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1、第四章控制系统的稳定性分析本讲稿第一页，共三十三页一概述一概述1.稳定性是系统性能研究的首要问题稳定性是系统性能研究的首要问题2.古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性(1)局限于研究线性系统；局限于研究线性系统；(2)局限于对系统外部稳定性的描述局限于对系统外部稳定性的描述。3.古典控制理论的稳定性判别是典控制理论的稳定性判别是Routh和和Nyquist判据判据4.现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定判据现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定判据 (1)稳定判据可用于线性或非线性系统；稳定判据可用于线性或非线性系统；(2)可以研究系统的外
2、部稳定性也可以研究系统的内部稳定性；可以研究系统的外部稳定性也可以研究系统的内部稳定性；(3)能够能够反映系统稳定的本质特征。反映系统稳定的本质特征。返回返回本讲稿第二页，共三十三页1.线性系统外部稳定的定义线性系统外部稳定的定义零零初初始始条条件件下下，对对于于任任意意一一个个有有界界输输入入，若若系系统统所所产产生生的的相相应应输输出出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称BIBO稳定。稳定。2.状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性 系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递函数矩阵系统外部稳定的充分必要条
3、件是输入与输出之间的传递函数矩阵中的所有元素的极点全部位于中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。平面的左半部。返回返回二线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）二线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）本讲稿第三页，共三十三页三动态系统的内部稳定性三动态系统的内部稳定性（研究系统状态的稳定性（研究系统状态的稳定性李亚普诺夫稳定性）李亚普诺夫稳定性）1.基本概念基本概念 2.李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫稳定性定义3.稳定的范围稳定的范围4.内部稳定与外部稳定的关系内部稳定与外部稳定的关系返回本讲稿第四页，共三十三页 1.基本概念基本概念 (1)平衡状态的定义平衡状态的定义 设不受外力的系统状态方程
4、为设不受外力的系统状态方程为 ，x x（t t），f f（x x，t t）是是 n n 维维状态向量函数。若系统存在一个状态状态向量函数。若系统存在一个状态 x xe e 对任意时间对任意时间 t t 都有都有则称状态则称状态x xe e是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变化速度为零，即是静止状态故称平衡点。化速度为零，即是静止状态故称平衡点。(2)平衡状态的计算平衡状态的计算 平衡状态即为代数方程组平衡状态即为代数方程组 的解。的解。线线性性定定常常系系统统的的平平衡衡状状态态：当当A是是非非奇奇异异时时，则则A
5、x=0，所所以以平平衡衡状状态态是是唯唯一一的的且且在在原点。原点。非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。本讲稿第五页，共三十三页(3)状态向量状态向量 x的范数的范数 在在n维状态空间，向量维状态空间，向量x的长度称为向量的长度称为向量x的范数，表示为：的范数，表示为：。状态向量状态向量x x到平衡点到平衡点x xe e的范数：的范数：当范数当范数 限制在某一范围之内时，可以表示为限制在某一范围之内时，可以表示为 。且具有且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。返回返回本讲稿第
6、六页，共三十三页2.李亚普诺夫稳定性定义李亚普诺夫稳定性定义用用状状态态向向量量到到平平衡衡点点的的范范数数来来表表示示系系统统在在n维维空空间间运运动动过过程程中中随随时时间间推推移移状状态态向向量量与与平平衡衡点点之之间间的的距距离变化，存在以下三种情况：离变化，存在以下三种情况：(1)渐近稳定渐近稳定(2)李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定(3)不稳定不稳定返回返回本讲稿第七页，共三十三页对对于于系系统统,若若任任意意给给定定实实数数 ，都都存存在在另另一一实实数数，使得当使得当 时时,从任意初始状态从任意初始状态 出发的解出发的解 满足满足 且对于任意小量且对于任意小量 ，总
