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1、机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动：物体在一定位置附近作来回往复的运动.机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 振动有各种振动有各种不同的形式不同的形式 广义振动：广义振动：任一物理量任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一数值附近反复在某一数值附近反复变化。变化。本讲稿第一页，共四十一页13-1 13-1 13-1 13-1 简谐运动动力学简谐运动动力学简谐运动动力学简谐运动动力学简谐运动简谐运动(简谐振动、谐振动简谐振动、谐振动)：物体振动时，离开平衡位置的位移物体振动时，离开平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )随随时间时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数，变化可
2、表示为余弦函数或正弦函数，一、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动一、弹簧振子的振动弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置平衡位置：振动物体所受合外力：振动物体所受合外力 为零的位置为零的位置物体在物体在平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。相制约下，不断重复相同的运动过程。o oxmx0=0本讲稿第二页，共四十一页由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度:谐振动运动方程谐振动运动方程谐振动微分方程谐振动微分方程其通解
3、为：其通解为：（1 1）（）（2 2）两式均为物体作谐振动的特征表述。）两式均为物体作谐振动的特征表述。二、弹簧振子的运动方程二、弹簧振子的运动方程二、弹簧振子的运动方程二、弹簧振子的运动方程微分方程形式微分方程形式本讲稿第三页，共四十一页 一个运动物体，它一个运动物体，它的加速度的加速度a与它离开平与它离开平衡位置的距离恒成正比衡位置的距离恒成正比而反向那么此物体一定而反向那么此物体一定作简谐运动。作简谐运动。物体离开平衡位置后，总是受物体离开平衡位置后，总是受到一个方向指向平衡位置，大小与到一个方向指向平衡位置，大小与物体离开平衡位置的距离成正比的物体离开平衡位置的距离成正比的力的作用，则
4、此物体一定在作简谐力的作用，则此物体一定在作简谐运动。运动。-线性回复力线性回复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征上述谐振动的特征表述均等价。上述谐振动的特征表述均等价。简谐运动特点简谐运动特点简谐运动特点简谐运动特点：(1)(1)等幅振动等幅振动 (2)(2)周期振动周期振动三、简谐运动特征：三、简谐运动特征：三、简谐运动特征：三、简谐运动特征：本讲稿第四页，共四十一页 单摆单摆令令转动转动正向正向时时是常量是常量,不是摆球不是摆球的角速度的角速度四、简谐振动实例：四、简谐振动实例：四、简谐振动实例：四、简谐振动实例：本讲稿第五页，共四十一页简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程1
5、3.2简谐振动运动学简谐振动运动学一、简谐振动运动学方程一、简谐振动运动学方程积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定二、简谐振动的速度和加速度二、简谐振动的速度和加速度本讲稿第六页，共四十一页图图图图图图取取本讲稿第七页，共四十一页 A A 振幅振幅 B B 周期、频率周期、频率弹簧振子周期弹簧振子周期 周期周期 频率频率 圆频率圆频率周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本本身身的物理性质有关的物理性质有关注意注意图图本讲稿第八页，共四十一页1 1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；C
6、C 相位相位3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态.相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）周期性）(取取 或或 )图图 简谐运动中，简谐运动中，和和 间不存在一一对应的关系间不存在一一对应的关系.本讲稿第九页，共四十一页D D 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定和初相由初始条件决定.本讲稿第十页，共四十一页取取已知已知 求求讨论讨论本讲稿第十一页，共四十一页 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在
7、在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.当当 时时三、简谐振动的旋转矢量法三、简谐振动的旋转矢量法本讲稿第十二页，共四十一页 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.时时本讲稿第十三页，共四十一页 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动.本讲稿第十四页，共四十一页本讲稿第十五页，共四十一页 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图本讲稿第十六页，共四十一页讨论讨论 相位差：表
