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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第第3章章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数3.2 边缘分布边缘分布3.3 二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布3.4 随机变量的独立性随机变量的独立性3.5 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放
2、在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.1 二维随机变量及其二维随机变量及其分布函数分布函数 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物图示图示e )(eY S)(eX , ,( )(
3、),(,)ESeXX eYY eSX Y设设是是一一个个随随机机试试验验 它它的的样样本本空空间间是是设设和和是是定定义义在在上上的的随随机机变变量量 由由它它们们构构成成的的一一个个向向量量叫叫作作二二维维随随机机向向量量或或二二维维随随机机变变量量。3.1.1 二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数 1.定义定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物
4、实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量。就是一个二维随机变量。实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿区学前儿童的发育情况童的发育情况 , 则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变就构成二维随机变量量 ( H, W )。说明说明 因此逐个地研究因此逐个地研究 X 或或 Y 的性质还不够，还的性质还不够，还要将要将(X,Y) 作为一个整体来研究。作为一个整体来研究。 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的的性质不仅与性质不仅与 X 、Y有关有关,而且还而且还依赖于这两个随机变量的相互依赖于这两个随机变量的相互关系
5、。关系。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 ()( (,), ,: ( , ),(,)PXxYyX Yx yF x yP Xx YyX YXY 设设是是二二维维随随机机变变量量 对对于于任任意意实实数数二二元元函函数数称称为为二二维维随随机机变变量量的的分分布布函函数数，或或
6、称称为为随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布函函数数。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物xoy),(yx yYxX , 如果将二维随机变量如果将二维随机变量(X,Y) 看成是平面上看成是平面上随机点的坐标。则分布函数随机点的坐标。则分布函数 F(x,y)= PXx, Yy在在(x,y)处的函数值就是随机点处的函数值就是随机点 (X,Y) 落在如图落在如图所
7、示，以点所示，以点(x, y) 为顶点而位于该点左下方的为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。无穷矩形域内的概率。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 由分布函数，可计算事件由分布函数，可计算事件Px1X x2,y1Y y2 的概率为：的概率为：1212,P xXxyYy22(,)F xy 1y2y1x2x22(,)xy12(,)xy21(,)xyxoy
8、1212,xXxyYy11(,)xy12(,)F xy 21(,)F xy 11(,)F xy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2) 分布函数的性质分布函数的性质o21211( , ),(, )(, ),F x yxyyxxF xyF xy 是是变变量量和和的的不不减减函函数数 即即对对于于任任单单变变量量的的单单调调性性意意固固定定的的当当时时).,()
9、,(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的o01,()2,F x y , y对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy. 1),(lim),( yxFFyx, 0),(lim),( yxFFyx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物o3
10、( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xyF x yF x yF x yxy 单单变变量量的的即即关关于于右右连连右右连连续续续续 关关于于也也右右连连续续性性,),(),(421212211oyyxxyxyx 对对于于任任意意22211112 .(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF xyF xy 有有证明证明12120,P xXxyYy 22(,)F xy 12(,)F xy 21(,)F xy 11(,)F xy 22211112 (,)(,)(,)(,)0.F xyF xyF xyF xy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这
11、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 若二维随机变量若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有所取的可能值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型为二维离散型随机变量。随机变量。3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 定义定义3.3 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一
