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1、1第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析25.1 5.1 稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件p 控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不境条件的改变等。这些因素总是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不考虑这些因素，设计出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需要重新设计，或调整某些参数或
2、结构。成功的，需要重新设计，或调整某些参数或结构。p 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件，控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统首要条件，控制系统在实际应用中应用的首要前提就是系统必须稳定，对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳必须稳定，对系统进行各类品质指标的分析也必须在系统稳定的前提下进行。定的前提下进行。3p 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。来的平衡状态，并随时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性并提出保
3、证系统稳定的措施，因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。是自动控制理论的基本任务之一。q稳定的基本概念：稳定的基本概念： 系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。否则为不稳定的系统。否则为不稳定的系统。4图51 单摆的平衡bMcdFo在外界干扰的作用下，摆由原来的平衡点在外界干扰
4、的作用下，摆由原来的平衡点MM偏到新的位置偏到新的位置b b。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点。当外力去掉后，显然摆在重力的作用下，将围绕点MM反复反复震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，震荡，经过一定时间，当摆因受空气阻尼使其能量耗尽后，摆又停留在平衡点摆又停留在平衡点MM。象这样的平衡点。象这样的平衡点MM就成为稳定的平衡就成为稳定的平衡点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点点。对于一个倒摆，一旦离开了平衡点d d，即使外力消失，即使外力消失，无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点无论经过多少时间，摆也不会回到平衡点d d上来，对于这样上来，对于这样的平衡点的平衡点d
5、 d，成为不稳定平衡点。，成为不稳定平衡点。5 线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），线性系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。与系统的输入信号无关。有关稳定性的定义和理论较多。 设系统或元件的微分方程为设系统或元件的微分方程为：,(0 1);,0 )ijainbjm式中：式中：x(tx(t)输入，输入，y(ty(t)输出输出为常系数。将上式求拉氏变换，得为常系数。将上式求拉氏变换，得( (初始值不全为零）初始值不全为零）)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn)()()()(01)1(1)(txbt
6、xbtxbtxbmmmm), 0( ,);1, 0( ,mjbniaji5.2 5.2 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件6+ +系数取决于初始条件的多项式系数取决于初始条件的多项式)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasmmmmnnn 第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。011101110111)()()(asasasasasassXbsbsbsbsYnnnnnnmmmm多项式系数取决于初始条件的)()()(21tytyty 上式右边第一
7、项为零状态解，对应与由输入引起上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。的响应过程。7 前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。经过足够长的时间变为零。01112)(asasassYnnn多项式系数取决于初始条件的)2()()(2211212iiinjnijsspssY多项式系数取决于初始条件的211222121)(niiiiiiiiiinjjjssspsa令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有 个实数极点和个实数极点
8、和 对复对复数极点数极点 ，则上式可改写为，则上式可改写为: : 1n2nnnn2128teteetyniitiniitinjtpiiiij2211212121sin1cos)( 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于程的根应全部位于s s平面的左半部。平面的左半部。 如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡；的对应项是发散的周期振荡； 如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项如
9、果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；将随时间单调增长；上述两种情况下系统是不稳定的。上述两种情况下系统是不稳定的。 线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：9q 如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；q 如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡如果特征方程中有一对共轭虚根，对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为随遇平衡状态和临界稳定状