7、有，总有 ，则称系统在平衡状态则称系统在平衡状态x xe e是是渐近稳定。渐近稳定。几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X X（t t）距平衡点距离可以）距平衡点距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。无限接近，直至到达平衡点后停止运动。返回返回(1)渐近稳定渐近稳定本讲稿第八页，共三十三页 对对于于系系统统 ，若若任任意意给给定定实实数数 ，都都存存在在另另一一实实数数 ,使使得得当当 时时，从从任任意意初初始始状状态态 出出发发的的解解 满满足足 ,则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。则称系统在平衡状态是李亚普诺夫意义下的稳定。几何意
8、义：几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量初始状态有界，随时间推移解向量X X（t t）距平衡点的距）距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即二维空间运动轨离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即二维空间运动轨迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹在直径为有限值的球面内。迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹在直径为有限值的球面内。返回返回(2)李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定本讲稿第九页，共三十三页(3)不稳定不稳定如如果果对对于于某某个个实实数数 和和任任一一实实数数，当当 时时，总总存存在在一个初始状态一个初始状态x x0 0使得使得 ，
9、则称平衡状态不稳定。，则称平衡状态不稳定。几几何何意意义义：初初始始状状态态有有界界，随随时时间间推推移移解解向向量量X X（t t）距距平平衡衡点点的的距距离离越越来越远。来越远。返回返回本讲稿第十页，共三十三页3.稳定的范围稳定的范围（1）渐渐近近稳稳定定：当当系系统统初初始始状状态态在在平平衡衡点点附附近近的的有有限限区区域域内内时，系统稳定。时，系统稳定。（2）大大范范围围渐渐近近稳稳定定：系系统统状状态态在在整整个个状状态态空空间间时时系系统统状状态态都都稳稳定定。即即稳稳定定性性与与初初始始条条件件无无关关。线线性性系系统统渐渐近近稳稳定定即即大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。返回返
10、回本讲稿第十一页，共三十三页4.内部稳定与外部稳定的关系内部稳定与外部稳定的关系(1)内部稳定的系统外部一定稳定；内部稳定的系统外部一定稳定；(2)外部稳定的系统不能保证内部稳定；外部稳定的系统不能保证内部稳定；(3)完全完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；返回本讲稿第十二页，共三十三页四李亚普诺夫稳定性的判别定理四李亚普诺夫稳定性的判别定理1、二次型函数的引出及一般概念二次型函数的引出及一般概念（1-3）2、李亚普诺夫第二方法分析系统稳定性李亚普诺夫第二方法分析系统稳定性3、李亚普诺夫第二方法应用举例李亚普诺夫第二方法应用举例返回返回本讲稿
11、第十三页，共三十三页1.二次型函数的一般概念二次型函数的一般概念(1)定定义义：代代数数式式中中一一种种多多项项式式函函数数，每每一一项项的的次次数数都都是是二二次次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。则称该函数为二次型函数（标量函数）。(2)二次型函数的表示形式二次型函数的表示形式（以三阶系统为例）（以三阶系统为例）代数式：代数式：矩阵形式：矩阵形式：标准二次型：标准二次型：本讲稿第十四页，共三十三页(3)二次型函数的符号性质二次型函数的符号性质返回返回正定：正定：当当 时，即系数矩阵时，即系数矩阵 P P 的各阶主子行列式均大于零，即的各阶主子行列式均大于零，即 则函数则函数 正定。正定
