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1、第4课时分 段 函 数2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.分段函数的定义分段函数的定义一个函数一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，间，有不同的对应方式有不同的对应方式，则称其为分段函数，则称其为分段函数.2021/8/8 星期日3【思考思考】分成两段的分段函数是两个函数吗？分成两段的分段函数是两个函数吗？提示：提示：不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取不是，分段函数是一个函数，只是在不同的取值范围上对应方式不一样值范围上对应方式不一样.2021/8/8 星期日42.几个特殊的函数几个特殊的函数(1)高斯取整函数高斯取整
2、函数y=x，定义域为，定义域为R，值域为，值域为Z.(2)狄利克雷函数狄利克雷函数D(x)=定义域为定义域为R，值域为，值域为0，1.2021/8/8 星期日5(3)常数函数常数函数y=c，c为常数，定义域为为常数，定义域为R，值域为，值域为c，图像为垂直于，图像为垂直于y轴的直线轴的直线.2021/8/8 星期日6【思考思考】能否用图像表示狄利克雷函数？能否用图像表示狄利克雷函数？提示：提示：不能，无法作出狄利克雷函数的图像不能，无法作出狄利克雷函数的图像.2021/8/8 星期日7【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)分段函数分段函数y=
3、的定义域为的定义域为(-，1.()(2)函数函数y=|x|不是分段函数不是分段函数.()(3)常数函数的图像是垂直于常数函数的图像是垂直于x轴的直线轴的直线.()2021/8/8 星期日8提示：提示：(1).分段函数分段函数y=的定义域为的定义域为(-，1 1，+)=R.(2).函数函数y=|x|=是分段函数是分段函数.(3).常数函数的图像是垂直于常数函数的图像是垂直于y轴的直线轴的直线.2021/8/8 星期日92.已知函数已知函数f(x)=则则f(f(-3)的值为的值为_.2021/8/8 星期日10【解析解析】因为因为f(x)=所以所以f(-3)=-3+4=1，f(f(-3)=f(1)
4、=1-4=-3.答案：答案：-32021/8/8 星期日113.设函数设函数f(x)=若若f(x0)=8，则，则x0=_.2021/8/8 星期日12【解析解析】由题意，得由题意，得(1)当当x02时，有时，有 +2=8，解之，解之得得x0=，而，而 2不符合，所以不符合，所以x0=-.(2)当当x02时，有时，有2x0=8，解之得，解之得x0=4.综上所述，得综上所述，得x0=4或或-.答案：答案：4或或-2021/8/8 星期日13类型一分段函数的图像类型一分段函数的图像【典例典例】高斯取整函数高斯取整函数y=x又称又称“下取整函数下取整函数”，其，其中中x表示不大于表示不大于x的最大整数
5、；称函数的最大整数；称函数y=为为“上取上取整函数整函数”，其中，其中表示不小于表示不小于x的最小整数；例如根的最小整数；例如根据定义可得：据定义可得：1.3=1，-1.3=-2，=-2，=3.2021/8/8 星期日14(1)函数函数f(x)=，x-2，2，求，求 (2)试作出函数试作出函数y=x+的图像，其中的图像，其中-1x1.2021/8/8 星期日15【思维思维引引】1.根据两个取整函数的定义由内向外求值根据两个取整函数的定义由内向外求值.2.先将函数的解析式分段表示，再作图先将函数的解析式分段表示，再作图.2021/8/8 星期日16【解析解析】(1)函数函数f(x)=，x-2，2
6、，因为因为 则则=3，则则 2021/8/8 星期日17因为因为 则则=2=2，则则 =2.=2.2021/8/8 星期日18(2)当当x=-1时，时，-1=-1，=-1，此时此时y=x+=-1-1=-2，当当-1x0时，时，x=-1，=0，此时此时y=x+=-1+0=-1，当当x=0时，时，0=0，=0，2021/8/8 星期日19此时此时y=x+=0，当当0 x1时，时，x=0，=1，此时此时y=x+=0+1=1，当当x=1时，时，1=1，=1，此时此时y=x+=1+1=2，2021/8/8 星期日20则则y=x+=2021/8/8 星期日21作图：作图：2021/8/8 星期日22【内化
7、内化悟悟】作分段函数的图像的关键是什么？作分段函数的图像的关键是什么？提示：提示：确定解析式确定解析式.2021/8/8 星期日23【类题类题通通】分段函数图像的作法分段函数图像的作法(1)若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符若函数的解析式中含有如取整、取绝对值等运算符号，则分情况去掉，分段表示解析式号，则分情况去掉，分段表示解析式.(2)分段描点作图分段描点作图.(3)检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏检查图像接点处点的虚实，做到不重不漏.2021/8/8 星期日24【习练习练破破】(2019石嘴山高一检测石嘴山高一检测)已知函数已知函数f(x)=x|x-m|(x R)，且，且f(
