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1、第五章控制系统的稳定性分析本讲稿第一页，共八十二页 一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。本讲稿第二页，共八十二页Mbcoodfabcde条件稳定系统b、c允许偏差范围d、e规定偏差边界稳定系统不稳定系统本讲稿第三页，共八十二页 稳定性反映在干扰消失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系统的初始偏差。因此，控制系统的稳定性也可以这样定义：本讲稿第四页，共八十二页 若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原
2、平衡状态的性能，则称该系统稳定。否则，称该系统不稳定。本讲稿第五页，共八十二页 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是讨论输入为零，仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。至于机械工程系统往往用激振或外力的方法施以强迫振动或运动，而造成系统共振或偏离平衡位置，这并不是控制理论所要讨论的稳定性。本讲稿第六页，共八十二页 系统稳定的充要条件ttt=0t-传递函数本讲稿第七页，共八十二页-反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就不稳定。本讲稿第八页，共八十二页 可见，稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统
3、本身的结构和参数，而与输入无关；控制理论所讨论的稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还是发散的。本讲稿第九页，共八十二页控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部。或闭环传递函数的极点全部具有负实部（位于左半s平面）。到底如何判断呢？本讲稿第十页，共八十二页 代数稳定判据 为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。本讲稿第十一页，共八十二页一、劳斯判据稳定的必要条件：特征方程中各项系数0稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项
4、0特征方程？本讲稿第十二页，共八十二页劳斯阵列如下：一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。本讲稿第十三页，共八十二页解：满足必要条件 13-23本讲稿第十四页，共八十二页-例3K为何值时，系统稳定解题步骤？本讲稿第十五页，共八十二页劳斯判据的两种特殊情况：1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；2、某一行所有元素均为零。本讲稿第十六页，共八十二页 第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。101本讲稿第十七页，共八十二页02第一列系数符号无改变，故系
5、统没有正实部的根。S 行为0，表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。本讲稿第十八页，共八十二页由该行的上一行元素来解决：（1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行；（2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。2、某一行所有元素均为零 表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根，S显然，这些根的数目一定是偶数。本讲稿第十九页，共八十二页辅助多项式辅助多项式 1 3 第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。辅助方程辅助方程3 8 8 1 6 80 0 系统临界稳定系统临界稳定本
6、讲稿第二十页，共八十二页 乃奎斯特稳定判据-闭环特征方程本讲稿第二十一页，共八十二页本讲稿第二十二页，共八十二页这一判据是由H.nyquist首先提出来的。因为在控制系统设计中，一些元件的数学表达式往往是未知的，仅仅知道它们的频率响应数据，所以采用这种稳定性分析方法比较方便。由解析的方法、或者由实验的方法得到的开环频率响应曲线，都可以用来进行稳定性分析。因为闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率响应曲线图解确定，无需实际求出闭环极点，所以这种判据在控制工程中得到了广泛应用。本讲稿第二十三页，共八十二页一、米哈伊洛夫定理 证明Nyquist判据的一个引理 本讲稿第二十四页，共八十二页证明：先看一次式