10、态属于不从控制工程的角度认为随遇平衡状态和临界稳定状态属于不稳定。稳定。 稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。件无关；只与极点有关，与零点无关。 注意：注意： 稳定系统的极点分布图：稳定系统的极点分布图：10稳定区不稳定区临界稳定S平面S平面的左半部是稳定区mIeR11p 对于一阶系统，对于一阶系统， 只要只要 都大于零，系统是稳定的。都大于零，系统是稳定的。p 对于二阶系统，对于二阶系统， 只有只有 都大于零，系统才稳定
11、（负实根或实部都大于零，系统才稳定（负实根或实部为负）。为负）。p 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。下描述的代数稳定性判据。001asa,101aas01,aa00122asasa2022112, 124aaaaas012,aaa 各阶系统的稳定性分析：各阶系统的稳定性分析：125.3 5.3 代数稳定性判据代数稳定性判据5.3.15.3.1劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据设线性系统的闭环特征方程为：设线性系统的闭环特征方程为： 则该系统稳定的充要条件为：则该系统稳定的充要条件为：q 特征方程的各项系数特征方程
12、的各项系数 都不等于零；都不等于零；q 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 的符号都相同；的符号都相同； 此两项为必要条件。此两项为必要条件。q 由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的所有项均由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的所有项均 为正。为正。01110nnnnasasasa) 1, 0(niaiia13劳斯阵的前两行劳斯阵的前两行由特征方程的系由特征方程的系数组成。数组成。第一行为第一行为1 1，3 3，5 5，项系数组成项系数组成，第二行为第二行为2 2，4 4，6 6，项系数组成项系数组成。劳斯阵的组成劳斯阵的组成01110nnnnasasasa102113212321343212
13、753116420fSeeSdddScccSabbbSaaaaSaaaaSnnnn 14121211141713131512121311170613150412130211,eeddefbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaab 表中这样可求得这样可求得n+1n+1行系数行系数 15 这种过程需一直进行到第这种过程需一直进行到第n n行被算完为止，系数行被算完为止，系数的完整阵列呈现一个倒三角形。的完整阵列呈现一个倒三角形。 为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行，并不改变稳定性结论。行，并不改变稳定性结论。注意：注
14、意：16 劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式根在号的变化，去判别特征方程式根在S S平面上的具体平面上的具体分布，过程如下：分布，过程如下：如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在程式的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在化的次数等于该特征方程式的根在S S的右半平面上的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。的个数，
15、相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据劳斯稳定判据17【例例5-15-1】：特征方程为：特征方程为： ，试判断，试判断稳定性稳定性。 解解 ：劳斯阵为：劳斯阵为：稳定的充要条件为：稳定的充要条件为：v 均大于零均大于零3210,aaaav且0322130asasasa3130213120aaaaaaaaaa0123ssss03021aaaa18 已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为0103 . 25175 .41423SSS【例例5-25-2】试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表401423103 . 25 .380103 . 25
16、 .4105171SSSS由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在程中有二个根在S S的右半平面，因而系统是不稳定的。的右半平面，因而系统是不稳定的。19劳斯判据特殊情况之一q 劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零为零 处理办法处理办法 ：用很小的正数：用很小的正数 代替零的那一项，然后据代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。其上项或下项的符号相反，计作一次符号变
17、化。20【例例5-35-3】：4322210ssss 1112200( )10220010043210sssss22 令令 则则 故故第一列不全为正，系统不稳第一列不全为正，系统不稳定，定，s s右半平面有两个极点右半平面有两个极点。022 222,21试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。列劳斯表列劳斯表 已知一系统的闭环特征方程式为已知一系统的闭环特征方程式为21劳斯判据特殊情况之二劳斯判据特殊情况之二劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零的实根
18、或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方的数目总是偶数的。例如，一个控制系统的特征方程为程为 ：220161620128223456SSSSSS列劳斯表列劳斯表由上表可知，第一由上表可知，第一列的系数均为正