8、1)=0.(1)求求m的值，并用分段函数的形式来表示的值，并用分段函数的形式来表示f(x).(2)在如图给定的直角坐标系内作出函数在如图给定的直角坐标系内作出函数f(x)的草图的草图(不不用列表用列表).2021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26【解析解析】(1)因为因为f(1)=0，所以，所以|m-1|=0，即，即m=1，所以所以f(x)=x|x-1|=2021/8/8 星期日27(2)函数图像如图：函数图像如图：2021/8/8 星期日28【加练加练固固】已知函数已知函数f(x)=|x-1|.(1)用分段函数的形式表示该函数用分段函数的形式表示该函数.(2)在右边所给的坐标系
9、中画出在右边所给的坐标系中画出该函数的图像该函数的图像.2021/8/8 星期日29【解析解析】(1)y=(2)作图：作图：2021/8/8 星期日30类型二分段函数的解析式及应用类型二分段函数的解析式及应用【典例典例】1.设设f(x)=则则f(5)的值为的值为()A.10B.11C.12D.132021/8/8 星期日312.设设f(x)=则使得则使得f(m)=1成立的成立的m值是值是()A.10B.0，10C.-2，0，10D.-1，1，112021/8/8 星期日323.如图，定义在如图，定义在-1，+)上的函数上的函数f(x)的图像由一条线的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则段及抛
10、物线的一部分组成，则f(x)的解析式为的解析式为_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日33【思维思维引引】1.先求先求f(5+6)，再求，再求f(f(5+6).2.分段令分段令f(m)=1，解方程求，解方程求m.3.第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数第一段为一次函数，第二段为二次函数，待定系数法求解析式法求解析式.2021/8/8 星期日34【解析解析】1.选选B.因为因为f(x)=所以所以f(5)=f(f(11)=f(9)=f(f(15)=f(13)=11.2021/8/8 星期日352.2.选选C.C.当当m1m0 x0时，设解析式为时，设解析式为y=a(x-2
11、)y=a(x-2)2 2-1(a0)-1(a0)，2021/8/8 星期日37因为图像过点因为图像过点(4(4，0)0)，所以，所以0=a(4-2)0=a(4-2)2 2-1-1，解得解得a=a=所以所以f(x)=f(x)=答案：答案：f(x)=f(x)=2021/8/8 星期日38【内化内化悟悟】已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？提示：提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定义域义域.2021/8/8 星期日39【类题类题通通】1.分段函数求函数值的方法分段函数求函数值的方法(1)确定要
12、求值的自变量属于哪一段区间确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值的形式时，应从内到外依次求值.2021/8/8 星期日402.分段函数求自变量值的方法分段函数求自变量值的方法分段令分段令f(x)等于已知的函数值，解方程求根，验证求出等于已知的函数值，解方程求根，验证求出的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去的根是否在该段的自变量范围内，不在范围内的舍去.2021/8/8 星期日413.求分段函数的解析式的方法求分段函数的解析式的方法首先确定每一段上函数的类型
13、，利用待定系数法求每首先确定每一段上函数的类型，利用待定系数法求每一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图一段上的解析式，其次写函数的解析式时，要注意图像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍像中连接点的虚实，以确定自变量范围中端点的取舍.2021/8/8 星期日42【习练习练破破】1.已知函数已知函数f(x)=若若f(x)=5，则，则x的值是的值是()A.-2B.2或或 C.2或或-2D.2或或-2或或 2021/8/8 星期日43【解析解析】选选A.由题意，当由题意，当x0时，时，f(x)=x2+1=5，得，得x=2，又，又x0，所以，所以x=-2；当；当x0时，时，f(x)=
14、-2x=5，得得x=舍去舍去.2021/8/8 星期日442.已知函数已知函数f(x)的图像如图所示，则的图像如图所示，则f(x)的解析式是的解析式是_.2021/8/8 星期日45【解析解析】因为因为f(x)的图像由两条线段组成，的图像由两条线段组成，所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得f(x)=答案：答案：f(x)=2021/8/8 星期日46【加练加练固固】已知函数已知函数f(x)=则则f(f(5)=()A.0B.-2C.-1D.12021/8/8 星期日47【解析解析】选选C.因为因为50，将，将x=5代入函数解析式，得代入函数解析式，得
