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1、习题8-11. 设有一平面薄片,在xOy平面上形成闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为(x,y),且(x,y)在D连续,试用二重积分表示该薄片的质量.解:.2. 试比较下列二重积分的大小:(1) 与,其中D由x轴、y轴及直线x+y=1围成;(2) 与,其中D是以A(1,0),B(1,1),C(2,0)为顶点的三角形闭区域.解:(1)在D内,. (2) 在D内,, 习题8-21. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1) ,其中D为矩形闭区域:;(2) ,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;(3) ,其中D是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域;(4) ,其中D是半圆形闭
2、区域:x2+y24,x0;(5) ,其中D为:0x4,1ye;(6) 其中D是由曲线所围成的闭区域.解:(1) (2) (3) (4) 因为被积函数是关于y的奇函数,且D关于x轴对称,所以 (5) . (6) .2. 将二重积分化为二次积分(两种次序)其中积分区域D分别如下:(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形;(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;(3) 由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域;(4) 由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解:(1) (2) (3) (4) 3. 交换下列二次积分的积分次序:(1) ; (2); (3) ; (4)
3、 .解:(1) .(2) (3) (4) .4. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解:5. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6z截得的立体体积.解:习题8-31. 画出积分区域,把二重积分化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D是:(1) x2+y2a2(a0); (2) x2+y22x;(3) 1x2+y24; (4) 0y1x,0x1.解:(1) (2) (3) (4) 2. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1) ;(2) 解:(1) .(2) 3. 在极坐标系下计算下列
4、二重积分:(1),其中D是圆形闭区域: x2+y21;(2) ,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;(3) ,其中D是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域;(4) 其中D由圆周x2+y2=Rx(R0)所围成.解:(1) (2) .(3) (4) .4. 求由曲面z=x2+y2与所围成的立体体积.解:两条曲线的交线为x2+y2=1,因此,所围成的立体体积为:习题8-41. 计算反常二重积分,其中D:x0,yx.2. 计算反常二重积分,其中D:x2+y21.解:1. 所以2. 由,得复习题8(A)1. 将二重积分化为二次
5、积分(两种次序都要),其中积分区域D是:(1) x1,y2;(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解:(1) (2) 2. 交换下列两次积分的次序:(1);(2);(3)解:(1) .(2) .(3) .3. 计算下列二重积分:(1) , D: x1,y1;(2) ,D由直线y=1,x=2及y=x围成;(3) ,D由y=x和y=x围成;(4) ,D:x+y1;(5) ,D由与y=x围成;(6) ,D是圆域x2y2R2;解: (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .4. 已知反常二重积分收敛,求其值其中D是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象限所围成的区域 解:设则
6、.所以.5. 计算解:由第四节例2以及是偶函数,可知.6. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积解:曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2 =4.因此,所围空间立体的体积为: .7. 已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e,1)的切线(1) 求由曲线y=lnx,直线和y=0所围成的平面图形D的面积;(2) 求以平面图形D为底,以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积解:(1) .(2) .(B)1. 交换积分次序: (1) ; (2); (3) ; (4) .解:(1) .(2) .(3) .(4) .2. 计算积分.解: .3. 计算积分.解: 令,则原式 .4. 设函数f(x)在区间上连续,且,求.解:设.5. 计算,其中D是由直线y=0,y=1及双曲线x2y2=1所围成的闭区域.解:.6. 计算.解:.7. 证明,其中n为大于1的正整数.证: