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1、第2课时函数奇偶性的应用2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日2类型一利用函数的奇偶性求解析式类型一利用函数的奇偶性求解析式【典例典例】已知已知f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，x0时，时，f(x)=x2-2x-3，求，求f(x)的解析式的解析式.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日3【思维思维引引】利用奇偶性分别求出当利用奇偶性分别求出当x=0 x=0，x0 x0时的解析时的解析式式.2021/8/8 星期日4【解析解析】因为因为f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，所以上的奇函数，所以f(0)=0f(0)=0，若若x0 x0-x0，则
2、则f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-2(-x)-3=x-2(-x)-3=x2 2+2x-3+2x-3，又由函数又由函数f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-xf(x)=-f(-x)=-x2 2-2x+3-2x+3，故故f(x)=-xf(x)=-x2 2-2x+3-2x+3，所以函数，所以函数f(x)=f(x)=2021/8/8 星期日5【内化内化悟悟】对于奇函数，怎样处理在对于奇函数，怎样处理在x=0处的解析式？处的解析式？提示：提示：考查在考查在x=0 x=0处是否有意义，如果有则处是否有意义，如果有则f(0)=0.f(0)=0.2021/8/8 星
3、期日6【类题类题通通】利用函数奇偶性求解析式的方法利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，即在哪个区间上求解析式，x就应在就应在哪个区间上设哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用利用f(x)的奇偶性写出的奇偶性写出-f(x)或或f(-x)，从而解出，从而解出f(x).2021/8/8 星期日7【习练习练破破】f(x)为为R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0时时f(x)=x(1+x3)，则当，则当x0时时f(x)为为()A.x(1+x3)B.-x(1-x3)C.x(1-x3)D.-x(1+x3)202
4、1/8/8 星期日8【解析解析】选选C.C.根据题意，根据题意，x0 x0-x0，则则f(-x)=(-x)1+(-x)f(-x)=(-x)1+(-x)3 3=-x(1-x=-x(1-x3 3)，又由函数，又由函数f(x)f(x)为奇为奇函数，则函数，则f(x)=-f(-x)=x(1-xf(x)=-f(-x)=x(1-x3 3).).2021/8/8 星期日9【加练加练固固】已知函数已知函数f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)=x2-x+1.(1)求求f(0)的值的值.(2)求求f(x)在在R上的解析式上的解析式.2021/8/8 星期日10【解析解析】(1
5、)(1)函数函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，则则f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，令，令x=0 x=0，得，得f(-0)=-f(0)f(-0)=-f(0)，即即f(0)=0f(0)=0，故，故f(0)=0f(0)=0；2021/8/8 星期日11(2)(2)当当x0 x0-x0，f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2-(-x)+1=x-(-x)+1=x2 2+x+1+x+1，又由函数又由函数f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，则则f(x)=-f(-x)=-xf(x)=-f(-x)=-x2 2-x-1-x-1，又由又由f(0)=0f(0)=0
6、，则，则f(x)=f(x)=2021/8/8 星期日12类型二函数奇偶性与单调性关系的应用类型二函数奇偶性与单调性关系的应用【典例典例】1.定义在定义在R上的偶函数上的偶函数f(x)满足：对任意满足：对任意x1，x2 0，+)(x1x2)，有，有 0，则则()2021/8/8 星期日13A.f(3)f(-2)f(1)B.f(1)f(-2)f(3)C.f(-2)f(1)f(3)D.f(3)f(1)f(-2)2021/8/8 星期日142.已知偶函数已知偶函数f(x)在区间在区间0，+)上单调递增，则满足条上单调递增，则满足条件件f(2x+1)f(5)的的x的取值范围是的取值范围是()世纪金榜导学
