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1、采样控制系统的稳定性分析第8章 采样控制系统本讲稿第一页，共五十一页1 1、自动控制原理：自动控制原理：是关于自动控制系统是关于自动控制系统建模建模、分析分析 与与设计设计的一套完整的理论。的一套完整的理论。相关知识及上次课内容回顾：相关知识及上次课内容回顾：稳：指控制系统的稳定性。稳：指控制系统的稳定性。快：指控制系统的快速性。快：指控制系统的快速性。准：指控制系统的准确性。准：指控制系统的准确性。2 2、分析控制系统的性能指标：、分析控制系统的性能指标：稳稳、快快、准准。本讲稿第二页，共五十一页前面几次课中主要是针对采样控制系统的数学模前面几次课中主要是针对采样控制系统的数学模型进行了讨论
2、。型进行了讨论。差分方程差分方程 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数 建模建模本讲稿第三页，共五十一页 稳定的概念复习稳定的概念复习n如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏离如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定则称系统是稳定的或具有稳定性。性。n如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远，如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远，则称系统是不稳定的或不具有稳定性。则称系统是不稳定的或不具有稳定性。本讲稿第四页，共五十
3、一页本讲稿第五页，共五十一页本讲稿第六页，共五十一页几点注意：几点注意：1、稳定性是控制系统的重要性能，是系统、稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的正常工作的首要条件首要条件。本讲稿第七页，共五十一页2 2、稳定性是控制系统的一种、稳定性是控制系统的一种固有特性固有特性，只，只取决与系统的结构参数，与系统的输入取决与系统的结构参数，与系统的输入无关。无关。本讲稿第八页，共五十一页线性连续系统稳定判据复习线性连续系统稳定判据复习n劳斯判据劳斯判据n赫尔维茨判据赫尔维茨判据n根轨迹法根轨迹法nNyquistNyquist稳定判据稳定判据n对数频率稳定判据对数频率稳定判据本讲稿第九页，共五十
4、一页8.6 8.6 采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析8.6.1 8.6.1 采样系统的稳定条件采样系统的稳定条件8.6.2 8.6.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据8.6.3 8.6.3 朱利稳定判据（以大家自学为主）朱利稳定判据（以大家自学为主）8.6.4 8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响本讲稿第十页，共五十一页8.6 8.6 采样控制系统的稳定性分析采样控制系统的稳定性分析8.6.1 8.6.1 采样系统的稳定条件采样系统的稳定条件 问题的提出！问题的提出！q在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程在线性连续系统中，判别系统的
5、稳定性是根据特征方程的根在的根在s s平面的位置。平面的位置。若系统特征方程的所有根都在若系统特征方程的所有根都在s s平面左半平面，则系统稳定。平面左半平面，则系统稳定。q对线性离散系统进行了对线性离散系统进行了Z Z变换以后，对系统的分析要变换以后，对系统的分析要采用采用Z Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。平面，因此需要弄清这两个复平面的相互关系。本讲稿第十一页，共五十一页代入代入比较比较一一z z平面与平面与s s平面的映射关系平面的映射关系本讲稿第十二页，共五十一页s平面平面z平面平面几种情况讨论几种情况讨论（1 1）s s平面的虚轴平面的虚轴 ，z z平面平面 ，即，即
6、。左半平面左半平面虚轴虚轴右半平面右半平面左向右移左向右移单位圆内单位圆内单位圆上单位圆上单位圆外单位圆外半径扩大半径扩大（2 2）可见，可见，S平面上的虚轴映射到平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆平面上，为以原点为圆心的单位圆。心的单位圆。本讲稿第十三页，共五十一页图图8-218-21：线性采样系统结构图：线性采样系统结构图 二、线性采样系统稳定的充要条件二、线性采样系统稳定的充要条件本讲稿第十四页，共五十一页线性采样系统如图线性采样系统如图8-21所示。所示。其特征方程为其特征方程为 显然，闭环系统特征方程的根显然，闭环系统特征方程的根1、2、n即是闭环即是闭环脉冲传递函数的极点。脉
7、冲传递函数的极点。在在z域中，离散系统稳定充要条件是：域中，离散系统稳定充要条件是：当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在当且仅当离散特征方程的全部特征根均分布在z平平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，相应的，相应的线性定常系统是稳定的。线性定常系统是稳定的。本讲稿第十五页，共五十一页 例例1 1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为：、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为：本讲稿第十六页，共五十一页问题的提出问题的提出 用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实稳定性