19、值，列的系数均为正值，表明该方程在表明该方程在S S右半右半平面上没有特征根。平面上没有特征根。令令F(sF(s)=0)=0，求得两，求得两对大小相等、符号对大小相等、符号相反的根相反的根2,2jj显然这个系统处于临界稳定状态。显然这个系统处于临界稳定状态。 【例5-4】：16038166248000161220161221620810123456SSSSSSS235.3.2 5.3.2 劳斯判据的应用劳斯判据的应用 稳定判据只回答特征方程式的根在稳定判据只回答特征方程式的根在S S平面上的分布平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保
20、证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在明系统特征根在S S平面上相对于虚轴的距离。但能判断平面上相对于虚轴的距离。但能判断是否所有特征根都落在虚轴的左半平面是否所有特征根都落在虚轴的左半平面. .若用若用S=Z-1S=Z-1带带入特征方程中入特征方程中, ,求出的根的实部即为特征根距求出的根的实部即为特征根距S=-1S=-1垂线垂线的距离的距离. .可判断稳定程度可判断稳定程度. .用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程041310223SSS是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有的右半平面上，并检
21、验有几个根在垂线的右方。几个根在垂线的右方。 1S例例5-55-524解：列劳斯表解：列劳斯表 42 .121081304101320123SSSS第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。令令1 ZS代入特征方程：代入特征方程：04) 1(3) 1(10) 1(223ZZZ014223ZZZ式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在1S的右方。的右方。列劳斯表：列劳斯表：12114120123SSSS第一列的系数符号变化了一次，表示原方第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线程有一个根在垂直直线1S的右方。的右方。255
22、.3.3 5.3.3 赫尔维茨（赫尔维茨（Hurwitz)Hurwitz)稳定性判据稳定性判据以以4 4阶系统为例使用赫尔维茨判据阶系统为例使用赫尔维茨判据赫尔维茨行列式为：赫尔维茨行列式为：系统稳定的充要必要条件是：主行列式系统稳定的充要必要条件是：主行列式 及其对角线上的各子及其对角线上的各子行列式行列式 均有正值。即：均有正值。即：043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa011a020312aaaan121,n00031420313aaaaaaa0426有时称有时称 为赫尔维茨行列式。由于这个行列式直接由系数排列为赫尔维茨行列式。由于这个行
23、列式直接由系数排列而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系而成，规律简单而明确，使用也比较方便。但对六阶以上的系统，由于行列式计算麻烦，较少应用。统，由于行列式计算麻烦，较少应用。n【例例5-65-6】：设控制系统的特征方程为：设控制系统的特征方程为： ，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。，试用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss 解解 ：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。：首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。各系数排列成如下的行列式：各系数排列成如下的行列式：4203142031000000aaaaaaaaaa27由于：由
24、于：08101711682016805171016830151710016800517100168故系统稳定。故系统稳定。 劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判劳斯判据和赫尔维茨判据都是利用特征根与系数的关系来判别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯别稳定性的，它们之间有一致性，所以有时侯，称为劳斯- -赫尔赫尔维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这些判据为维茨判据。又由于它们的判别式均为代数式，故又称这些判据为代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形代数判据。劳斯判据和赫尔维茨判据对于带延迟环节等系统形成的超越方程式无能为力，这是代数判据的
25、局限性，而下面介成的超越方程式无能为力，这是代数判据的局限性，而下面介绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应绍的乃魁斯特稳定性判据能够判别带延迟环节系统的稳定性，应用更为广泛。用更为广泛。285.3.45.3.4劳斯劳斯- -赫尔维茨稳定性判据的应用赫尔维茨稳定性判据的应用p 判定控制系统的稳定性判定控制系统的稳定性 例例5-7 5-7 系统的特征方程为：系统的特征方程为： ，判断系统的稳定性。，判断系统的稳定性。43223450ssss 解解 ：排列劳斯阵如下：排列劳斯阵如下：43210135240150600500sssss因为，因为， ，且劳斯，且劳斯阵第一列不全为正，
26、所以，系统阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在化，所以系统在s s右半平面有两个右半平面有两个极点。极点。 0,(0 4)iai29例例5-85-8系统的特征方程为：系统的特征方程为： 该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。54322244823460sssss 解解 ：劳斯阵如下：劳斯阵如下5431242324846000sss543210124232242311201223010002300ssssss 行全为零。由前一行系数构成辅助行全为零。由前一行系数构成