7、号世纪金榜导学号A.(-3，2)B.(-2，3)C.(-2，2)D.-3，22021/8/8 星期日15【思维思维引引】1.1.先得出函数的单调性，再利用奇偶性转先得出函数的单调性，再利用奇偶性转化到一个单调区间上比较化到一个单调区间上比较.2.2.利用奇偶性得出函数在利用奇偶性得出函数在R R上的单调性，结合图像确定上的单调性，结合图像确定2x+12x+1的范围，从而求的范围，从而求x x的范围的范围.2021/8/8 星期日16【解析解析】1.1.选选A.A.根据题意，函数根据题意，函数f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，则则f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)，函数，函数f(x)f(
8、x)满足：对任意满足：对任意x x1 1，x x2 200，+)(x+)(x1 1xx2 2)，有，有 00，则函数，则函数f(x)f(x)在在00，+)+)上为减函数，上为减函数，则则f(3)f(2)f(1)f(3)f(2)f(1)又由又由f(-2)=f(2)f(-2)=f(2)，则则f(3)f(-2)f(1).f(3)f(-2)f(1).2021/8/8 星期日172.2.选选A.A.因为函数因为函数f(x)f(x)为偶函数且在区间为偶函数且在区间00，+)+)上上单调递增，则在单调递增，则在(-(-，0)0)上是减函数，上是减函数，f(2x+1)f(5)f(2x+1)f(5)|2x+1|
9、5|2x+1|5，即，即-52x+15-52x+15，解可得：，解可得：-3x2-3x2，即，即x x的取值范围为的取值范围为(-3(-3，2).2).2021/8/8 星期日18【内化内化悟悟】若偶函数若偶函数f(x)在区间在区间a，b上是增函数，那么在区间上是增函数，那么在区间-b，-a上的单调性是怎样的？如果函数上的单调性是怎样的？如果函数f(x)是奇函数呢？是奇函数呢？2021/8/8 星期日19提示：提示：偶函数偶函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb上是增函数，那么在上是增函数，那么在区间区间-b-b，-a-a上的单调性是减函数上的单调性是减函数.若函数若函数f(x)f(x)是
10、奇函是奇函数，则在区间数，则在区间-b-b，-a-a上也是增函数上也是增函数.2021/8/8 星期日20【类题类题通通】奇偶性与单调性的关系奇偶性与单调性的关系1.关系：关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2021/8/8 星期日212.应用：应用：(1)奇函数在连续的区间上，由奇函数在连续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，利用的关系，利用单调性可直接得到单调性可直接得到 a，b的大小关系；的大小关系；(2)偶函数在连续的区间上，由偶函数在连
11、续的区间上，由f(a)，f(b)的关系，应考的关系，应考虑虑|a|，|b|的关系的关系.2021/8/8 星期日22【习练习练破破】1.已知函数已知函数f(x)是定义在区间是定义在区间-2，2上的偶函数，上的偶函数，当当x 0，2时，时，f(x)是减函数，如果不等式是减函数，如果不等式f(1-m)f(m)成立，则实数成立，则实数m的取值范围是的取值范围是()A.B.1，2C.(-，0)D.(-，1)2021/8/8 星期日23【解析解析】选选A.A.根据题意，函数根据题意，函数f(x)f(x)是定义在区间是定义在区间-2-2，22上的偶函数，当上的偶函数，当x0 x0，22时，时，f(x)f(
12、x)是减函是减函数则数则f(1-m)f(m)f(1-m)f(m)，解可得，解可得-1m -1m00所以函数所以函数y=x-y=x-在在(0(0，+)+)上是增函数上是增函数.列出部分函数值如下表所示，描点作图列出部分函数值如下表所示，描点作图.2021/8/8 星期日32x12302021/8/8 星期日33再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，2021/8/8 星期日34【素养素养探探】在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的在探究函数的图像和性质时，常常用到核心素养中的逻辑推理，通过探究函数的性质，进一步得到函数的逻辑推理，通过探究函
13、数的性质，进一步得到函数的图像图像.将本例中的函数变为将本例中的函数变为y=，试探究函数的性质，并作出，试探究函数的性质，并作出函数的图像函数的图像.(参考公式参考公式a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)2021/8/8 星期日35【解析解析】函数的定义域为函数的定义域为D=x|x0D=x|x0，从而可知函数，从而可知函数的图像有左右两部分的图像有左右两部分.设设f(x)=f(x)=，则对任意，则对任意xDxD，都有，都有-xD-xD，而且而且f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)，2021/8/8 星期日36所以函数所以函数y=y=是奇函数，函数的两部分图像关于是奇函数，函数的两
