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1、3.3函数的应用(一)2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.一次函数模型一次函数模型形如形如y=kx+b的函数为一次函数模型，其中的函数为一次函数模型，其中k0.2021/8/8 星期日32.二次函数模型二次函数模型(1)一般式：一般式：y=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式：顶点式：_.(3)两点式：两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0).2021/8/8 星期日4【思考思考】一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示：提示：不一定，要根
2、据应用问题中的自变量的实际意不一定，要根据应用问题中的自变量的实际意义确定义确定.2021/8/8 星期日53.基本不等式基本不等式如果如果a，b是正数，那么是正数，那么 (当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”号号)2021/8/8 星期日6【思考思考】基本不等式适用的条件基本不等式适用的条件.提示：提示：(1)(1)代数式中各项必须都是正数代数式中各项必须都是正数.(2)(2)代数式中含变数的各项的和或积必须是常数；代数式中含变数的各项的和或积必须是常数；(3)(3)等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在.2021/8/8 星期日7【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打
3、“”“”，错的打，错的打“”)(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式数据都适合函数模型的解析式.()2021/8/8 星期日8(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定析式唯一确定.()(3)利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解决的实际问题决的实际问题.()2021/8/8 星期日9提示：提示：(1).(1).只要大部分数据适合就可以只要大部分数据适合就可以.(2).(2).由解析式、自变量的实际意
4、义共同确定由解析式、自变量的实际意义共同确定.(3).(3).建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出的数据要能解释实际问题的数据要能解释实际问题.2021/8/8 星期日102.小明的父亲饭后出去散步，从家中走小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个分钟到一个离家离家900米的报亭看米的报亭看20分钟报纸后，用分钟报纸后，用20分钟返回家里，分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离与距离y之间的关系的是之间的关系的是()2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12【解析解析】选
5、选A.小明父亲行走的路程前小明父亲行走的路程前20分钟增加到分钟增加到900米，米，20分钟至分钟至40分钟路程不增加，分钟路程不增加，40分钟至分钟至60分钟路分钟路程减少至程减少至0，因此，因此A中图像符合题意中图像符合题意.2021/8/8 星期日133.某商品进货单价为某商品进货单价为30元，按元，按40元一个销售，能卖元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨个；若销售价格每涨1元，销量减少元，销量减少1个，要获得最大个，要获得最大利润，此商品的销售单价应是利润，此商品的销售单价应是()A.55元元B.50元元C.56元元D.48元元2021/8/8 星期日14【解析解析】选选A.A.设
6、销售单价为设销售单价为x x元，总利润为元，总利润为W W元，元，则则W=(x-30)40-1(x-40)=-xW=(x-30)40-1(x-40)=-x2 2+110 x-2400+110 x-2400=-(x-55)=-(x-55)2 2+625+625，所以，所以x=55x=55时获得最大利润为时获得最大利润为625625元元.2021/8/8 星期日154.某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1个分裂成个分裂成2个，个，2个分裂成个分裂成4个个现有现有2个这样的细胞，分裂个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数次后得到细胞的个数y与与x的函数关系是的函数关系是()A.y=2xB.y=2x
7、-1C.y=2xD.y=2x+12021/8/8 星期日16【解析解析】选选D.分裂一次后由分裂一次后由2个变成个变成22=22个，分裂两个，分裂两次后变成次后变成42=23个个分裂分裂x次后变为次后变为y=2x+1个个.2021/8/8 星期日17类型一一次函数模型类型一一次函数模型【典例典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：户选择：方案一：每户每月收管理费方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过元，月用电不超过30度，度，每度每度0.4元，超过元，超过30度时，超过部分按每度度时，超过部分按每度0.5元元.2021/8/8 星期日18方
8、案二：不收管理费，每度方案二：不收管理费，每度0.48元元.(1)求方案一收费求方案一收费L(x)元与用电量元与用电量x(度度)间的函数关系间的函数关系.(2)小李家九月份按方案一交费小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用元，问小李家该月用电多少度？电多少度？(3)小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？方案二更好？2021/8/8 星期日19【思维思维引引】利用两种方案的解析式解决相应的问题利用两种方案的解析式解决相应的问题.2021/8/8 星期日20【解析解析】(1)(1)当当0 x300 x30时，时，L(x)=2+0
9、.4xL(x)=2+0.4x；当当x30 x30时，时，L(x)=2+300.4+(x-30)0.5L(x)=2+300.4+(x-30)0.5=0.5x-1=0.5x-1，所以所以L(x)=L(x)=2021/8/8 星期日21(2)(2)当当0 x300 x30时，时，L(x)L(30)=14L(x)L(30)=14，故小李家九月份用电超过故小李家九月份用电超过3030度，度，由由0.5x-1=340.5x-1=34得得x=70 x=70，故小李家该月用电，故小李家该月用电7070度度.2021/8/8 星期日22(3)(3)方案二收费方案二收费E(x)=0.48xE(x)=0.48x，x
10、0 x0，令令L(x)E(x)L(x)E(x)，当当0 x300 x30时，时，2+0.4x0.48x2+0.4x0.48x，解得，解得，25x302530 x30时，时，0.5x-10.48x0.5x-10.48x，解得，解得，30 x5030 x50，综上可得小李家月用电量在综上可得小李家月用电量在(25(25，50)50)时，选择方案一时，选择方案一比选择方案二更好比选择方案二更好.2021/8/8 星期日23【内化内化悟悟】怎样求一次函数的解析式？怎样求一次函数的解析式？提示：提示：设设f(x)=kx+b(k0)f(x)=kx+b(k0)，利用条件求出系数，利用条件求出系数k k，b.