8、是很不方便的。因此，需要采用一些比较实用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。据就是劳斯判据。本讲稿第十七页，共五十一页8.6.2 8.6.2 劳斯稳定判据劳斯稳定判据q 对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分析系统对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分析系统的稳定性。的稳定性。q但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根是否在复变量复变量s平面虚轴的左半部。平面虚轴的左半部。q因此，必须采用一种新的
9、变换，使因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新的坐标这种新的坐标变换，称为双线性变换，又称为变换，称为双线性变换，又称为W变换。变换。本讲稿第十八页，共五十一页根据复变函数双线性变换公式根据复变函数双线性变换公式，令，令或或式中式中z和和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即形式，即本讲稿第十九页，共五十一页 当动点当动点z在在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：满足：左半左半W平面对应平面对应Z平面单位圆内的部分，
10、平面单位圆内的部分，W平面平面的虚轴对应的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图平面的单位圆上，可见图8-228-22。因此经。因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。本讲稿第二十页，共五十一页图8-22：Z平面和W平面的对应关系 离散系统稳定的充要条件，由特征方程离散系统稳定的充要条件，由特征方程1+GH1+GH（z z）=0=0的所有根严格位于的所有根严格位于z z平面上的单位圆内，平面上的单位圆内，转换为特征方程转换为特征方程1+GH1+GH（w w）=0=0的所有根严格位于的所有根严格位于左半左半W W平面。平面。本讲稿第二十一页，共五十一页例例2 设闭
11、环离散系统如图设闭环离散系统如图8-23所示，其中采样周期所示，其中采样周期T=0.1(s)，试求系统稳定时，试求系统稳定时k的变化范围。的变化范围。图8-23：例2闭环系统图 本讲稿第二十二页，共五十一页解：解：求出求出G(s)的的z变换变换闭环系统脉冲传递函数为闭环系统脉冲传递函数为故闭环系统特征方程为故闭环系统特征方程为代入上式，得本讲稿第二十三页，共五十一页列出劳斯表列出劳斯表 从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使必须使k0，2.736-0.632k0，即，即k4.33。化简后，得化简后，得W域特征方程域特征方程本讲稿第二十四页
12、，共五十一页8.6.3 8.6.3 朱利稳定判据朱利稳定判据(以大家自学为主以大家自学为主)朱利判据是直接在朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类似于连域内应用的稳定判据，类似于连续系统中的赫尔维茨判据续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根据离散系统的闭，朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系数，判别其根是否位的系数，判别其根是否位于于Z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定平面上的单位圆内，从而判断该离散系统的稳定性。性。本讲稿第二十五页，共五十一页8.6.4 8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响采样周期与开环增益对稳定性的影响q稳定性是控
13、制系统的一种稳定性是控制系统的一种固有特性固有特性，只取决与，只取决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系统的输入无系统的结构参数即闭环传递函数，与系统的输入无关。关。q影响采样系统稳定性的因素有哪些？影响采样系统稳定性的因素有哪些？1 1、开环增益、开环增益K;K;2 2、系统的零极点分布；、系统的零极点分布；3 3、纯滞后环节；、纯滞后环节；4 4、采样周期、采样周期T T的取值。的取值。本讲稿第二十六页，共五十一页例例3 3 设有零阶保持器的离散系统如图设有零阶保持器的离散系统如图8-248-24所示，试所示，试求：求：（1 1）当采样周期）当采样周期T T分别为分别为1s1s，0.5s0