27、辅助方程得方程得3s4242( )24846( )2423Q sssQ sss其导数为：其导数为： 将将 4,48 4,48 或或 1,12 1,12 代替代替 行，可继续排列劳斯阵如下：行，可继续排列劳斯阵如下：3( )448Q sss 因为因为 行全为零，所以特征方程必有特殊的根行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：。求解如下： 由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定0,(0 5)iai3s221,23,4( )0,(23)(1)023,1Q ssssjsj 令有，30设剩余的一个根为设剩余的一个根为-p-p。则：。则： ，整，整理得：理得：4
28、2()(2423)0sp ss5432242423230spsspssp比较系数得：比较系数得：-p= -2-p= -2极点分布如下：极点分布如下：注意：注意：劳斯判据实际上只能判断代数劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在方程的根是在s s平面左半闭平面平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅表的第一列有变号，并可由辅助方程求出。助方程求出。23j23j1 j1 j231 主主 要要 内内
29、容容q幅角定理幅角定理q奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据q奈氏稳定判据的应用奈氏稳定判据的应用q在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性 奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。 奈魁斯特稳定判据是奈
30、魁斯特稳定判据是( (H.NyquistH.Nyquist) )于于19321932年提出，于年提出，于19401940年后得到广泛应用。年后得到广泛应用。5.45.4奈魁斯特奈魁斯特( (NyquistNyquist) )稳定性判据稳定性判据32 奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用)()(jHjG曲线，进而分析闭环系统的稳定性。曲线，进而分析闭环系统的稳定性。奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应用：奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应用： 1 1）系统的某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可用）系统的某些环节的传递函数无
31、法用分析法列写时，可用实验方法获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特实验方法获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特性也可用实验获得，这样就可分析闭环后的稳定性。性也可用实验获得，这样就可分析闭环后的稳定性。 2 2）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性以及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。相对稳定性以及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。33奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据( (NyquistNyquist Stability Criterion)Stability Criterion)原理原理C(s
32、)R(s)G(s)H(s)图图5-4-1 5-4-1 闭环系统闭环系统结构图结构图闭环传递函数闭环传递函数)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了保证系统稳定，特征方程为了保证系统稳定，特征方程( )1( ) ( )0F sH s G s 的全部根，都必须位于左半的全部根，都必须位于左半s s平面。平面。)()(sHsG虽然开环传递函数虽然开环传递函数 的极点或零点可能位于的极点或零点可能位于右半右半s s平面，但如果平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于闭环传递函数的所有极点均位于左半左半s s平面，则平面，则系统是稳定的。系统是稳定的。 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件34奈奎
33、斯特稳定判据正是将开环频率响应奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应)()(jHjG与闭环与闭环特征方程特征方程( )1( ) ( )F sH s G s 在右半在右半s s平面内极点数联系起来的判据，这种方法平面内极点数联系起来的判据，这种方法无须求出闭环极点，从而得到广泛应用。无须求出闭环极点，从而得到广泛应用。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映射基础上的形映射基础上的 。355.4.1 5.4.1 预备知识预备知识0)()(1)(sGsHsF 可以证明，对于可以证明，对于S S平面上给定的一条不通过平面上给定的一条不通过 任何一个奇点的
34、连续封闭曲线，在任何一个奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存平面上必存在一条封闭曲线与之对应。在一条封闭曲线与之对应。)(sF)(sF平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。来。例如：例如：考虑下列开环传递函数：考虑下列开环传递函数：)2)(1(6)()(sssHsG)(sF36)2)(1(6)()(sssHsG其特征方程为：其特征方程为：) 2)(1(61)()(1)(sssHsGsF0) 2
35、)(1() 4 . 25 . 1)(4 . 25 . 1(ssjsjs函数函数)(sF在在s s平面内除了奇点外处处解析。对于平面内除了奇点外处处解析。对于s s平面上的每平面上的每一个解析点，一个解析点，)(sF平面上必有一点与之对应平面上必有一点与之对应21js，则，则)(sF为：为：577. 0115. 1)23)(22(61)21 (jjjjF这样，对于这样，对于s s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在何奇点，在)(sF平面上就必有一个封闭曲线与之对应。平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如例如37-101234-1-0.500.