15、f(5)=3-5=-2，所以，所以f(f(5)=f(-2)，因为因为-20，将，将x=-2代入函数解析式，代入函数解析式，得得f(-2)=(-2)2+4(-2)+3=-1.2021/8/8 星期日48类型三类型三 分段函数的综合问题分段函数的综合问题角度角度1范围问题范围问题【典例典例】已知已知f(x)=则不等式则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是世纪金榜导学号的解集是世纪金榜导学号()A.-2，1B.(-，-2C.D.2021/8/8 星期日49【思维思维引引】分分x+20，x+20两种情况解不等式两种情况解不等式.2021/8/8 星期日50【解析解析】选选D.(1)当当x+20，
16、即，即x-2时，时，f(x+2)=1，由由x+(x+2)f(x+2)5，可得，可得x+x+25，所以所以x即即-2x2021/8/8 星期日51(2)(2)当当x+20 x+20，即，即x-2x-2时，时，f(x+2)=-1f(x+2)=-1，由由x+(x+2)x+(x+2)f(x+2)5f(x+2)5，可得，可得x-(x+2)5x-(x+2)5，即即-25-25成立，所以成立，所以x-2.x-2.综上，不等式的解集为综上，不等式的解集为 2021/8/8 星期日52【素养素养探探】在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的在分段函数求范围的过程中，常常用到核心素养中的数学运算，通过分情况
17、后代入解析式，解不等式求范数学运算，通过分情况后代入解析式，解不等式求范围围.若将本例中的条件改为若将本例中的条件改为“已知已知f(x)=”试求不试求不等式的解集等式的解集.2021/8/8 星期日53【解析解析】(1)当当x+21，即，即x-1时，时，f(x+2)=1，由由x+(x+2)f(x+2)5，可得，可得x+x+25，所以所以x即即-1x2021/8/8 星期日54(2)(2)当当x+21x+21，即，即x-1x-1时，时，f(x+2)=-1f(x+2)=-1，由由x+(x+2)x+(x+2)f(x+2)5f(x+2)5，可得，可得x-(x+2)5x-(x+2)5，即即-25-25，
18、所以，所以x-1.x-1.综上，不等式的解集为综上，不等式的解集为 2021/8/8 星期日55角度角度2值域问题值域问题【典例典例】已知函数已知函数f(x)=世纪金榜导学世纪金榜导学号号(1)求求 的值的值.(2)画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域画出函数的图像，并根据图像写出函数的值域.2021/8/8 星期日56【思维思维引引】(1)先求先求 再求再求 (2)从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段从左向右，图像分别为射线、抛物线、射线，分段作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值作出图像，观察图像的最高点、最低点，然后确定值域域.2021/8/8 星期日57【解析解析】
19、(1)(2)由图像可知，函数的值域是由图像可知，函数的值域是(-，1.2021/8/8 星期日58【类题类题通通】1.已知函数值求字母取值的步骤已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论先对字母的取值范围分类讨论.(2)然后代入不同的解析式中然后代入不同的解析式中.(3)通过解方程求出字母的值通过解方程求出字母的值.(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内检验所求的值是否在所讨论的区间内.2021/8/8 星期日592.分段函数的值域分段函数的值域(1)利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域利用不等式的性质分段求出值域，再取各段上值域的并集，即为函数的值域的并集，即为函数的
20、值域.(2)作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范作出分段函数的图像，由图像观察函数值的取值范围围.2021/8/8 星期日60【习练习练破破】1.已知已知f(x)=使使f(x)-1成立的成立的x的取值的取值范围是范围是()A.-4，2)B.-4，2C.(0，2D.(-4，22021/8/8 星期日61【解析解析】选选B.因为因为f(x)-1，所以所以 或或 所以所以-4x0或或0 x2，即，即-4x2.2021/8/8 星期日622.若若f(x)=则则f(x)的值域为的值域为_.2021/8/8 星期日63【解析解析】当当x-1，1时，时，f(x)=x+7，在，在-1，1上上6x+78
21、，当，当x 1，2时，时，f(x)=2x+6，在，在1，2上上82x+610，所以函数，所以函数f(x)的值域为的值域为6，10.答案：答案：6，102021/8/8 星期日64【加练加练固固】已知已知f(x)=(1)画出函数画出函数f(x)的图像的图像.(2)求求f(x)的定义域和值域的定义域和值域.2021/8/8 星期日65【解析解析】(1)作出作出f(x)的图像，如图所示的图像，如图所示.2021/8/8 星期日66(2)(2)观察函数图像可知，函数观察函数图像可知，函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，值域，值域为为00，1.1.2021/8/8 星期日672021/8/8 星期日682021/8/8 星期日69