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1、 习题详解-第 8 章二重积分 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-4-习题 8-1 1.设有一平面薄片，在 xOy 平面上形成闭区域 D，它在点(x,y)处的面密度为(x,y)，且(x,y)在 D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：Skip Record If.2.试比较下列二重积分的大小：(1)Skip Record If.与 Skip Record If.，其中 D 由 x轴、y 轴及直线x+y=1 围成；(2)Skip Record If.与 Skip Record If.，其中 D 是以 A(1,0)，B(1,1)，C(2，0）为顶点的三角形
2、闭区域.解：(1)在 D 内，Skip Record If.，Skip Record If.(2)在 D 内，Skip Record If.,Skip Record If.习题 8-2 1.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)Skip Record If.，其中 D 为矩形闭区域：Skip Record If.；(2)Skip Record If.，其中 D 是由两坐标轴及直线 x+y=2 所围成的闭区域；(3)Skip Record If.,其中 D 是由直线 y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；(4)Skip Record If.,其中 D 是半圆形闭区域:x2+y24,x0；(5
3、)Skip Record If.,其中 D 为:0 x4,1ye；(6)Skip Record If.其中 D 是由曲线Skip Record If.所围成的闭区域.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.Skip Record If.(3)Skip Record If.Skip Record If.(4)因为被积函数是关于 y 的奇函数，且 D关于 x 轴对称，所以Skip Record If.(5)Skip Record If.(6)Skip Record If.2.将二重积分 Skip Record If.化为二次积分（两种次序）其中积分区域 D分别如
4、下：(1)以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2)由直线 y=x及抛物线 y2=4x所围成的闭区域；(3)由直线 y=x,x=2 及双曲线Skip Record If.所围成的闭区域；(4)由曲线 y=x2及 y=1 所围成的闭区域.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.三角形闭区域解在内在内习题画出积分区域并计算下列二重积分其中为矩形闭区域其中是由两坐标轴及直线所围成的关于的奇函数且关于轴对称所以将二重积分化为二次积分两种次序其中积分区域分别如下以点为顶点的三角形由直线联系网站删除谢谢精品好文档推荐
5、学习交流交换下列二次积分的积分次序解求由平面所围成的柱体被平面及截得的立精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-4-(4)Skip Record If.3.交换下列二次积分的积分次序：(1)Skip Record If.；（2）Skip Record If.；(3)Skip Record If.；(4)Skip Record If.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.(4)Skip Record If.4.求由平面 x=0,y=0,x=1,y=1 所围成的柱体被平面 z=0 及 2x+3
6、y+z=6 截得的立体体积.解：Skip Record If.5.求由平面 x=0,y=0,x+y=1 所围成的柱体被平面 z=0 及曲面 x2+y2=6z 截得的立体体积.解：Skip Record If.习题 8-3 1.画出积分区域，把二重积分 Skip Record If.化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域 D 是：(1)x2+y2a2(a0)；(2)x2+y22x；(3)1x2+y24；(4)0y1x,0 x1.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.(4)Skip Record If.2.把下列积分化为极坐
7、标形式，并计算积分值：(1)Skip Record If.；(2)Skip Record If.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.3.在极坐标系下计算下列二重积分：(1)Skip Record If.,其中 D 是圆形闭区域:x2+y21；(2)Skip Record If.,其中 D 是由圆周 x2+y2=1 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3)Skip Record If.，其中 D 是由圆周 x2+y2=1,x2+y2=4 及直线 y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4
8、)Skip Record If.其中 D 由圆周 x2+y2=Rx(R0)所围成.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.Skip Record If.(3)Skip Record If.(4)Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.4.求由曲面z=x2+y2与Skip Record If.所围成的立体体积.三角形闭区域解在内在内习题画出积分区域并计算下列二重积分其中为矩形闭区域其中是由两坐标轴及直线所围成的关于的奇函数且关于轴对称所以将二重积分化为二次积分两种次序其中积分区域分别如下以点为顶点的三角形由直线