36、511.52-4-3-2-10100.20.40.60.811.21.41.61.82A B CDA1 B1 C1D1ImRejs平面平面)(sF图图5-4-2 s5-4-2 s平面上的图形在平面上的图形在 平面上的映射平面上的映射)(sF上半上半s s平面内的直线平面内的直线1 , 3和和2在在)(sF平面上的变换平面上的变换 38-3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52-101234-2-1.5-1-0.500.511.52A B C D E F A B C D E F1 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 ImRej平面s平面)(sF001 1）当当s
37、 s平面上的图形包围两个平面上的图形包围两个)(sF的极点时，的极点时，-1和和-2)(sF的轨迹将反时针方向包围的轨迹将反时针方向包围)(sF平面上原点两次平面上原点两次 39ImRej平面s平面)(sF002 2） s s平面上的图形包围包围一个零点，平面上的图形包围包围一个零点， 相应的相应的的轨迹的轨迹将顺时针包围原点一次，将顺时针包围原点一次， )(sF3 3）封闭曲线既不包围零点又不包围极点，封闭曲线既不包围零点又不包围极点，)(sF的轨迹将永远的轨迹将永远不会包围不会包围 平面上的原点平面上的原点 )(sF40-3-2-101-3-2-1012301234-2-1.5-1-0.5
38、00.511.52AABFEDCA1B1F1E1D1C1Rej平面s平面)(sFIm4 4）当当s s平面上的图形平面上的图形包围包围)(sF的两个极点和两个零点，的两个极点和两个零点，)(sF的轨迹将不包围原点。的轨迹将不包围原点。 相应相应的的415 5）如果在如果在s s平面上曲线包围平面上曲线包围 k k个零点和个零点和k k个极点个极点)(sF相应的封闭曲线不包相应的封闭曲线不包围围)(sF 上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳定判据正是建立在映射定理的基础上。定判据正是建立在映射定理的基础上。 (k=0,1,2)(k=0,1,2)，即包围
39、的零点数与极点数相同，则在，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上，平面上，平面上，的原点。的原点。)(sF425.4.25.4.2映射定理映射定理设设)(sF为为两个两个s s的多项式之比，并设的多项式之比，并设P P为为)(sF 的极点数，的极点数，)(sF的零点数，它们位于的零点数，它们位于s s平面上的某一封闭曲线内，平面上的某一封闭曲线内，)(sF的任何极点和零点。于是，的任何极点和零点。于是，s s平面上的这一平面上的这一)(sF平面上，也是一条封闭曲线。平面上，也是一条封闭曲线。)(sF平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R R
40、等于等于Z-PZ-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不在在Z Z为为封闭曲线映射到封闭曲线映射到通过通过当变量当变量s s顺时针通过封闭曲线时顺时针通过封闭曲线时43若若R R为正数，表示为正数，表示)(sF的零点数超过了极点数；的零点数超过了极点数；)(sF的极点数超过了零点数。的极点数超过了零点数。若若R R为负数，表示为负数，表示开环传递函数与闭环传递函数的关系：开环传递函数与闭环传递函数的关系：C(s)R(s)G(s)H(s)()()(11sAsBsG)()()(22sAsBsH开环传递函数开环传递函数)()()()()()(
41、)()(2121sDsNsAsAsBsBsHsGKK( )F s的含义：的含义：441212( )( )( )( )1( )( )1( )( )( )BKB s B sDsF sG s H sA s A sDs )()(sHsG很容易确定很容易确定)()(1)(sHsGsF的极点数（的极点数（P P ）。因此，如果，）。因此，如果，)(sF的轨迹图中确定了的轨迹图中确定了R R，则，则s s平面上封闭曲线内的零点数平面上封闭曲线内的零点数在控制系统应用中，由在控制系统应用中，由很容易确定。而很容易确定。而 )(sF零点正是闭环系统的极点。零点正是闭环系统的极点。闭环传递函数闭环传递函数)()(
42、)()()()()()()()(212112sDsNsBsBsAsAsBsAsRsCBB455.4.35.4.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，令为了分析线性控制系统的稳定性，令s s平面上的封闭平面上的封闭曲线包围整个右半曲线包围整个右半s s平面。这时的封闭曲线由整个平面。这时的封闭曲线由整个j轴轴到到 该封闭曲线为该封闭曲线为奈奎斯特轨迹奈奎斯特轨迹( (轨迹的方向为顺时针方轨迹的方向为顺时针方向向) )。因为奈奎斯特轨迹包围。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半了整个右半s s平面，所以它平面，所以它包围了包围了) )和
43、右半和右半s s平面上半径为无穷大的平面上半径为无穷大的( )1( )( )F sG s H s 的所有正实部的极点和零点。的所有正实部的极点和零点。( (从从半圆轨迹构成。半圆轨迹构成。46( )( )( ) 1G s H sF s对原点的包围情况可用对原点的包围情况可用 ( )F s( )( )G s H s对对-1+j0-1+j0包围情况同样说明。包围情况同样说明。 说明：说明：( )1( )( )F sG s H s 则在右半则在右半s s平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。 如果如果在右半在右半s s平面不存在零点，平面不存在零点，47平面sj