12、。半正定：半正定：当当 时，即系数矩阵时，即系数矩阵 P P 的各阶主子行列式均大于或等于零，即的各阶主子行列式均大于或等于零，即 ，则函数，则函数 半正定。半正定。负定：负定：当当 时，即系数矩阵时，即系数矩阵 P P 的各阶主子行列式均满足下列条件，即的各阶主子行列式均满足下列条件，即 ，则函数，则函数 负定。负定。半负定：半负定：当当 时，即系数矩阵时，即系数矩阵 P P 的各阶主子行列式均满足下列条件，即的各阶主子行列式均满足下列条件，即 ，则函数，则函数 半负定半负定 。不定：不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。本
13、讲稿第十五页，共三十三页2.李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原点的稳定性）（研究平衡点在原点的稳定性）(1)李亚普诺夫函数（能量函数）：李亚普诺夫函数（能量函数）：系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。任
14、选一个正定的能量函数任选一个正定的能量函数v v（x x），即满足：），即满足：的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方程）来考察能量函数程）来考察能量函数v v（x x）在运动过程中的变化规律，从而获得系）在运动过程中的变化规律，从而获得系统稳定性判据。统稳定性判据。本讲稿第十六页，共三十三页(2)李亚普诺夫稳定性判别定理李亚普诺夫稳定性判别定理 取标量（能量）函数取标量（能量）函数v（x），满足正定；），满足正定；连续一阶偏导数连续一阶偏导数存在；存在；则有下列结论存在：则有下列结论存在：李亚普诺夫意义下的稳定：李
15、亚普诺夫意义下的稳定：半负定，且在半负定，且在 时，有时，有 存在。存在。渐近稳定：渐近稳定：负定；或负定；或 半负定，且在半负定，且在 时，时，不衡为零。不衡为零。大范围渐近稳定：大范围渐近稳定：系统渐近稳定的同时，满足当系统渐近稳定的同时，满足当 时，有时，有 ，则此系统为大范围渐近稳定。则此系统为大范围渐近稳定。不稳定：不稳定：正定正定。系统稳定性无法确定：系统稳定性无法确定：不存在上述规律。不存在上述规律。注意：能量函数的非唯一性。注意：能量函数的非唯一性。返回返回本讲稿第十七页，共三十三页3.应用举例应用举例 例例11：已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。：已知线性系统的状态矩
16、阵，判断系统的稳定性。解解(1)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点处的平衡线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原点处的平衡点；点；取能量函数取能量函数 ，满足条件；，满足条件；计算该系统能量的变化量：计算该系统能量的变化量：显然，能量的变化量函数显然，能量的变化量函数 正定。结论：此系统不稳定。正定。结论：此系统不稳定。本讲稿第十八页，共三十三页解解(2)：线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；取能量函数取能量函数 ，满足条件；，满足条件；计算该系统的能量的变化量：计算该系统的能量
17、的变化量：显然，能量的变化量函数显然，能量的变化量函数 半负定。半负定。需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：令令 代入状态方程得代入状态方程得 所以当所以当 时，必有时，必有 不衡为零。不衡为零。结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。重新选择能量函数重新选择能量函数 ，得，得 负定，结论相同。负定，结论相同。本讲稿第十九页，共三十三页 例例22：已知非线性系统的状态方程，判断系统在平衡点处的稳定性：已知非线性系统的状态方程，判断系统在平衡点处的稳定性。解：解：求平衡点：求平衡点：；取能量函
18、数取能量函数 ，满足条件；，满足条件；，结论：系统在平衡点处稳定，当结论：系统在平衡点处稳定，当 时，有时，有 ，则此系统为，则此系统为大范围渐近稳定。大范围渐近稳定。返回返回 本讲稿第二十页，共三十三页五线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法五线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法1.李亚普诺夫第一方法（间接法）李亚普诺夫第一方法（间接法）(1)定理：定理：线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A A的所有特的所有特征值都具有负实部。征值都具有负实部。(2)判别方法：判别方法：求特征方程求特征方程 的特征值。的特征值。2.李亚普诺夫第二方法（直接法）