8、示两个相位之差相位差：表示两个相位之差.1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间.本讲稿第十七页，共四十一页同步同步 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们间的简谐运动，相位差表示它们间步步调调上的上的差异差异.（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）为其它为其它超前超前落后落后反相反相本讲稿第十八页，共四十一页1.1.解析法解析法2.2.曲线法曲线法o oxmx0=0 =/2o oA-AtxT由由已知表达式已知表达式A、T、已知已知A、T、表达式表达式已知曲线已知曲线A A、T T、曲线曲
9、线已知已知 A、T、总结：简谐运动的求解方法：总结：简谐运动的求解方法：3.3.旋转矢量法旋转矢量法已知已知旋转矢量图旋转矢量图A A、T T、旋转矢量图旋转矢量图已知已知 A、T、本讲稿第十九页，共四十一页已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，速度与时间的关系曲线如图所示，试求其运动方程试求其运动方程。解：方法解：方法1 用解析法求用解析法求设振动方程为设振动方程为本讲稿第二十页，共四十一页故振动方程为故振动方程为本讲稿第二十一页，共四十一页v 的旋转矢量的旋转矢量与与v 轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢
10、量法辅助求解。本讲稿第二十二页，共四十一页总结总结：简谐运动的描述和特征简谐运动的描述和特征4 4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述复摆复摆弹簧振子弹簧振子单摆单摆1 1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置本讲稿第二十三页，共四十一页线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒 以弹簧振子为例以弹簧振子为例（振幅的动力学意义）（振幅的动力学意义）13.3 简谐振动的能量简谐振动的能量本讲稿第二十四页，共四
11、十一页简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量本讲稿第二十五页，共四十一页简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变本讲稿第二十六页，共四十一页能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导本讲稿第二十七页，共四十一页 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解（1）本讲稿第二十八页，共四十一页（2
12、）（3）（4）时，时，由由本讲稿第二十九页，共四十一页一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成两个两个同同方向方向同同频率频率简谐运动简谐运动合成合成后仍后仍为为简谐简谐运动运动13.4 简谐振动的合成简谐振动的合成本讲稿第三十页，共四十一页1 1）相位差相位差 讨论讨论本讲稿第三十一页，共四十一页2 2）相位差相位差本讲稿第三十二页，共四十一页3 3）一般情况一般情况2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱本讲稿第三十三页，共四十一页二二 多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成多多个个同同方向方向同同频率简谐运动
13、频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动本讲稿第三十四页，共四十一页2 2）1 1）个矢量依次相接构个矢量依次相接构成一个成一个闭合闭合的多边形的多边形.讨论讨论本讲稿第三十五页，共四十一页四四 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成两个相互垂直的同频率简谐运动的合成质点运动轨迹质点运动轨迹1 1）或或 （椭圆方程）（椭圆方程）讨论讨论本讲稿第三十六页，共四十一页2 2）3 3）本讲稿第三十七页，共四十一页用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图本讲稿第三十八页，共四十一页简简谐谐运运动动的的合合成成图图两两相相互互垂垂直直同同频频率率不不同同相相位位差差本讲稿第三十九页，共四十一页1
14、315一物体同时参与两个同方向的简谐振动：x1=0.04cos(2t+/2)(SI)；x2=0.03cos(2t+)(SI)。求此物体的振动方程。解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为：x=Acos(t+)（1）则A 2=A 12+A22+2A1A2cos(2-1)，21=1/2代入（1）式，得本讲稿第四十页，共四十一页1316有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为0.20m，合振动的相位与第一个振动的相位差为/6，第一个振动的振幅为0.173m。求第二个振动的振幅及两振动的相位差。解：解：采用旋转矢量合成图求解。如图所示，取第一个振动的旋转矢量A1沿Ox轴，即令其初相为零；按题意，合振动的旋转矢量A与A1之间的夹角。根据矢量合成，可得第二个振动的旋转矢量的大小（即振幅）为由于A1、A2、A的量值恰好满足勾股定理，故A1与A2垂直，即第二个振动与第一个振动的相位差为本讲稿第四十一页，共四十一页