14、.5s时，系统的临界开环增时，系统的临界开环增益益KcKc。（2 2）当）当r(t)=1(t)r(t)=1(t)，K=1K=1，T T分别为分别为0.10.1，1 1，2 2，4s4s时，时，系统的输出响应系统的输出响应c(kT)c(kT)。图8-24 例3离散系统方框图本讲稿第二十七页，共五十一页由劳斯判据由劳斯判据KC=2.4当当T T0.5s0.5s秒时秒时解解:(1):(1)当当T T1 1秒时秒时由劳斯判据由劳斯判据KC=4.37讨论！讨论！本讲稿第二十八页，共五十一页且由且由 ，可求得，可求得C(z)表达式表达式。取取K=1K=1，T=0.1,1,2,4sT=0.1,1,2,4s，
15、可由，可由C(z)C(z)求求Z Z反变换得到反变换得到c(kT)c(kT)，见图，见图8-258-25。(2)(2)本讲稿第二十九页，共五十一页图8-25 不同T时的响应 讨论！讨论！本讲稿第三十页，共五十一页 8.7 8.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差引引 言言8.7.1 8.7.1 单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差8.7.2 8.7.2 单位斜坡输入时的稳态误差单位斜坡输入时的稳态误差8.7.3 8.7.3 单位加速度输入时的稳态误差单位加速度输入时的稳态误差本讲稿第三十一页，共五十一页 引引 言言n稳稳态态误误差差是是衡衡量量系系统统控控制制精精度度的的，在在
16、控控制制系系统统设设计计中中作作为稳态指标；为稳态指标；n实实际际控控制制系系统统由由于于本本身身结结构构和和输输入入信信号号的的不不同同，其其稳稳态态输输出出量量不不可可能能完完全全与与输输入入量量一一致致，也也不不可可能能在在任任何何扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点；扰动作用下都能准确地恢复到原有的平衡点；n系系统统存存在在摩摩擦擦间间隙隙和和死死区区等等非非线线性性因因素素，控控制制系系统统的的稳稳态态误差总是不可避免的；误差总是不可避免的；8.7 8.7 采样系统的稳态误差采样系统的稳态误差本讲稿第三十二页，共五十一页n控制系统设计时应尽可能减小稳态误差；控制系统设计时应尽可能减
17、小稳态误差；n当当稳稳态态误误差差足足够够小小可可以以忽忽略略不不计计的的时时候候，可可以以认认为为系系统统的的稳稳态态误误差差为为零零，这这种种系系统统称称为为无无差差系系统统，而而稳稳态态误差不为零的系统则称为有差系统；误差不为零的系统则称为有差系统；n应应当当强强调调的的是是，只只有有当当系系统统稳稳定定时时，分分析析系系统统的的稳稳态态误误差差才有意义！才有意义！n采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！本讲稿第三十三页，共五十一页1 1、误差及稳态误差的定义、误差及稳态误差的定义 系系统统的的误误差差e e(t t)一一般般定定义义为为被被
18、控控量量的的希希望望值值与与实实际际值之差。即：值之差。即：误差误差e e(t t)=)=被控量的希望值被控量的希望值被控量的实际值被控量的实际值本讲稿第三十四页，共五十一页设单位反馈采样系统如图设单位反馈采样系统如图8-26所示：所示：图图8-26 单位反馈采样系统单位反馈采样系统误差误差本讲稿第三十五页，共五十一页 误差响应误差响应e e(t t)与系统输出响应与系统输出响应c c(t t)一样，也包含一样，也包含暂态分量暂态分量和和稳态分量稳态分量两部分，对于一个稳定系统，暂两部分，对于一个稳定系统，暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关心的态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要
19、关心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应的稳态分量分量稳态误差记为稳态误差记为e essss。本讲稿第三十六页，共五十一页 2 2、稳态误差计算方法、稳态误差计算方法 线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到线性连续系统的计算稳态误差方法都可以推广到采样系统中来。采样系统中来。（哪几种方法？）（哪几种方法？）设单位反馈采样系统如图设单位反馈采样系统如图8-26所示：所示：图图8-26 单位反馈采样系统单位反馈采样系统本讲稿第三十七页，共五十一页（1 1）应用）应用Z Z变换的终值定理来计算变换的终值定理来计算本讲稿第三十八页，共五十一页利用
20、利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差上式表明，系统的稳态误差与上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式有关。及输入信号的形式有关。（2 2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差本讲稿第三十九页，共五十一页 1.1.系统的类型（型别）系统的类型（型别）与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系统型别的概念，由于的概念，由于 的关系，原线性连续系统开环的关系，原线性连续系统开环传递函数传递函数G(s)G(s)在在s=0s=0处极点的个数处极点的个数v v作为
