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1、内容：内容：1.1.简谐振动动力学简谐振动动力学 2.2.简谐振动运动学简谐振动运动学 3.3.简谐振动的能量简谐振动的能量 4.4.简谐振动的合成简谐振动的合成 5.5.阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振重点：简谐振动的证明、特征量、运动方程、合成重点：简谐振动的证明、特征量、运动方程、合成师大家教http:/本讲稿第一页，共六十五页 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动.机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动其运动形式有直线、平面和空间振动.简谐运动简谐运动 最简单、
2、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解师大家教http:/本讲稿第二页，共六十五页13.1 13.1 简谐振动动力学简谐振动动力学模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的模型往往是最有用模型愈简单，就和现实离得愈远。然而最简单的模型往往是最有用的。这就是为什么数学在物理学中是那么有用的工具。它是抽象化的。这就是为什么数学在物理学中是那么有用的工具。它是抽象化的终极。的终极。-柯尔柯尔物理学与头脑相遇的地方物理学与头脑相遇的地方师大家教http:/本讲稿第三页，共六十五页令令1.动力学方程动力学方程 若某物理量满足若某物理量满足左方程左方程，则其，则
3、其运动方程可用时间运动方程可用时间 t 的正余弦函的正余弦函数形式描述，该物理量的变化称数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。为简谐振动。师大家教http:/本讲稿第四页，共六十五页2.运动学方程运动学方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定师大家教http:/本讲稿第五页，共六十五页av师大家教http:/本讲稿第六页，共六十五页单单 摆：摆：细线：长细线：长摆球：质量摆球：质量切向受力切向受力规定逆时针为正方向规定逆时针为正方向师大家教http:/本讲稿第七页，共六十五页例例131 一立方体木块浮于静水中，质量为一立方体木块浮于静水中，质量为m。若把木块完。若把木块完全压
4、入水中，然后放手任其运动，在不计水对木块的粘滞阻全压入水中，然后放手任其运动，在不计水对木块的粘滞阻力时，求证木块的运动是简谐振动并求振动周期。力时，求证木块的运动是简谐振动并求振动周期。师大家教http:/本讲稿第八页，共六十五页1 1）圆频率圆频率弹簧振子周期弹簧振子周期周期周期频率频率仅与振动系统仅与振动系统本身本身的的物理性质有关物理性质有关注意注意3.三个特征量三个特征量角频率角频率 描述谐振运动的快慢描述谐振运动的快慢师大家教http:/本讲稿第九页，共六十五页2 2）振幅振幅A A解得解得在在 t=0 时刻的值时刻的值即初始条件即初始条件由初始条件决定由初始条件决定师大家教htt
5、p:/本讲稿第十页，共六十五页(1)x，v有一一对应的关系有一一对应的关系 例：例：当当时：时：当当时：时：相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量师大家教http:/本讲稿第十一页，共六十五页(3)(3)可用以方便地比较同频率谐振动的步调可用以方便地比较同频率谐振动的步调 t=0时，时，(2)每变化每变化的整数倍，的整数倍，x、v重复重复原来的值（回到原状态），最能直观、方便原来的值（回到原状态），最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。地反映出谐振动的周期性特征。初相初相 ：师大家教http:/本讲稿第十二页，共六十五页取取已知已知 求求讨论讨论师大家教http:/本讲稿第十
6、三页，共六十五页由振动曲线判断初相：由振动曲线判断初相：（2 2）与初相为零的余弦函数比较）与初相为零的余弦函数比较为四象限角为四象限角（1）师大家教http:/本讲稿第十四页，共六十五页例例133 一弹簧振子竖直悬挂时，弹簧伸长一弹簧振子竖直悬挂时，弹簧伸长9.8cm。现在使。现在使它在光滑水平面上做简谐振动。设当物体位于它在光滑水平面上做简谐振动。设当物体位于x轴正方向轴正方向离开平衡位置离开平衡位置4.0cm处时受到冲击力，使物体以指向平衡处时受到冲击力，使物体以指向平衡位置的位置的30cm/s的速度开始做简谐振动。试写出运动方程的速度开始做简谐振动。试写出运动方程式。式。竖直悬挂：竖直
7、悬挂：师大家教http:/本讲稿第十五页，共六十五页已知：已知：k.m.h.完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞求：求：T,A,mhm k解解：振动系统为（振动系统为（2 m,k)以物块和平板开始共同运动时刻为以物块和平板开始共同运动时刻为t=0以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点，向下为正。，向下为正。mhm kx完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：师大家教http:/本讲稿第十六页，共六十五页为三象限角为三象限角mhm kx碰撞前弹簧压缩碰撞前弹簧压缩l0,碰撞后碰撞后l1，则系统初始位置，则系统初始位置师大家教http:/本讲稿第十七页，共六十五页4.旋转矢量法旋转矢量法思考：思考：写出质点写出