14、部分图像关于原点对称原点对称.因为因为x x1 1，x x2 2(0(0，+)+)，且，且x x1 1xx2 2时，时，f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=2021/8/8 星期日37所以所以 因为因为x x1 1，x x2 2(0(0，+)+)，所以所以 00，所以函数，所以函数y=y=在在(0(0，+)+)上是减函数上是减函数.2021/8/8 星期日38列出部分函数值如下表所示，描点作图列出部分函数值如下表所示，描点作图.x x 1 12 23 3 8 81 1 2021/8/8 星期日39再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图所示，再根据函数是奇函数，可得出函数图像如图
15、所示，2021/8/8 星期日40角度角度2研究函数的对称性研究函数的对称性【典例典例】求证二次函数求证二次函数f(x)=-x2+2x+3关于关于x=1对称对称.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】分别计算分别计算f(1+h)f(1+h)，f(1-h)f(1-h)2021/8/8 星期日41【证明证明】任取任取hRhR，因为，因为f(1+h)=-(1+h)f(1+h)=-(1+h)2 2+2(1+h)+3+2(1+h)+3=-h=-h2 2+4+4，f(1-h)=-(1-h)f(1-h)=-(1-h)2 2+2(1-h)+3=-h+2(1-h)+3=-h2 2+4+4，所以所以f(1+
16、h)=f(1-h)f(1+h)=f(1-h)，所以函数的图像关于，所以函数的图像关于x=1x=1对称对称.2021/8/8 星期日42【类题类题通通】1.如何探究函数的性质及图像如何探究函数的性质及图像主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单主要从以下几个方面进行探究，定义域、奇偶性、单调性调性.如果具有奇偶性，则只探究如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数性质轴右侧的函数性质及图像，及图像，y轴左侧的可以根据奇偶性得到轴左侧的可以根据奇偶性得到.2021/8/8 星期日432.关于函数的对称性关于函数的对称性函数函数f(x)若对于任意若对于任意x R，a是常数，是常数，(1)关于直线关
17、于直线x=a对称：对称：f(a+x)=f(a-x)(f(2a-x)=f(x)，2021/8/8 星期日44(2)关于点关于点(a，b)对称：对称：f(a+x)+f(a-x)=2b(f(2a-x)+f(x)=2b)，特别地：关于点特别地：关于点(a，0)对称，则对称，则f(a+h)=-f(a-h).2021/8/8 星期日45【习练习练破破】求证：函数求证：函数f(x)=的图像关于的图像关于(-1，1)对称对称.2021/8/8 星期日46【证明证明】任取任取hRhR，因为，因为f(-1+h)=f(-1+h)=f(-1-h)=f(-1-h)=所以所以f(-1+h)+f(-1-h)=f(-1+h)
18、+f(-1-h)=所以函数所以函数f(x)=f(x)=的图像关于的图像关于(-1(-1，1)1)对称对称.2021/8/8 星期日47【加练加练固固】试探究函数试探究函数f(x)=x|x|-2x的性质，作出图像并写出单调的性质，作出图像并写出单调区间和值域区间和值域.2021/8/8 星期日48【解析解析】函数的定义域为函数的定义域为R R，任取，任取xRxR，则，则-xR-xR，且且f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2xf(-x)=-x|-x|-2(-x)=-x|x|+2x=-f(x)=-f(x)，所以函数所以函数f(x)=x|x|-2xf(x)=x|x|-2x是奇函数，是奇
19、函数，当当x0 x0，+)+)时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-2x-2x是二次函数，是二次函数，2021/8/8 星期日49对称轴为对称轴为x=1x=1，f(1)=1-2=-1f(1)=1-2=-1，与，与x x轴交于轴交于(0(0，0)0)，(2(2，0)0)，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数，作出函数图像如图，再根据函数是奇函数得函数的图像，如图所示：得函数的图像，如图所示：2021/8/8 星期日50由图可知，函数的单调增区间为由图可知，函数的单调增区间为(-(-，-1-1或或11，+)+)，单调减区间为，单调减区间为-1-1，11，值域为，值域为R.R.2021/8/8 星期日512021/8/8 星期日522021/8/8 星期日53