7、0本讲稿第二十五页，共八十二页0本讲稿第二十六页，共八十二页0本讲稿第二十七页，共八十二页再来研究零点在右半S平面的一次式0本讲稿第二十八页，共八十二页0本讲稿第二十九页，共八十二页 幅角增量与控制系统稳定性之间什么关系？本讲稿第三十页，共八十二页二、Nyquist稳定判据1、反馈系统开环与闭环的特征方程式-开环极点闭环极点本讲稿第三十一页，共八十二页2、Nyquist稳定判据0说明什么？本讲稿第三十二页，共八十二页0本讲稿第三十三页，共八十二页本讲稿第三十四页，共八十二页0本讲稿第三十五页，共八十二页Nyquist判据又可以叙述为：本讲稿第三十六页，共八十二页-例7K为何值时,系统稳定0-1
8、本讲稿第三十七页，共八十二页例8判别系统稳定性本讲稿第三十八页，共八十二页-1本讲稿第三十九页，共八十二页例9本讲稿第四十页，共八十二页-10本讲稿第四十一页，共八十二页三、Nyquist稳定判据的第二种表述本讲稿第四十二页，共八十二页0-1本讲稿第四十三页，共八十二页-100本讲稿第四十四页，共八十二页 把原点处的开环极点当成把原点处的开环极点当成左半左半S S平面的极点（即不考虑平面的极点（即不考虑q)q)，显然只需知道开环在右，显然只需知道开环在右S S平面的极点平面的极点P P即可；即可；在在S S平面上做封闭曲线包围平面上做封闭曲线包围整个右整个右S S平面；平面；四、Nyquist
9、稳定判据的第三种表述本讲稿第四十五页，共八十二页-1本讲稿第四十六页，共八十二页全频率的Nyquist判据为：本讲稿第四十七页，共八十二页-1本讲稿第四十八页，共八十二页-1本讲稿第四十九页，共八十二页全频率的Nyquist判据为：本讲稿第五十页，共八十二页本讲稿第五十一页，共八十二页-1本讲稿第五十二页，共八十二页-1本讲稿第五十三页，共八十二页 应用Nyquist判据 分析延时系统的稳定性 延时环节是线性环节，机械工程中许多系统中具有这种环节。本讲稿第五十四页，共八十二页一、延时环节串联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性-可见：延时环节不改变幅频特性仅影响相频特性。本讲稿第五十五页，共八
10、十二页例5-14-带有延时环节的系统不是最小相位系统本讲稿第五十六页，共八十二页 明显看出，虽然一阶、二阶系统总是稳定的，但系统中若存在延时环节，也可能变为不稳定。CNGR本讲稿第五十七页，共八十二页二、延时环节并联在闭环系统的前向通道中时的系统稳定性-本讲稿第五十八页，共八十二页 由伯德图判断系统的稳定性一、Nyquist图与Bode图的对应关系 本讲稿第五十九页，共八十二页二、利用Bode图判断稳定性稳定不稳定本讲稿第六十页，共八十二页：稳定本讲稿第六十一页，共八十二页稳定本讲稿第六十二页，共八十二页利用Nyquist判据判断使系统稳定的K值范围。Nyquist曲线刚好通过（-1，j0）点
11、，系统临界稳定。思路？思路？方法？方法？本讲稿第六十三页，共八十二页本讲稿第六十四页，共八十二页本讲稿第六十五页，共八十二页本讲稿第六十六页，共八十二页求使系统稳定的临界K值忽略忽略本讲稿第六十七页，共八十二页若采用劳斯判据判断系统稳定的K值范围本讲稿第六十八页，共八十二页注意：利用Nyquist判据的结论与利用劳斯判据的结论 不一致，其原因是Bode图用的是渐进线，有误差。只要 两种方法结论一致。本讲稿第六十九页，共八十二页二、利用Bode图判断稳定性2、普遍情况 负穿越一次正穿越一次负穿越半次正穿越半次本讲稿第七十页，共八十二页正负穿越之差为零，系统闭环稳定半次正穿越系统闭环稳定本讲稿第七
12、十一页，共八十二页正负穿越之差为1-2=-1，系统闭环不稳定正负穿越之差为2-1=1，系统闭环稳定-本讲稿第七十二页，共八十二页 5-7 控制系统的相对稳定性一、利用劳斯判据看系统相对稳定性S本讲稿第七十三页，共八十二页不满足系统稳定的必要条件：特征方程中各项系数0本讲稿第七十四页，共八十二页这便是通常所说的相对稳定性，它通过 对（-1，j0）点的靠近程度来度量。定量表示为：二、利用乃氏判据看系统相对稳定性 极其相对稳定性指标本讲稿第七十五页，共八十二页 1、相位裕量 正相位裕量 具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 度才达到临界稳定条件。因
13、此相位裕量也叫相位稳定性储备。本讲稿第七十六页，共八十二页2、幅值裕量当 时，开环幅频特性 的倒数。在Bode图上，正相位裕量 线以上正幅值裕量0dB线以下正幅值裕量本讲稿第七十七页，共八十二页负幅值裕量负相位裕量 线以下 具有负幅值裕量及负相位裕量时，闭环不稳定。负幅值裕量0dB线以上负相位裕量本讲稿第七十八页，共八十二页 工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望：本讲稿第七十九页，共八十二页 如果仅以相位裕量来判断系统的稳定性,就会得出系统稳定程度很高的结论,而系统的实际稳定程度绝不是高,而是低。所以,必须同时根据相位裕量和幅值裕量全面地评价系统的相对稳定性,避免得出不合实际的结论。本讲稿第八十页，共八十二页K=1008dBK=10幅值裕量较大，但相位裕量小于30，相对稳定性不够满意系统不稳定-12dB本讲稿第八十一页，共八十二页本章要求：作业：5-3 5-4（4）（3）5-6（1）（3）5-10 5-14 5-22本讲稿第八十二页，共八十二页