12、个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 11121,0ijijijpp 。(,)(,), ,1, 2,1, 2, (,) , ijijijX Yxyi jP Xx Yypi jX YXY 设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量所所有有可可能能取取的的值值为为记记称称此此为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布律律或或随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律。联联合合分分布布律律的的性性质质：我吓了一跳，蝎子是多么
13、丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为XY 21ixxxjyyy21 12111ippp 22212ippp 21ijjjppp分分布布函函数数为为,(,)ijijxxyyF xyp 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一
14、个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.1 设设X表示随机的在表示随机的在14的的4个整数中取出的一个数个整数中取出的一个数,Y表示在表示在1X个整数中随机地取出的一个数个整数中随机地取出的一个数, 求求X与与Y的的联合分布律及分布函数。联合分布律及分布函数。解：解： 由题意知，由题意知，X=i，Y=j 的取值情况是：的取值情况是：i =1,2,3,4，且是等可能的；然后且是等可能的；然后 j 取不大于取不大于 i 的正整数。由乘的正整数。由乘法公式求得法公式求得 ( X,Y )
15、的分布律。的分布律。11, |,41,2,3,4,.P Xi YjP Xi P Yj Xiiiji其中我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物X Y123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16于是于是(X,Y)的分布律为的分布律为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但
16、是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.2 设随机变量设随机变量Y 服从参数为服从参数为 = 1的指数分布，的指数分布，随机变量随机变量试求试求X1和和X2的联合分布律。的联合分布律。解解 Y的分布函数为的分布函数为X1和和X2有有4组可能值组可能值 (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)10111YXY 20212YXY 10( )00yeyF yy 12(0,0)P XX (1)P Y12(0,1)P XX()P (1
17、,2)P YY(1,2)P YY(1)F 11;e 0; 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物12(1,0)P XX(12)PY12(1,1)P XX (2)P YX1和和X2的联合分布律为的联合分布律为01011X2X011e 12ee 2e (1,2)P YY (1,2)P YY(2)(1)FF 12;ee1(2)F 2.e 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖
18、的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将将(X,Y )看成一个随机点的坐标看成一个随机点的坐标, 则离散型则离散型随机变量随机变量 X 和和 Y的联合分布函数的联合分布函数为为( , )ijijxx yyF x yp 其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足 xi x, yj y 的的 i, j 来来求和的求和的.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是
19、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 (, )( , ),( , ),( , )( , ) d d ,(, ),( , )(, ),yxX YF x yf x yx yF x yf u vu vX Yf x yX YXY 对对于于二二维维随随机机变变量量的的分分布布函函数数如如果果存存在在非非负负的的函函数数使使对对于于任任意意有有则则称称是是连连续续型型的的二二维维随随机机变变量量 函函数数称称为为二二维维随随机机变变量量的的概概率率密密度
20、度 或或称称为为随随机机变变量量和和的的联联合合概概率率密密度度。定义定义 3.5 3.1.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物. 1),(dd),()2( Fyxyxf.dd),(),( GyxyxfGYXP. 0),()1( yxf2.性质性质内的概率为内的概率为落在落在点点平面上的一个区域平面上的一个区域是是设设GY
21、XxoyG),(,)3(. ),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf 则则有有连连续续在在若若我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1。,dd),(),( GyxyxfGYXP, 1dd),( yxyxf 3.说明说明(,) ,( ,
22、 )PX YGGzf x y 的的值值等等于于以以 为为底底 以以曲曲面面为为顶顶面面的的柱柱体体体体积积。,( , )zf x y 几几何何上上表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.3 设设 (X,Y) 的密度函数为的密度函数为(2) 求求(X,Y)的的分布函数分布函数F(x,y);(1) 求常数求常数k;解解 (1
23、) 由性质由性质2(23 )0,0( , )0 xykexyf x y 其其它它(3)(2 )1PXY 求求1( , )ddf x yxy (23 )00 xykedxdy 16k所以所以 。6k 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(2)( , )( , )yxF x yf x y dxdy 00 xy当当且且时时23(1)(1)0,0( , )0 xyeex
24、yF x y 其其它它0 xy0,x 当当时时( , )00yxF x ydxdy 0,y 当当时时( , )00yxF x ydxdy (23 )0 0( , )y xxyF x yedudv 23(1)(1)xyee我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物323221(1)/ 261240.513500 xyxedxedyee (3) (,)( , )DPX Y
