内容简介 行列式、矩阵、行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、标维向量、线性方程组、标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论基础。理论基础。Leibniz在十七世纪就在十七世纪就有了行列式的概念。有了行列式的概念。Vandermonde是第一个对是第一个对行列式理论做出连贯的逻行列式理论做出连贯的逻辑阐述的人。辑阐述的人。Cayley被公被公认为矩阵论认为矩阵论的创立者。的创立者。线性代数前言线性代数前言 矩阵论在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、经济学中有大量应用的数学分支。矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。2.课程特
2、点课程特点 抽象性强，应用性强。抽象性强，应用性强。 以离散变量为研究对象。以离散变量为研究对象。3.教学组织教学组织 以课堂教学为主。以课堂教学为主。 注重讲解。注重讲解。 抓紧课下的学习、答疑与练习。抓紧课下的学习、答疑与练习。4.学习要求学习要求 在基本概念上下功夫。在基本概念上下功夫。 勤于思考，勇于探索。勤于思考，勇于探索。 培养能力。培养能力。 认真听讲，独立完成作业。认真听讲，独立完成作业。5.教学参考书教学参考书 大学数学学习指南大学数学学习指南线性代数线性代数 山东大学出版社出版山东大学出版社出版多做练习啊！矩阵的概念矩阵的概念 1.矩阵的定义矩阵的定义 方程组方程组mnmn
3、mmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系数排成一个矩形数表系数排成一个矩形数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211这就是这就是矩阵矩阵由由m n个数按一定的个数按一定的次序排成的次序排成的m行行n列的列的矩形数表称为矩形数表称为m n矩矩阵阵,简称矩阵简称矩阵.横的各排称为矩阵的行横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列竖的各排称为矩阵的列ija称为矩阵的第称为矩阵的第i行行j列的元素列的元素.元素为实数的称为实矩元素为实数的称为实矩阵阵, ,我们只讨论实矩阵我们只讨论实矩阵. .矩阵通常用大写字母矩阵通常用大写字母A
4、、B、C等表示，例如等表示，例如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为简记为nmijaA)()(11211naaa12111maaa行矩阵行矩阵列矩阵列矩阵脚标nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211当当m=n时，即矩阵时，即矩阵的行数与列数相同的行数与列数相同时时,称矩阵为方阵。称矩阵为方阵。主对角线主对角线几种特殊形式的矩阵几种特殊形式的矩阵0000. 1nmOnnaa11. 2kk. 311. 4nEnnnnaaaaaa22211211. 5nnnnaaaaaa212221116.梯形阵 设nmijaA)(若零行全在非零行的下面若零行全在非零行
5、的下面)且各行中第一个（最后一个且各行中第一个（最后一个)非零元素前非零元素前(后后)面零元素的个数随行数增大而增多面零元素的个数随行数增大而增多(减少减少),则称为则称为上上(下下)梯形矩阵梯形矩阵.简称为上简称为上(下下)梯形阵梯形阵.它们统称为梯形阵7332500321000690000100220001000000000087005432110000980001221031207500000004320060500001000010032112344它们是梯形阵吗它们是梯形阵吗? ?不是不是!请你记住梯形阵的特点请你记住梯形阵的特点,尊重梯形阵的定义尊重梯形阵的定义.梯形阵是最常用的矩
6、阵梯形阵是最常用的矩阵! !矩阵的运算矩阵的运算一、线性运算一、线性运算1.相等相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同 的行数与列数的行数与列数, 且对应元素相等且对应元素相等.即即nmijaA nmijbB=型号相同型号相同ijijba 对应元素相等对应元素相等2.加、减法加、减法nmijaA nmijbB设矩阵设矩阵与定义定义nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(显然显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O负矩阵负矩阵nmijaA的负矩阵为的负矩阵为nmijaAnmijaA记作记作 ,即即A3.数乘数乘m
7、nmmnnkakakakakakakakaka212222111211称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kAkA1kA1kAAA 1OoAkBkABAklAkAAlkAkllAk)(,)( ,)()(矩阵的乘法矩阵的乘法3132121111xaxaxay3232221212xaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx与与232132212121113113211211111)()(tbababatbababay232232222122113123212211212)()(tbababatbababay23222
8、1131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa232221131211aaaaaa323122211211bbbbbbsmijaA)(nsijbB)(一般地，有一般地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211=ABC )(21isiiaaasjjjbbb21ijcnssmnmBAC1111,11111BA：例AB0000= O2222BABAAB 显然显然这正是这正是矩阵与矩阵与数的不同数的不同1101,1241,
9、63422CBA：例6946,6946ACABACAB CB 但是但是这又是这又是矩阵与矩阵与数的不同数的不同请记住：请记住：1.矩阵乘法不满足交换率；矩阵乘法不满足交换率；2.不满足消去率；不满足消去率；3.有非零的零因子。有非零的零因子。nnmnmmEAAAEkBABkAABkCABAACBACABCBABCACAB. 4)()()(. 3)()(. 2)().(1方阵的正整数幂方阵的正整数幂AAAAkEA 0lklkAAAkkkBAAB)(问题问题kkkBAAB)(成立的成立的条件条件?矩阵的转置矩阵的转置nmijaAmnjiaTAA或TTTTTTTkAkABABAAA)()()(TAB
10、)(TTAB请记牢请记牢!AB=BAsmijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjibababac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是也就是TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajicijd=对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵AAT:对称阵AAT:反对称阵TTTAAAAAA,TAA22TTAAAAA任一方阵都可以分解成任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和对称阵与反对称阵的和.jiijaa 0iijiijaaa且例例1:设矩阵设矩阵A与与B为同阶对称阵，证明为同阶对称阵，证明A
11、B是对称是对称 阵的充要条件为阵的充要条件为AB=BA.证：证：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB :BAAB TTTABAB)(BAAB为对称阵。AB例例2：求矩阵的幂：求矩阵的幂cossinsincosA?nA2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscossinsincoscossinsincos2A) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAn设cossinsincos) 1cos() 1sin() 1sin() 1cos(1nnnnAAAnn则nnnncossinsincosnnnnAncossinsincos