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1、1第第二二节节2, 111 aaaa则矩阵则矩阵 称为称为A的逆矩阵的逆矩阵.1 A在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有其中其中 为为 a 的倒数，的倒数，aa11 （或称（或称 a 的逆）；的逆）；单位阵单位阵E类似于类似于1在数的乘法运算中的地位在数的乘法运算中的地位.那么，对于矩阵那么，对于矩阵A ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,1 A,11EAAAA 使得使得对方阵对方阵, 有有AE=EA=A,3定义定义,EBAAB .1 A例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB设设A是是n阶方阵，如果存在阶方阵，如果存在
2、n阶方阵，使得阶方阵，使得 则称则称A为可逆矩阵，而为可逆矩阵，而B称为称为A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为 说明说明 (1) 只有方阵才可能可逆只有方阵才可能可逆;(2) 逆阵若存在逆阵若存在, 则必唯一则必唯一.证证设设B和和C都是都是A的可逆矩阵，则的可逆矩阵，则BBCA)( )(ABC CE EB .C 4EBAAB 问题问题: (1) 什么条件下什么条件下A才可逆才可逆?(2) 如果可逆如果可逆, 如何求如何求 ?1 A若若A可逆可逆,EAB 两边取行列式两边取行列式,1 EBAAB.0 A若若,0 A则称则称A是是非奇异非奇异的的( (或或非退化非退化的的);); 否则称否则称A为奇
3、异的为奇异的( (或退化的或退化的) )。0 A是是A可逆的必要条件可逆的必要条件.下面说明这个条件也是充分的下面说明这个条件也是充分的.5定义定义 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明为为A的的伴随矩阵伴随矩阵 .设设n阶阶方方阵阵nnijaA )(， ijA为为A中中元元素素ija的的 代数余子式代数余子式, , 称矩阵称矩阵回忆行列式按行展开公式回忆行列式按行展开公式: : .,0,2211kikiAAaAaAainknikik6 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111
4、211 OAAAO,EA 类似有类似有,.EAAA 7 矩阵矩阵A是可逆的充分必要条件是是可逆的充分必要条件是A非奇异。当非奇异。当A可逆时，有可逆时，有 定理定理.11 AAA证证充分性充分性:,EAAAAA 由由,0 A若若.)1()1(EAAAAAA 则则推论推论.),(1 ABEBAEAB则则或或若若, 1 EBA, 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA)(1 )(1ABA 证证EA1 .1 A8求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 331212321A例例1解解.A可可逆逆所所以以11A12A,33321 ,43122 3 4 13A,53112 A5331212
5、321 A 32 1 0143 4 , 0 03 4 0109 A 331212321A, 1, 0, 3232221 AAA. 3, 4, 1333231 AAA同理可求得同理可求得103 543 341 . 31540413341 AAA11 对于对于3 3阶以上的矩阵，用阶以上的矩阵，用伴随矩阵法伴随矩阵法求逆矩阵很求逆矩阵很麻烦，以后将给出另一种求法麻烦，以后将给出另一种求法-初等变换法初等变换法。 10例例2，设设 dcbaA，则则bcadA 故故A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是,0 bcad且且bcadA 11例如，例如，14151 1154.1154 . dc b a1
6、1例例3 对角阵对角阵),(diag21naaaA 可逆的充分必要可逆的充分必要条件是条件是, ),1(0niai 且且.11211121 nnaaaaaaOOOO例如，例如，1321 .3/ 12/ 11 12例例4.112510324123011111123011111 )2( X ;412341511 X解矩阵方程解矩阵方程解解 41231154.642817 412341511X(1) 方程两端左乘矩阵方程两端左乘矩阵,41511 13 251121131112510324251121131.471202121529307513 1112301111111251032412301111
7、1 X.112510324123011111123011111 )2( X14例例5解解,61BAABAA 设设，其其中中 714121Aoo.B求求,61ABABAA ,6)(1ABAEA ,6)(1EBEA 11)(6 EAB11000100017000400026 16000300016 610003100016.100020006 15.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例6, 022 EAA由由,2)(EEAA 得得,)(21EEAA ,可可逆逆故故A. )(211EAA 且且022 EAA又又由由,0
8、4)3( )2( EEAEA,)3(41)2(EEAEA ,2可逆可逆故故EA . )3(41)2(1EAEA 且且证证16逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质.)(, )1(111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0, )2(AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若, )3(ABBA.1)(11 AA 1)(B1 1 ABA)( )(11 ABAB1 AEA.1EAA 证证11)( ABBA. ) (1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A.)()(, )4(AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 TTA
9、A)(1 TE .E 证证TAA)(1 17., )5(11 AAA则有则有可逆可逆若若,1EAA ,11 AA.AA11 因此因此注意注意A，B可逆，可逆，A+ +B不一定可逆，不一定可逆，即使可逆，一般即使可逆，一般.)(111 BABA可逆阵可逆阵A若对称若对称( (反对称反对称) )，则则 也对称也对称( (反对称反对称) ).1 ATA )(1 1)( TA,1 A对称对称;TA )(1 1)( TA1)( A反对称反对称.,1 A设设CBA,为为同同阶阶方方阵阵，ACAB 。 若若A可可逆逆，则则CB 。 对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立。对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成
10、立。证证18线性方程组线性方程组 .,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa写成矩阵形式写成矩阵形式,bAx 其中其中,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxx,21 mbbbb,0 A若若,1bAx 则则此即克莱姆法则。此即克莱姆法则。19例例7证证若若n阶阶矩矩阵阵A可可逆逆，证证明明1 nAA。 在在EAAA 两两边边取取行行列列式式得得 ,nAAA 因因为为A可可逆逆，故故0 A。 所以所以.1 nAA20例例8证证若若A可可逆逆，试试证证 A也也可可逆逆，且且AAA1)(1 。 由由E
11、AAA ， 因因为为A可可逆逆，故故0 A。 ,)1( EAAA .1)(1AAA 即即 A也也可可逆逆，且且 21例例9解解设设A为为 3 阶阶方方阵阵，且且,21 A求求行行列列式式 *12)3(AA 的的值值。 (其其中中 A为为A的的伴伴随随矩矩阵阵） 1* AAA AA2)3(1,211 A1131 AA132 A2278 .2716 1278 A22练习：练习：P69 习题二习题二补充题补充题若若方方阵阵A与与B可可交交换换, ,且且A可可逆逆, ,则则1 A与与B也也可可交交换换. . 23补充题补充题若若方方阵阵A与与B可可交交换换, ,且且A可可逆逆, ,则则1 A与与B也也可可交交换换. . 证证,BAAB , 1BAAB , 11BABA 即即1 A与与B也也可可交交换换. .