11、b.即待定系数法即待定系数法.2021/8/8 星期日24【类题类题通通】应用分段函数时的三个注意点应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的分段函数的“段段”一定要分得合理，不重不漏一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集并集.2021/8/8 星期日25(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论后比较再下结论.2021/8/8 星期日26【习练习练破破】已知已知A，B两地相距两地相距150千米，某人开汽车以千米，某人开汽车以60千米千米/时时
12、的速度从的速度从A到达到达B地，在地，在B地停留地停留1小时后再以小时后再以50千米千米/时时的速度返回的速度返回A地，把汽车离开地，把汽车离开A地的距离地的距离x表示为时间表示为时间t的函数，表达式为的函数，表达式为_.2021/8/8 星期日27【解析解析】由题意得由题意得A A，B B两地相距两地相距150150千米，千米，某人开汽车以某人开汽车以6060千米千米/时的速度从时的速度从A A地到达地到达B B地，地，需要需要2.52.5小时，小时，以以5050千米千米/时的速度返回时的速度返回A A地，需要地，需要3 3小时；小时；所以当所以当0t2.50t2.5时，时，x=60tx=6
13、0t，当，当2.5t3.52.5t3.5时，时，x=150 x=150，2021/8/8 星期日28当当3.5t6.53.5t6.5时，时，x=150-50(t-3.5)x=150-50(t-3.5)，所以所以x=x=答案：答案：x=x=2021/8/8 星期日29类型二二次函数的应用类型二二次函数的应用【典例典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地地.上市时，外商李经理按市场价格上市时，外商李经理按市场价格10元元/千克在本市千克在本市收购了收购了2000千
14、克香菇存放入冷库中千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇据预测，香菇2021/8/8 星期日30的市场价格每天每千克将上涨的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在元，而且香菇在冷库中最多保存冷库中最多保存110天，同时，平均每天有天，同时，平均每天有6千克的香千克的香菇损坏不能出售菇损坏不能出售.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日31(1)若存放若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为的销售总金额为y元，试写出元，试
15、写出y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式.(2)李经理如果想获得利润李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存元，需将这批香菇存放多少天后出售？放多少天后出售？(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？润？最大利润是多少？2021/8/8 星期日32【思维思维引引】(1)(1)销售金额销售金额=售价售价销售量销售量.(2)(2)表示出利润表示出利润=销售总金额销售总金额-收购成本收购成本-各种费用，再各种费用，再求存放时间求存放时间.(3)(3)对利润的表达式配方求最值对利润的表达式配方求最值.2021/8/8
16、星期日33【解析解析】(1)(1)由题意由题意y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2 000-6x)y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x=-3x2 2+940 x+20 000(1x110+940 x+20 000(1x110，且，且x x为整数为整数).).(2)(2)由题意令由题意令-3x-3x2 2+940 x+20 000-102 000-340 x=+940 x+20 000-102 000-340 x=22 50022 500，解方程得：，解方程得：x x1 1=50=50，x x2 2=150(=150(不合题意，舍不合题意，
17、舍去去)，故需将这批香菇存放，故需将这批香菇存放5050天后出售天后出售.2021/8/8 星期日34(3)(3)设利润为设利润为w w，由题意得，由题意得w=-3xw=-3x2 2+940 x+20 000-102 000-340 x+940 x+20 000-102 000-340 x=-3(x-100)=-3(x-100)2 2+30 000.+30 000.因为因为a=-30a=-30，所以抛物线开口方向向下，所以，所以抛物线开口方向向下，所以x=100 x=100时，时，w w最大最大=30 000=30 000，所以李经理将这批香菇存放，所以李经理将这批香菇存放100100天后出天
18、后出售可获得最大利润，最大利润是售可获得最大利润，最大利润是30 00030 000元元.2021/8/8 星期日35【内化内化悟悟】求二次函数模型的最值需要关注哪些方面？求二次函数模型的最值需要关注哪些方面？提示：提示：需要关注需要关注(1)(1)函数的开口方向；函数的开口方向；(2)(2)对称轴；对称轴；(3)(3)自变量的取值范围自变量的取值范围.2021/8/8 星期日36【类题类题通通】利用二次函数求最值的方法及注意点利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性