19、李亚普诺夫第二方法（直接法）(1)理论依据：理论依据：已知系统状态空间表达式为已知系统状态空间表达式为 ，设标量函数设标量函数 ，且，且 正定，得正定，得 ，把状态方程代入得，把状态方程代入得 显然，系统稳定的充分必要条件是显然，系统稳定的充分必要条件是 负定，即负定，即Q Q，P P都为正定实对都为正定实对称矩阵。称矩阵。本讲稿第二十一页，共三十三页 定义定义 为李亚普诺夫方程。为李亚普诺夫方程。（2）判别方法（充分条件）：）判别方法（充分条件）：取矩阵取矩阵Q=IQ=I，则，则 负定，由李亚普诺夫方程负定，由李亚普诺夫方程反反推推P P正正定，则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。定，
20、则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。为计算简便，可选为计算简便，可选 半负定，即半负定，即Q半正定，由李亚普诺夫方程半正定，由李亚普诺夫方程 反推反推P P正定，然后再确定在正定，然后再确定在 时，有时，有不衡不衡等于零存在。等于零存在。则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。其中：其中：P167例例4-8例例3P167例例4-9例例43.线性时变系统的稳定性线性时变系统的稳定性（自学）（自学）4.线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性（自学）（自学）返回返回本讲稿第二十二页，共三十三页六非线性系统李亚普诺夫稳定性分析六非线性系统李亚
21、普诺夫稳定性分析1.李亚普诺夫第一方法（线性化法）李亚普诺夫第一方法（线性化法）已知系统状态空间表达式为已知系统状态空间表达式为 ，定义定义 雅克比矩阵。雅克比矩阵。则有（则有（1 1）若）若A A的特征值都具有负实部，系统在平衡点处渐近稳定；的特征值都具有负实部，系统在平衡点处渐近稳定；（2 2）若）若A A的特征值至少有一个有正实部，系统在平衡点处不稳定；的特征值至少有一个有正实部，系统在平衡点处不稳定；（3）若若A的的特特征征值值有有纯纯虚虚根根，其其它它根根都都是是负负实实部部，则则系系统统在在平平衡衡点点稳稳定性不能确定。定性不能确定。例例5：P183举例。举例。本讲稿第二十三页，共
22、三十三页2.李亚普诺夫第二方法李亚普诺夫第二方法（克拉索夫斯基法）克拉索夫斯基法）理论依据：理论依据：已知系统状态空间表达式为已知系统状态空间表达式为 ，设标量函数，设标量函数 ，选择系数矩阵，选择系数矩阵P P使使 正定，正定，则则 设设 ，显然，系统在平衡点原点稳定的充分条件是显然，系统在平衡点原点稳定的充分条件是Q Q（x x）正定。）正定。定义：定义：为雅可比方程。为雅可比方程。本讲稿第二十四页，共三十三页判别方法：判别方法：根据状态方程，求雅可比矩阵根据状态方程，求雅可比矩阵 ；选择一个正定的系数阵选择一个正定的系数阵P，一般取为单位阵，则一般取为单位阵，则通过雅可比方程计算通过雅可
23、比方程计算Q（x），若正定，则系统在原点渐近稳定；），若正定，则系统在原点渐近稳定；系统的能量函数为系统的能量函数为 ，确定系统是否大范围渐近稳定确定系统是否大范围渐近稳定:说明：判据所产生的条件是充分的，不是必要的。说明：判据所产生的条件是充分的，不是必要的。P185P185例例4-144-14例例66：P185P185例例4-154-15例例77：返回返回本讲稿第二十五页，共三十三页例3系统的状态方程为：，其平衡状态在原点，试判断其稳定性。解：因为取，则对于实对称矩阵P由矩阵由下式确定：即可解出而由可知P正定。本讲稿第二十六页，共三十三页可知所以系统在原点处是渐近稳定的，因为是线性定常系统
24、，所以又是大范围渐近稳定的。返回返回本讲稿第二十七页，共三十三页解：系统的状态方程为：研究系统稳定性时可令u=0。而对于线性系统来说，A阵非奇异则平衡状态为原点。为计算简单，取半正定实对称矩阵则若取则所以只是在原点处才恒等于零，故Q可以取半正定。P阵由式确定。例4已知系统结构图，求K的稳定范围。本讲稿第二十八页，共三十三页则使P成为正定矩阵的充要条件为：由经典控制理论可知，系统的闭环传递函数为：则系统稳定的充要条件为：返回返回本讲稿第二十九页，共三十三页例例6 6:系统的状态方程为：，试用克拉索夫斯基法确定系统在平衡状态 的稳定性。解：因为又因为 ，取P=I。则本讲稿第三十页，共三十三页所以Q为正定，则为负定。系统在平衡状态 是渐近稳定的。而当所以系统在平衡状态 是大范围渐近稳定的返回返回本讲稿第三十一页，共三十三页例例7 7:系统的状态方程为：，试用克拉索夫斯基法确定系统在平衡状态 的稳定性。解：因为又因为 ，取P=I。则本讲稿第三十二页，共三十三页返回返回所以Q不是正定的，则也不是负定的。系统在平衡状态 的稳定性不能确定的。所以说定理为充分条件而不是必要条件。P186几点说明：本讲稿第三十三页，共三十三页