8、质点 m 以角速率以角速率 沿半径沿半径 A 的圆周匀的圆周匀速运动的参数方程速运动的参数方程xyomAxy师大家教http:/本讲稿第十八页，共六十五页 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.师大家教http:/本讲稿第十九页，共六十五页旋转矢量简谐振动模 振幅A角速度角频率旋转周期振动周期t=0时，与x轴的夹角 初相t时刻，与x轴的夹角 相位在x轴上的投影 位移旋转矢量旋转矢量 与简谐振动的对应关系：与简谐振动的对应关系：师大家教http:/本讲稿第二十页，共六十五页 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转
9、矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图师大家教http:/本讲稿第二十一页，共六十五页旋转矢量法优点：旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量直观地表达谐振动的各特征量便于解题便于解题,特别是确定初相特别是确定初相便于振动合成便于振动合成由由x.v 的符号确定的符号确定 所在的象限所在的象限师大家教http:/本讲稿第二十二页，共六十五页讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差.1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间化所需的时间.师大家教http:/本讲稿第二十三页，共六十五页例例134 一质点
10、沿一质点沿x轴做简谐振动，振幅为轴做简谐振动，振幅为A，周期为，周期为T。（。（1）当）当t0时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移x0A/2，质点向，质点向x轴正轴正方向运动，求质点振动的初相；（方向运动，求质点振动的初相；（2）质点从）质点从x0处运动到处运动到x=A/2处最少需要多少时间？处最少需要多少时间？师大家教http:/本讲稿第二十四页，共六十五页同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们间的简谐运动，相位差表示它们间步调步调上的上的差异差异.（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）为其它为其它超前超前落后落后反相反相师大家教http:/本
11、讲稿第二十五页，共六十五页 练习练习 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 .1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停下后再处停下后再释放，求简谐运动方程；释放，求简谐运动方程；3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，而是具有向处时速度不等于零，而是具有向右的初速度右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；处时的速度；0.05师大家教http:/本讲稿第二十六页，共六十五页解解 （1）由旋转矢量
12、图可知由旋转矢量图可知师大家教http:/本讲稿第二十七页，共六十五页由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）（2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；师大家教http:/本讲稿第二十八页，共六十五页解解 （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.旋转矢量图可知旋转矢量图可知师大家教http:/本讲稿第二十九页，共六十五页 练习练习 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为
13、幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 （1 1）时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；师大家教http:/本讲稿第三十页，共六十五页解解师大家教http:/本讲稿第三十一页，共六十五页师大家教http:/本讲稿第三十二页，共六十五页起始时刻起始时刻 时刻时刻 （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要的最短时间的最短时间.师大家教http:/本讲稿第三十三页，共六十五页简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征4 4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反
14、2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述弹簧振子弹簧振子单摆单摆1 1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置师大家教http:/本讲稿第三十四页，共六十五页 以弹簧振子为例以弹簧振子为例13.3 简谐振动的能量简谐振动的能量师大家教http:/本讲稿第三十五页，共六十五页线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒师大家教http:/本讲稿第三十六页，共六十五页简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量师大家教http:/本讲稿第三十七页，共六十五页