19、等方用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题省等最值问题.2021/8/8 星期日37(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.2021/8/8 星期日38【习练习练破破】某水厂的蓄水池中有某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注吨的速度向池中注水，若水，若t小时内向居民供水总量为小时内向居民供水总量为100(0t24)，则当则当
20、t为何值时蓄水池中的存水量最少？为何值时蓄水池中的存水量最少？2021/8/8 星期日39【解析解析】设设t t小时后，蓄水池中的存水量为小时后，蓄水池中的存水量为y y吨，吨，则则y=400+60t-100 (0t24).y=400+60t-100 (0t24).设设u=u=，则，则u0u0，2 2 ，y=60uy=60u2 2-100 u+400=60 +150-100 u+400=60 +150，所以当所以当u=u=即即t=t=时，蓄水池中的存水量最少时，蓄水池中的存水量最少.2021/8/8 星期日40类型三基本不等式的应用类型三基本不等式的应用【典例典例】某单位用某单位用2160万元
21、购得一块空地，计划在该万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少地块上建造一栋至少10层，每层层，每层2000平方米的楼房平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的层，则每平方米的平均建筑费用为平均建筑费用为560+48x(单位：元单位：元).为了使楼房每平为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日41【思维思维引引】平均综合费用平均综合费用=平均建筑费用平均建筑费用+平均购平均购地费用，地费用，平均购地费用平均购地费用=，建设层数，建设
22、层数x x必须为正整数必须为正整数.2021/8/8 星期日42【解析解析】设楼房每平方米的平均综合费用为设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)f(x)元，元，则则f(x)=(560+48x)+f(x)=(560+48x)+=560+48x+(x10=560+48x+(x10，xNxN*).).所以所以f(x)=560+48x+f(x)=560+48x+560+2 =2 000560+2 =2 000，2021/8/8 星期日43当且仅当当且仅当48x=48x=，即，即x=15x=15时取等号时取等号.因此，当因此，当x=15x=15时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值f(15)=2 00
23、0f(15)=2 000，即为了，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为1515层层.2021/8/8 星期日44【类题类题通通】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：路和方法：先理解题意，设出变量，一般把要求最先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；值的量定为函数；2021/8/8 星期日45建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大在定义域内，求出函数
24、的最大值或最小值；值或最小值；根据实际背景写出答案根据实际背景写出答案.2021/8/8 星期日46【习练习练破破】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为，深为3m，如果池底每，如果池底每1m2的造价为的造价为150元，元，池壁每池壁每1m2的造价为的造价为120元，问怎样设计水池能使总元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？造价最低，最低总造价是多少元？2021/8/8 星期日47【解析解析】设水池底面一边的长度为设水池底面一边的长度为x mx m，水池的，水池的总造价为总造价为l元，根据题意，得元，根据题意，得l=240 000+720 =240 000+720 240 000+7202 240 000+7202 =240 000+720240=297 600=240 000+720240=297 600，当，当x=x=，即即x=40 x=40时，有最小值时，有最小值297 600.297 600.2021/8/8 星期日48因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为40 m40 m的正方形时，的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是水池的总造价最低，最低总造价是297 600297 600元元2021/8/8 星期日492021/8/8 星期日502021/8/8 星期日51