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1、第1章 集 合第2节直角坐标系下二重积分的计算题目：给了有界闭区域及函数，计算。下面我们寻找计算的方法。首先，的计算与的特点有很大的关系。通常基本区域有两种：（看黑板图）（1）型区域由曲线围成，是在轴上的投影（课本上说：穿过区域的内部且与轴平行的直线与区域的边界曲线的交点不多于两个这与小边界和大边界都能写成函数是等价的。）（2）型区域由曲线围成，是在轴上的投影 下面先设是型区域。的平面图参见图2.3。 我们已经知道，当时，其中是以为高以区域为底的曲顶柱体的体积（图2.2）（如果则二重积分是负体积，一般情况是体积的代数和）只要体积计算出来了，也就得到了二重积分。图2.3图2.2分布在轴的区间。任
2、意给定，设平面截曲顶柱体得到截面面积是，则我们先固定算出。截面是以为底以为高的曲边梯形（图2.2）。所以因此，约定：。方法总结：只要在上可积，如果是型区域，则（是在轴上的投影；小x边界和大x边界的找法：，截得截线如图2.3。）如果是型区域，则（是在轴上的投影；小y边界和大y边界的找法：，截得截线）（把二重积分转化为做两次定积分！称为二次积分）里层积分的上下限总是外层变量的函数。做里层积分时，外层变量固定为常数。里层定积分的结果是外层变量的函数。小技巧：如果你只熟悉（）型区域的计算，在整个题中，把改成把改成，区域就变型了。结果不变。（黑板解析）上面的方法是总结出来的，没有严格的证明。我们也不去追
3、求严格证明了。将二重积分转化为二次积分的关键是确定二次积分的积分限。得画出积分区域的草图，弄清楚的表示或围成的曲线 若积分区域既不是型区域，又不是型区域，可利用重积分的可加性，把分割成若干型或型的部分进行计算。【例2.1】将二重积分化为二次积分，其中为围成的位于第一象限部分的闭区域解 画出三条曲线就得到区域的草图（图2.4、图2.5），求出曲线的交点(1)视为型区域（图2.4），将投影到轴，得。小边界，大边界。区域表示为，故图2.4图2.5(2)视为型区域（图2.5），将投影到轴，得。小边界，大边界。区域可表示为：，故注 如果区域既是型又是型区域，二重积分可用二种不同次序的二次积分来计算不同次
4、序的二次积分，计算过程的繁简可能不同。因此，要学会根据不同的情形，选择适当的积分次序二重积分化为二次积分的关键在于二次积分的积分限的确定所以在学习的过程中，要熟练的掌握二次积分的定限方法（黑板并列两种区域、两种二次积分作总结。）【例2.2】计算二重积分，其中由曲线围成解画出三曲线就得到区域的草图(图2.6)求出的边界曲线的交点，解得，（舍）观察可得，视为型区域，计算较为简便将区域投影到轴上，得。小边界，大边界。区域表示为：图2.6图2.7如果把视为型区域，将区域投影到轴上，得。大边界，而小边界有两段：和。小边界的表达式不一致。必须用直线把割成两块计算积分。方法总结：当边界的表示式不一致时，作适
5、当分割。【例2.3】计算解此题给出的是先对后对的二次积分，但由被积函数的形式知，若直接计算较复杂，而从二次积分的积分限知，积分区域较简单，故可考虑先交换积分次序再计算画出区域的草图(图2.7)将视为型区域可得，则有思考题：1计算二重积分，其中是以，为顶点的三角形区域【例2.4】求，其中解困难在于被积函数有绝对值符号必须先把绝对值符号除掉。当时，；当，。所以，用直线将区域划分成两部分(图2.8)：，图2.8都看作型区域。故方法总结：当被积函数有绝对值符号时，用曲线分割积分区域再计算。【例2.5】求由曲面所围的立体的体积解画出六平面就得到所围的立体，如图2.9所示。立体的底：将立体向面投影，得投影
6、区域（图2.10），其中，都视为型区域。立体的高度函数：。图2.9图2.10故立体的体积为思考题：2定积分的上限可大于也可小于下限，重积分化为二次积分后，其上限是否可小于下限为什么？（不行。下限是小边界，上限是大边界。）3当二重积分的被积函数中含有绝对值函数，符号函数，取大或取小等特殊函数时，如何计算二重积分的值？（分割。）习题10-2A类设在区域上连续,将化为上的二次积分（两种次序）*(1)；(2)；(3)；(4)由，围成交换下列二次积分的次序：(1) ；*(2)；(3) ；(4) 很多时候（也许考试时候）要交换积分次序。方法如下：（i）画曲线得到积分区域的草图。把所给二次积分还原为二重积分
7、 （ii）再把视为型区域，写出另一个二次积分。（i）画曲线得到积分区域的草图。把所给二次积分还原为二重积分（ii）再把视为型区域，写出另一个二次积分。解 (4) 。画图如黑板。计算下列二重积分：(1)，为曲线，所围的区域；(2)，；*(3)，其中由，围成；*(4)，其中是以，和为顶点的三角形；(5)，其中由，围成；(6)，其中(2)，；解 （2）图见黑板。 (6)，其中（6）分割除掉绝对值符号。4计算下列二次积分(1)；*(2)；(3)；(4)；(5)*(6)解（6）（后面的积分请看黑板）5计算由下列曲线所围的平面图形的面积：(1)与；(2)与，其中；*(3)，及；*(4)，所围的位于第一象限的部分解（4）黑板看图。所求面积6求下列曲面所围立体的体积：(1)，所围成的立体被平面及所截得的立体；(2)，所围的立体；(3)，所围成的立体B类计算，是由曲线，及所围区域；*求，其中是由，围成的区域*设连续函数，计算，其中为圆域：计算，其中计算解 *若在上连续且恒大于零，证明：*设函数和在上可积，证明：设连续，且满足，其中是，所围成的区域，求解 是常数。解得。*设，求，为全平面15