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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-2 2021/8/8 星期日1推理与证明推理与证明第一章第一章2021/8/8 星期日2第一章第一章章末归纳总结章末归纳总结2021/8/8 星期日3知知 识识 结结 构构2知知 识识 梳梳 理理1专专 题题 研研 究究3限限 时时 训训 练练42021/8/8 星期日4知知 识识 梳梳 理理2021/8/8 星期日5一、推理推理的分类、过程和作用如下：合情推理归纳推理类比推理演绎推理过程由部分到整体、个别到一般由特殊到特殊由一般到特殊结论不一定正确，有待证明不一定正确，有待证明在
2、前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确作用猜测和发现结论、探索和提供证明思路证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程2021/8/8 星期日6二、数学问题的证明1综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途径。2021/8/8 星期日7用P表示已知条件及已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则分析法可用框图表示为：2021/8/8 星期日82反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设
3、，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定与结论相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)存真2021/8/8 星期日93数学归纳法数学归纳法是逻辑推理，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的2021/8/8
4、星期日10知知 识识 结结 构构2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12专专 题题 研研 究究2021/8/8 星期日13将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数为_ 归纳推理 2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15(1)对于问题：“已知关于x的不等式ax2bxc0的解集为(1,2)，解关于x的不等式ax2bxc0”，给出如下一种解法：类比推理 2021/8/8 星期日16答案(3，1)(1,2)2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18点评在平时学习中，
5、常以一两个对象为中心，把它们的特征中有类比关系的特征归纳整理成图表思维过程一般为：具体问题类比推理联想形成一般命题 结论猜想证明预见.2021/8/8 星期日19对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)0；(2)试判断函数f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函数 用综合法证明 2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期
6、日22点评用综合法证明问题的特点是从已知条件出发，逐步推向结论综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.2021/8/8 星期日23用分析法证明2021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26点评本题主要考查了三角函数与不等式证明的综合应用，题目中的条件与结论之间的关系不明显，因此可以用分析法挖掘题目中的隐含条件，在证明过程中注意分析法的格式与步骤对于与三角函数有关的证明题，在证明过
7、程中注意角的取值范围及三角恒等变形公式的灵活应用.2021/8/8 星期日27 求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形反证法 2021/8/8 星期日28假设四边形ABCD是平行四边形，则kABkCD，kBCkDA，从而得y1y3，y2y4，进而得x1x3，x3x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相矛盾故四边形ABCD 不可能是平行四边形点评当结论为否定形式的命题时，常常借助于反证法进行证明，如将“不可能是平行四边形”假设为“能成为平行四边形”，然后利用已知条件和假设结论进行演绎推理，推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾，从而得出“
8、假设不成立”的结论.2021/8/8 星期日29 已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cosA是有理数(2)对任意正整数n，求证：cosnA是有理数分析本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力数学归纳法 2021/8/8 星期日302021/8/8 星期日31假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数当nk1时，由cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知cos(
9、k1)A与sinAsin(k1)A都是有理数即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cosnA是有理数2021/8/8 星期日32限限 时时 训训 练练2021/8/8 星期日33一、填空题1依次写出数列a11，a2，a3，an(nN*)的法则如下：如果an2为自然数且未写过，则写an1an2，否则就写an1an3，则a6()A4B5C6D7答案C解析根据题中法则，依次逐个代入，得a24，a32，a40，a53，a66.2021/8/8 星期日34答案C2021/8/8 星期日353(2014东北三校模拟)下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667k B27k1C2(27k1
10、)D3(27k)答案D2021/8/8 星期日36解析(1)当k1时，显然只有3(27k)能被9整除(2)假设当kn(nN*)时，命题成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除，36能被9整除，21(27n)36能被9整除，这就是说，kn1时命题也成立由(1)(2)可知，命题对任何kN*都成立2021/8/8 星期日37答案amnbmnambnanbm(a，b0，ab，m，n0)2021/8/8 星期日382021/8/8 星期日39答案412021/8/8 星期日402021/8/8 星期日412021/8/8 星期日422021/8/8 星期日43点评这类问题是由n1，n2两种特殊情况求出a，b的值，即由不完全归纳法得出结论对所有的正整数是否成立，还需要用数学归纳法加以证明2021/8/8 星期日442021/8/8 星期日45