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1、第三章 向量组的线性相关性 本章将介绍n维向量的基本概念及其运算，探讨n 维向量的线性相关性，并利用矩阵的秩与有关学问来探讨向量组的线性相关性。这些都是线性代数和近代数学中的最基本概念和基本性质，并为学习后面的内容供应了必要的预备学问。3.1 n维向量及其运算 在空间(或平面)解析几何中，从有向线段动身，引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以，由全部三维数组构成的集合应关系。所以，由全部三维数组构成的
2、集合 即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的很多几何性质，例如点的共线、共面，直点空间的很多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的语言来刻划。语言来刻划。一、一、n 维向量空间的概念维向量空间的概念几何空间中：几何空间中：点点P的坐标的坐标n 维向量空间维向量空间(Rn):n 维向量维向量:(有序数组有序数组)n 维维行向量行向量 的重量的重量n 维维列向量列向量:实（复）向量实（复）向量:重量为实（复）数重量为实（复）数确定飞机的状态，需确定飞机的状态，
3、需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 n维向量的实际意义维向量的实际意义 =ai=bi =(0,0,0)负向量负向量：-=(-a1,-a2,-an)n维向量的线性运算维向量的线性运算:=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)，+=(a1+b1,a2+b2,an+bn),k =(ka1,ka2,kan),k R.向量相等：=(a1,a2,an),=(b1,b2,bn)零向量：Rn:n 维向量的全体维
4、向量的全体.线性方程组与线性方程组与n维向量的线性运算：维向量的线性运算：定义定义 若若则称则称V是是 Rn 的一个子空间的一个子空间.例例1 设设V=(x1,x2)|x1+x2=0,V是否是是否是 R2 的子空的子空间？间？例例2 设设V=(x1,x2)|x1+x2=1,V是否是是否是 R2 的的子空间？子空间？二、Rn 的子空间3.2 向量的线性相关 这一节,进一步来探讨向量之间的关系,即线性关系。在探讨向量之间的关系时,所涉及到的向量都是 n维的,即有相同的维数。两个向量之间最简洁的关系是成比例。所谓向量与成比例就是说：有一个数k，使 =k 把成比例的关系推广到多个向量之间，成比例关系表
5、现为线性组合：一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性向量组：向量组：同维数的向量所组成的集合同维数的向量所组成的集合.向量组与矩阵：向量组与矩阵：例如例如向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.一、一、线性组合线性组合定义定义5 5L(1,2,m):1,2,m 线性组合的全体线性组合的全体.定义定义6设两个设两个n维向量组维向量组命题命题1 1命题命题2 2向量组间的等价，具有下列性质：向量组间的等价，具有下列性质：二、线性相关性二、
6、线性相关性定义定义7 7注：注：1、单个向量、单个向量构成的向量组线性相关的充要条件是该向量构成的向量组线性相关的充要条件是该向量为零向量。为零向量。由线性无关的定义和克拉默法则，有由线性无关的定义和克拉默法则，有定理定理1 1定理定理2 2定理定理3 3若一向量组的部分向量组线性相关若一向量组的部分向量组线性相关,则该向量组也线性相关则该向量组也线性相关.注注:这个定理的等价说法是这个定理的等价说法是:假如一个向量组线性无假如一个向量组线性无关关,则其中任一个部分向量组也必线性无关则其中任一个部分向量组也必线性无关.也即一向量组部分线性相关也即一向量组部分线性相关,则整体必线性相关则整体必线
7、性相关,一向一向量组整体线性无关量组整体线性无关,则其部分组必线性无关则其部分组必线性无关.定理定理4 4 本节探讨几个向量组之间的线性关系,并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进而探讨向量组的秩与矩阵的秩的关系.3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩定义定义8 8注注:(1)(1)向量组的极大无关组不是唯一的向量组的极大无关组不是唯一的.(2)(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的同一向量组的两个极大无关组间是等价的;问题:假如(A)的极大无关组不唯一,问其随意两个极大无关组所含向量个数是否唯一?定理定理5推论推论1随意随意n+1n+1个个n n维向量组必线性相关维向量组必线性
8、相关推论推论2两个等价的线性无关组所含向量个数相同两个等价的线性无关组所含向量个数相同.注注向量组的两个极大无关组所含向量的个数相同定义定义9向量组的极大线性无关组所含向量的向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的个数称为向量组的秩秩.注注规定规定,由零向量组成的向量组的秩为由零向量组成的向量组的秩为0性质性质1性质性质2推论推论等价向量组必有相同的秩等价向量组必有相同的秩性质性质3例12 将=(1,0,-4)T 用1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T 线性表出.解解证证 设设Cmn=AB，(AB)的列向量组可由的列向量组可由A的列向量组线性表出，的列向量组线性表出，又，又，R(C)=R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B).所以所以 R(AB)minR(A),R(B).例13 设A,B分别为mr,r n矩阵，证明 R(AB)minR(A),R(B).故 R(AB)R(A).