9、联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流交换下列二次积分的积分次序解求由平面所围成的柱体被平面及截得的立精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-4-解：两条曲线的交线为 x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：Skip Record If.习题 8-4 1.计算反常二重积分 Skip Record If.，其中 D：x0,yx.2.计算反常二重积分 Skip Record If.，其中 D：x2+y21.解：1.Skip Record If.所以 Skip Record If.2.由Skip Record If.，得 Skip Record If.复习题 8（A
10、）1.将二重积分 Skip Record If.化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域 D 是：(1)x1,y2;(2)由直线 y=x及抛物线 y2=4x所围成.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.2.交换下列两次积分的次序：(1)Skip Record If.;(2)Skip Record If.;(3)Skip Record If.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.3.计算下列二重积分：(1)Skip Record If.，D:x1,y1;(2)Skip Record
11、If.,D 由直线 y 1,x 2 及 y x围成；(3)Skip Record If.,D 由 y x和 y x围成；(4)Skip Record If.，D:x y1;(5)Skip Record If.，D 由 Skip Record If.与 y x围成；(6)Skip Record If.，D 是圆域 x2y2R2；解:(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.(4)Skip Record If.Skip Record If.(5)Skip Record If.Skip Record If.(6)Skip Record
12、 If.Skip Record If.4.已知反常二重积分 Skip Record If.收敛，求其值其中 D 是由曲线y=4x2与 y=9x2在第一象限所围成的区域 解：设Skip Record If.则 Skip Record If.三角形闭区域解在内在内习题画出积分区域并计算下列二重积分其中为矩形闭区域其中是由两坐标轴及直线所围成的关于的奇函数且关于轴对称所以将二重积分化为二次积分两种次序其中积分区域分别如下以点为顶点的三角形由直线联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流交换下列二次积分的积分次序解求由平面所围成的柱体被平面及截得的立精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系
13、网站删除 谢谢-4-所以 Skip Record If.5.计算 Skip Record If.解：由第四节例2 以及Skip Record If.是偶函数，可知 Skip Record If.6.求由曲面z=0 及 z=4-x2-y2所围空间立体的体积 解：曲面 z=0 和 z=4-x2-y2的交线为 x2+y2=4.因此，所围空间立体的体积为：Skip Record If.7.已知曲线 y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线 Skip Record If.(1)求由曲线 y=lnx，直线Skip Record If.和 y=0 所围成的平面图形 D的面积；(2)求以平面图形 D 为底，以
14、曲面 z=ey为顶的曲顶柱体的体积 解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.（B）1.交换积分次序：(1)Skip Record If.；（2）Skip Record If.；(3)Skip Record If.；(4)Skip Record If.解：(1)Skip Record If.(2)Skip Record If.(3)Skip Record If.(4)Skip Record If.2.计算积分 Skip Record If.解：Skip Record If.Skip Record If.3.计算积分 Skip Record If.解：Skip
15、Record If.Skip Record If.令Skip Record If.,则 原式Skip Record If.Skip Record If.4.设函数 f(x)在区间Skip Record If.上连续，且Skip Record If.，求Skip Record If.解：设Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.5.计算 Skip Record If.，其中 D 是由直线 y=0,y=1 及双曲线 x2y2=1 所围成的闭区域.解：Skip Record If.Skip Record If.6.计算
16、Skip Record If.三角形闭区域解在内在内习题画出积分区域并计算下列二重积分其中为矩形闭区域其中是由两坐标轴及直线所围成的关于的奇函数且关于轴对称所以将二重积分化为二次积分两种次序其中积分区域分别如下以点为顶点的三角形由直线联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流交换下列二次积分的积分次序解求由平面所围成的柱体被平面及截得的立精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-4-解：Skip Record If.7.证明 Skip Record If.，其中 n 为大于 1 的正整数.证：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.三角形闭区域解在内在内习题画出积分区域并计算下列二重积分其中为矩形闭区域其中是由两坐标轴及直线所围成的关于的奇函数且关于轴对称所以将二重积分化为二次积分两种次序其中积分区域分别如下以点为顶点的三角形由直线联系网站删除谢谢精品好文档推荐学习交流交换下列二次积分的积分次序解求由平面所围成的柱体被平面及截得的立