25、Df x y dxdy 21xy D011/2xy( , )|0,0,21Dx yxyxy 。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1. 均匀分布均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二若二维随机变量维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度具有概率密度则称则称 ( X , Y ) 在在 D 上服从上服从均匀分
26、布均匀分布。 ., 0,),(,1),(其他其他DyxSyxf3.1.4 两个常用的分布两个常用的分布 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2. 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度具有概率密度 2222212121212)()(2)()1(21221e121),(yyxxyxf. 11, 0, 0,212121 且
27、且均均为为常常数数其其中中),( yx记记为为正正态态分分布布的的二二维维服服从从参参数数为为则则称称.,),(2121YX),(),(222121NYX我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二维正态分布的图形二维正态分布的图形我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我
28、吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物推广推广 n 维随机变量的概念维随机变量的概念112212 , ,( ),( ),( ),(,)nnnESeXX eXXeXXeSnXXXnn设设是是一一个个随随机机试试验验它它的的样样本本空空间间是是设设是是定定义义在在上上的的随随机机变变量量 由由它它们们构构成成的的一一个个定定义义维维随随机机向向维维向向量量叫叫做做或或维维量量随随机机变变量量。12,nnx xxn对对于于任任意意个个实实数数元元函函数数,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 1
29、2(,)nXXX联联称称为为随随机机变变量量的的数数。合合分分布布函函我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.2 边缘分布边缘分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证
30、实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二维随机变量二维随机变量 (X,Y )作为一整体作为一整体, 具有分布函具有分布函数数 F(x,y), 而而 X 和和 Y 都是一维随机变量都是一维随机变量 , 也有也有自己的分布函数自己的分布函数, 分别记为分别记为 FX(x), FY(y),依次依次称为二维随机变量称为二维随机变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y 的的边缘边缘分布函数分布函数. XFxP Xx ,YFyP YyP XYyFy 3.2.1 边缘分布函数边缘分布函数 ,P Xx Y ,F x我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，
31、证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物+1( )( ,)ijiXijijxx yxx jFxF xpp ( )()()iXixxFxP XxP Xx又1(),1,2,iijjP Xxpi故故X的分布律为的分布律为+1( )(, )ijjYijijxyyyy iFyFypp ( )()()jYjyyFyP YyP Yy又1(),1,2,jijiP Yypj故故Y的分布律为的分布律为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但
32、是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物11(,),1,2,.,1,2,1,2,(1,2,)(1,2,)(,)ijijiijijjijjiijX YP Xx Yypi jppP XxippP YyjpipjX YXY 设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量的的联联合合分分布布律律为为记记分分别别称称和和为为关关于于和和关关于于的的定定义义边边缘缘分分布布律律。3.2.2二维离散型随机变量的边缘分布律二维离散型随机变量的边缘分布律 我吓了一跳，
33、蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布ixXPjjp1jjp2jijpiip1iip2iijpiP Yy1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但
34、是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1( )( ,)iXijxx jFxF xp 1( )( , )jYijyy iFyFyp 因此得离散型随机变量关于因此得离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物补充例补充例3.5 袋中装有袋中装有2只白球及只白球及3只黑球，现分只黑球，现分
35、别进行无放回、有放回的摸球，定义下列随机别进行无放回、有放回的摸球，定义下列随机变量。变量。 10X 第第一一次次摸摸出出白白球球第第一一次次摸摸出出黑黑球球10Y 第第二二次次摸摸出出白白球球第第二二次次摸摸出出黑黑球球 XY试试求求随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律与与边边缘缘分分布布律律。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0101YX1解解 （
36、 ）无无放放回回3 25 4 3 25 4 2 35 4 2 15 4 XY随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律与与边边缘缘分分布布律律为为2只白球及只白球及3只黑球只黑球iiP Xxp jjP Yyp 352513525我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意注意 联合分布联合分布边缘分布边缘分布0101YX2解解 （ ）有有放放回回3 35 5 3
37、25 5 2 35 5 2 25 5 XY随随机机变变量量和和的的联联合合分分布布律律与与边边缘缘分分布布律律为为2只白球及只白球及3只黑球只黑球iiP Xxp jjP Yyp 352513525我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3.6 已知随机变量已知随机变量(X,Y )的边缘分布律分别是的边缘分布律分别是XpkY111424101 112201pk(0