15、简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变师大家教http:/本讲稿第三十八页，共六十五页能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导师大家教http:/本讲稿第三十九页，共六十五页 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解（1）师大家教http:/本讲稿第四十页，共六十五页师大家教http:/本讲稿第四十一页，共六
16、十五页一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成13.4 简谐振动的合成简谐振动的合成师大家教http:/本讲稿第四十二页，共六十五页两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合合成成后仍为后仍为简谐简谐运动运动师大家教http:/本讲稿第四十三页，共六十五页1 1）相位差相位差 讨论讨论师大家教http:/本讲稿第四十四页，共六十五页2 2）相位差相位差师大家教http:/本讲稿第四十五页，共六十五页3 3）一般情况一般情况2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱师大家教http:/本讲稿第四十六页，共六十五页二二 多个同方向同频
17、率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动师大家教http:/本讲稿第四十七页，共六十五页2 2）1 1）个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形.讨论讨论师大家教http:/本讲稿第四十八页，共六十五页三三 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的合成，简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍.师大家教http:/本讲稿第四
18、十九页，共六十五页合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分师大家教http:/本讲稿第五十页，共六十五页合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）师大家教http:/本讲稿第五十一页，共六十五页四四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或 （椭圆方程）（椭圆方程）讨论讨论师大家教http:/本讲稿第五十二页，共六十五页2 2）3 3）师大家教http:/本讲稿第五十三页，共六十五页用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图师大家教http:/本讲稿第五十四页，共六
19、十五页简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差师大家教http:/本讲稿第五十五页，共六十五页五五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成两相互垂直不同频率的简谐运动的合成测量振动频率和测量振动频率和相位的方法相位的方法李李 萨萨 如如 图图师大家教http:/本讲稿第五十六页，共六十五页13.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼力阻尼力弹性力弹性力弹簧振动系统：受到摩擦阻力弹簧振动系统：受到摩擦阻力令令一一 阻尼振动阻尼振动师大家教http:/本讲稿第五十七页，共六十五页阻尼振动微分方程阻尼振动微分方程振动系统的固有圆频率振动系统的固有
20、圆频率阻尼因素阻尼因素令令师大家教http:/本讲稿第五十八页，共六十五页角频率角频率振幅振幅1.弱阻尼振动弱阻尼振动师大家教http:/本讲稿第五十九页，共六十五页三种阻尼的比较三种阻尼的比较 b b）过阻尼过阻尼 a a）欠阻尼欠阻尼 c c）临界阻尼临界阻尼2.过阻尼振动过阻尼振动3.临界阻尼临界阻尼师大家教http:/本讲稿第六十页，共六十五页二二 受迫振动受迫振动系统在周期性外力作用下所维系统在周期性外力作用下所维持的振动。持的振动。驱动力驱动力师大家教http:/本讲稿第六十一页，共六十五页 受迫振动的振幅和相位取决于系统、介质阻尼和强迫受迫振动的振幅和相位取决于系统、介质阻尼和强
21、迫力的性质，受迫振动稳定后是按外力的频率作周期振动。力的性质，受迫振动稳定后是按外力的频率作周期振动。师大家教http:/本讲稿第六十二页，共六十五页共振频率共振频率大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼共振频率共振频率共振振幅共振振幅阻尼阻尼三三 共振共振师大家教http:/本讲稿第六十三页，共六十五页共振演示实验共振演示实验236145 共振现象在实际中的应用共振现象在实际中的应用乐器、收音机乐器、收音机 单摆单摆1作垂直于纸面的作垂直于纸面的简谐运动时，单摆简谐运动时，单摆5将作相将作相同周期的简谐运动，其它单同周期的简谐运动，其它单摆基本不动摆基本不动.师大家教http:/本讲稿第六十四页，共六十五页 共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌师大家教http:/本讲稿第六十五页，共六十五页