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1、第八章习题解答练习8.13 解：(1)在内显然有,所以在内有 故 .(0,1) (2)由已知可得BC的直线方程为0(1,0)(3,0)从而内有B(1,1)所以.4解: (1)所以A(1,0)C(2,0).(2) 因为所以.5. 因为有， 所以 所以于是 故取负号.练习8.21. 对. 因为根据定理1有所以等式成立.2. (1)由已知的二次积分得积分区域 推出由围成；写成型区域 故 =.（2）由已知得积分区域为： 推出由围成；写成型区域 故 =.（3）由已知得积分区域为： 推出由围成；将写成型区域: ：故 =+.（4）由已知得积分区域由和构成: : 推出由围成;写成型区域 故 .3. (1) .
2、(2) = = （利用第六章公式）.(3) 由已知推出由围成；= .(4) 为： =.4. (1) 因为极坐标系下所以(2) 因为，即将 代入得的极坐标方程)极坐标系下所以. 5. (1) 已知推出由围成；极坐标系下.(2) 已知为：推出由即围成；将 代入得的极坐标方程)极坐标系下.6. (1) 极坐标系下.(2) 极坐标系下.(3) 极坐标系下.(4) 极坐标系下 .练习8.31. (1) 令作变换 在变换下变成原积分.（2）令 作变换 在变换下变成原积分.2. 令 作变换 在变换下变成.习题81. 填空题（1） 因为,所以；而，于是，故.(2) 所以.(3) ，所以 .(4) 因为 推出为
3、的上半圆；换积分次序有所以.(5) 由 有.(6) 因为由已知推出由围成；换积分次序有所以原二次积分故 .(7) 因为， 所以.(8) 由积分区域和被积函数的形式知用极坐标计算.2. 选择题(1) 由已知有,据二重积分中值定理有 又, 得 即， 故选.-112-2(2) 因为与在第一象限重合，关于轴、轴都对称，关于、都是偶函数，所以，故选.(3) 因为，所以, 故选.(4) 已知 由有得即，推出为的上半圆； 所以 于是， 故选. (5) 正确的是, 故选. (6) 已知,推出由围成；换积分次序有所以, 故选.(7) 由有得, 是在轴上方部分交点： 故有于是, 故选.(8) . , , , 故选
4、.(9) . 因为常数，所以， 故选.(10) . , 故选.(11) 已知, 推出由围成；换积分次序=, 故选.(12) 因为， 故选. (13) 由已知显然有,但被积函数只是记号不是具体解析式,而,所以,故选. (14) 设 (如图) 图形关于轴对称，被积函数中关于是偶函数，关于是奇函数；图形关于轴对称，被积函数关于是奇函数； , 故选.(15) 因为, 所以, 故选.(16) , 故选.(17) 由已知推出由即围成；将 代入得的极坐标方程)所以极坐标系下, 故选.(18) 由已知的推出为单位圆的上半圆部分，所以直角坐标系下, 故选.(19) 由已知的可知,非正,而,于是所以, 故选.(2
5、0) 由已知有, 故选.3. (1)由， 显然有最大值在边界上取得，即求满足的最值，将代入有得唯一驻点 ，是极大值点也就是最大值点，于是 所以, 即 故 .(2) 因为 所以 所以.(3) 由 有 于是 所以.4(1) 由有 （先对积分，后对积分）. （先对积分，后对积分）(2) 将表示成型： （先对积分，后对积分）将表示成型：. （先对积分，后对积分） (3) 将表示成型：（先对积分，后对积分）将表示成型： （先对积分，后对积分）5. (1)积分区域为：换成型： +.(2) 第一项积分的积分区域 第二项积分的积分区域，将两区域合并成区域并表示成型：.(3) 第一项积分的积分区域为 ,第二项积
6、分的积分区域为，将两区域合并成区域并表示成型：.(4) 积分区域 ，将表示成型域要分成三个区域.6.（1） (型).(2) 将表示成型分为：.(3) (型).(4) (型).(5) (型) .7. (1) (2) 由将代入有或由将代入有，故极坐标系下8(1) 由已知的推出由围成，的极坐标方程)所以极坐标系下故.(2) 由已知的推出由围成，将 代入得的极坐标方程)的极坐标方程) 所以极坐标系下故 故 .9. (1) ,由将 代入得的极坐标方程)所以极坐标系下.(2) 将 代入得的极坐标方程)所以极坐标系下.10. (1) (型)=.(2) (型)=.(3) 由将 代入得的极坐标方程)所以极坐标系
7、下.11. 由 (型).12由已知的推出由围成，将表示成型： .13 . 因为 而 所以 . *14 . 这题是求定积分，但积分难以进行.注意到，因此可化为二次积分.交换二次积分次序：.*15 .将两边同时二重积分 而所以，所以.*16 . ，表示成不等式：.*17 . ,表示成不等式： .*18 . 因为,都积不出来，所以在直角坐标系下积分无法计算；但注意到，故用极坐标系来计算.将 代入得的极坐标方程)所以极坐标系下.*19 . 由已知的，推出由围成，将表示成型： .*20 . 用直线分割有,表示成不等式： .*21 .由显然型域易算 而令 所以.*22 . 由令， 有 ，则 为极坐标系下所
8、以 注意到故原积分*23 . 因为连续，所以必有存在且，由已知有因为为的偶函数，所以为的奇函数.故.*24 . ,表示成不等式： (型) (型) *25. 由二重积分中值定理得而，所以故 因为时区域趋于一点， 所以又已知在上连续，且所以.*26 .因为 交换二次积分次序：所以而时，时，故原式或对于：令，则 ， =于是原式 .*27 .因为，所以对于任意都有 将上式展开得 而因此( 对恒成立)不等式左边是关于的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故.*28 . 设显然对于任意都有 将上式展开得 (对恒成立)不等式左边是关于的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故.*29.方法1）而所以.方法2）因为，所以 即故.方法3）设显然对于任意都有 将上式展开得即 (对恒成立)不等式左边是关于的二次式且它大于等于零，根据根的判别式有故.注：还可利用 *28题结论：.