44、0图图5-4-3 5-4-3 s s平面内的封闭曲线平面内的封闭曲线ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线对原点的包围，恰等于曲线对原点的包围，恰等于)()(jHjG)()(1jHjG轨迹对轨迹对-1+j0-1+j0点的包围点的包围48这一判据可表示为：这一判据可表示为：PRZZ函数函数)()(1)(sHsGsF在右半在右半s s平面内的零点数平面内的零点数R对对-1+-1+j0j0点顺时针包围的次数点顺时针包围的次数P函数函数)()(sHsG如果如果P P不等于零，对于稳定的控制系统，必须不等于零，对于稳定的控制系统，必须0Z或或P
45、R，这意味着必须反时针方向包围，这意味着必须反时针方向包围-1+-1+j0j0点点P P次。次。5.4.45.4.4关于奈奎斯特稳定判据的几点说明关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中式中在右半在右半s s平面内的极点数平面内的极点数如果如果函数函数)()(sHsG在右半在右半s s平面内无任何极点，则平面内无任何极点，则RZ 因此，为了保证系统稳定，因此，为了保证系统稳定，)()(jHjG的轨迹必须不包围的轨迹必须不包围-1+-1+j0j0点。点。)()(sHsG495.4.55.4.5)()(sHsG含有位于原点上极点和含有位于原点上极点和/ /或零点的特殊情况或零点的特殊情况平面sj0j0j
46、 j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00变量变量沿着沿着j轴从轴从 j运动到运动到0j，从，从0j到到0j，变量变量s沿着半径为沿着半径为1）的半圆运动，再沿着正）的半圆运动，再沿着正j轴从轴从0 j运动到运动到j（) 1()()(TssKsHsGs运动时运动时，最后顺时针沿无穷大半圆运动。，最后顺时针沿无穷大半圆运动。50对于包含因子对于包含因子1,1,2,s的开环传递函数的开环传递函数)()(sHsG，当变量，当变量s s沿半径为沿半径为(1) )的半圆运动时，的半圆运动时，)()(sHsG的图形中将有的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。个半径为无穷大的顺
47、时针方向的半圆环绕原点。) 1()()(2TssKsHsGjes jeseKsHsGj22)()(lim当当s s平面上的平面上的9090时，时，)()(sHsG的相角的相角180180例如，考虑开环传递函数：例如，考虑开环传递函数：51例例5-3 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：设闭环系统的开环传递函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG)()(jHjG的轨迹如图的轨迹如图5-415-41所示。所示。)()(sHsG在右半在右半s s平面内没有任何极点，即平面内没有任何极点，即P=0P=0，并且，并且的轨迹的轨迹不包围不包围01j，所以对于任何的，所以对于任何的K K值，该系
48、统都是稳定的。值，该系统都是稳定的。)()(jHjGZ=R+P=0+0=0，即，即R=0R=052Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6例例5-35-3中的中的)()(jGjH极坐标图极坐标图 53例例5-4 5-4 设系统具有下列开环传递函数：设系统具有下列开环传递函数：) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：增益增益K K较小较小增益增益K K较大。较大。平面G
49、HReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRPjjjj00小小K K值时系统是稳定的值时系统是稳定的 大大K值时是不稳定的值时是不稳定的 54例例5-5 5-5 设开环传递函数为：设开环传递函数为：) 1() 1()()(122sTssTKsHsG该系统的闭环稳定性取决于该系统的闭环稳定性取决于1T和和2T相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。ReIm00121TT 平面GH平面GHReIm00121TT 点矢量穿过01)()(jjHjG 21TT )()(sGsH的轨迹不包围的轨迹不包围01j系统是稳定
50、的系统是稳定的21TT )()(sGsH的轨迹通过的轨迹通过01j这表明闭环极点位于虚轴上这表明闭环极点位于虚轴上j1）2）点，点，55平面GHReIm00121TT 21TT )()(sHsG的轨迹顺时针方向包围的轨迹顺时针方向包围01j点两次，因此系统有两个点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半闭环极点位于右半s s平面，平面，系统是不稳定的。系统是不稳定的。 3）56例例5-6 5-6 设一个系统具有下列设一个系统具有下列) 1()()(TssKsHsG试确定该闭环系统的稳定性。试确定该闭环系统的稳定性。平面GHReIm100开环传递函数：开环传递函数：)()(sGsH在右半在右半s s