38、)1(,)P XYX Y且且, ,求求分分布布律律我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(,),( , ),( , )d)( ,)d ,( )( , )d ,(,)xXXf x yyX Yf x yFxF xxfxf x yyXXY 对对于于连连续续型型随随机机变变量量设设它它的的概概率率密密度度为为由由于于记记称称其其为为定定义义的的边边缘缘随随概概机机变变量量
39、关关于于率率密密度度。3.2.3 连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.( ,( )(, ),ddyYf x yyyyxFF 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？
40、但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物26,( , )0,.( ),( )XYXYxyxf x yfxfy 设设随随机机变变量量和和具具有有联联合合概概率率密密度度其其他他求求边边缘缘概概率率密密度度。解解yyxfxfXd),()( ,10时时当当 xyyxfxfXd),()( xxy2d6补充例补充例3.7xy 2xy Oxy)1 , 1(26()xx 。1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是
41、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,10时时或或当当 xx( )( , )d0Xfxf x yy 。26(),01,( )0,Xxxxfx 因因而而得得其其他他。xy 2xy Oxy)1 , 1(1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没
42、有错：表里边有一个活的生物,10时时当当 yxyxfyfYd),()( ,10时时或或当当 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其其他他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物221( , )01xyf x y 其其它它221| | 1( )0| | 1Xx
43、xfxx 例例3.7 设设 (X,Y ) 服从区域服从区域 D 上的均匀分布上的均匀分布, 其中其中 D=(x,y) | x2+y21, 求边缘概率密度。求边缘概率密度。解解则则Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为:221xy 21y 21y xy0y22121( )( ,)d12d1, |1,0,|1.Yyyfyf x yxxyyy 同理可得同理可得X的的边缘概率密度边缘概率密度我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是
44、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(,)X Y设设二二维维随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf试试求求二二维维正正态态随随机机变变量量的的边边缘缘概概率率密密度度。, yx121212,0,0,11 其其中中都都是是常常数数 且且。例例3.8我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的
45、猜测没有错：表里边有一个活的生物解解,d),()(yyxfxfX 由于由于21212222)(2)(yxy ,)(2121221122xxy 于是于是,dee121)(112202121)1(212)(221yxfxyxX ,1111222 xyt令令我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则有则有,dee21)(22)(122121txftxX .,e21)(21
46、212)(1 xxfxX即即同理可得同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并并且且都都不不依依赖赖于于参参数数 。.,e21)(22222)(2 yyfxY我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例题说明例题说明:二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于
47、参数并且不依赖于参数.对于给定的对于给定的m m1,m m2,s s1,s s2,不同的不同的 对应不同的对应不同的二维二维正态分布正态分布,但它们的边缘分布都是一样的但它们的边缘分布都是一样的.单由关于单由关于X和和Y的边缘分布的边缘分布,一般来说是不能确定一般来说是不能确定随机变量随机变量X和和Y的联合分布的的联合分布的, 这时还必须考虑它这时还必须考虑它们之间的联系们之间的联系.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢
48、？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物22223(,)(,)|1.6xyX YGxyab 设设服服从从上上的的均均匀匀分分布布，即即具具有有补补充充例例概概率率密密度度222211(,)0,xyf xyabab ，；其其它它。试试求求各各边边缘缘概概率率密密度度。xyox直直接接套套【解解】用用公公式式。(, )xa a 对对，222222212( )dbaxabXaxafxyaxaba 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它
49、放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物因因此此2222,;( )0 ,Xaxaxafxa 其其它它。2222,;( )0,Ybybybfyb 其其它它。由由对对称称性性得得到到我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物.d),()( yyxfxfX联合分布联合分布 边缘分布边缘分布 .d),()( xyxfyfY3.2.
50、4 小结小结.dd),(),()( yYyxyxfyFxF.dd),(),()( xXxyyxfxFxF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.3 条件分布条件分布我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美