21、划分系统型别的作为划分系统型别的标准，标准，可推广为将离散系统开环脉冲传递函数可推广为将离散系统开环脉冲传递函数G(z)G(z)在在z=1z=1处极点的数目处极点的数目v v作为离散系统的型别作为离散系统的型别,称称v=0,1,2,v=0,1,2,.的的系统为系统为0 0型、型、I I型、型、IIII型离散系统。型离散系统。8.7.1 8.7.1 单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差本讲稿第四十页，共五十一页2 2、连续系统中各种输入下各种类型系统的稳态误、连续系统中各种输入下各种类型系统的稳态误差（温故而知新！比较法！）差（温故而知新！比较法！）输输 入入 形形 式式稳态误差稳态
22、误差0 0型系统型系统型系统型系统型系统型系统单位阶跃单位阶跃00单位斜坡单位斜坡0单位加速度单位加速度本讲稿第四十一页，共五十一页3、单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差式中式中 称为静态位置误差系数。称为静态位置误差系数。本讲稿第四十二页，共五十一页 对对0型离散系统（没有型离散系统（没有z=1的极点），则的极点），则Kp,从而从而e()0；对；对I型、型、II型以上的离散系统（有一个或一个以型以上的离散系统（有一个或一个以上上 z=1的极点），则的极点），则 Kp=，从而，从而e()=0。因此，在单位阶跃函数作用下，因此，在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样型离散系统在采
23、样瞬时存在位置误差；瞬时存在位置误差；I型或型或II型以上的离散系统，在采样型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。瞬时没有位置误差。这与连续系统十分相似。本讲稿第四十三页，共五十一页式中式中 称为静态速度误差系数。称为静态速度误差系数。因为因为0型系统的型系统的kv=0，I型系统的型系统的kv为有限值，为有限值，II型型和和II型以上系统的型以上系统的 Kv=，所以有如下结论：，所以有如下结论：0型离散系型离散系统不能承受单位斜坡函数作用，统不能承受单位斜坡函数作用，I型离散系统在单位斜型离散系统在单位斜坡函数作用下存在速度误差，坡函数作用下存在速度误差，II型和型和
24、II型以上离散系统在型以上离散系统在单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。单位斜坡函数作用下不存在稳态误差。8.7.2 8.7.2 单位斜坡输入时的稳态误差单位斜坡输入时的稳态误差本讲稿第四十四页，共五十一页8.7.3 8.7.3 单位加速度输入时的稳态误差单位加速度输入时的稳态误差 当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称为当然，上式也是系统的稳态位置误差，并称为加速度误差。加速度误差。式中式中 称为静态加速度误差系数。称为静态加速度误差系数。本讲稿第四十五页，共五十一页 由于由于0型及型及I型系统的型系统的ka=0，II型系统的为常值，型系统的为常值，III型及型及III型以上系统的型以上系统的
25、 ka=,因此有如下结论成立：因此有如下结论成立：0型及型及I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，型离散系统不能承受单位加速度函数作用，II型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度型离散系统在单位加速度函数作用于下存在加速度误差，只有误差，只有III型及型及III型以上的离散系统在单位加速型以上的离散系统在单位加速度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。度函数作用下，才不存在采样瞬时的稳态位置误差。本讲稿第四十六页，共五十一页输输 入入 形形 式式稳态误差稳态误差0 0型系统型系统型系统型系统型系统型系统单位阶跃单位阶跃00单位斜坡单位斜坡0单位加速度单位加速度本讲稿第四十七页，共
26、五十一页8.8 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传采样系统的暂态响应与脉冲传 递函数零、极点分布的关系递函数零、极点分布的关系 本节以学生自学为主，在本节以学生自学为主，在信号与系统分析信号与系统分析课程中做了详细的分析！课程中做了详细的分析！本讲稿第四十八页，共五十一页 在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此平面的分布对系统的暂态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、类似，采样系统的暂态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在极点在z平面的分布也有密切的关系。平面的分布也有密切的关系。零、极点分布的关系零、极点分布的关系 本讲稿第四十九页，共五十一页 闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系，如图如图8-27所示所示图8-27：实极点与动态响应的关系 本讲稿第五十页，共五十一页 闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系，如图系，如图8-28所示所示图8-28 复数极点分布与响应的关系 本讲稿第五十一页，共五十一页