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1、关于向量组等价线性相关性第1页，讲稿共30张，创作于星期日存在非零列向量存在非零列向量 及非零行向量及非零行向量 ，使得使得而而 中至少有一个元素非零中至少有一个元素非零 又积的秩不超过因子矩阵的秩又积的秩不超过因子矩阵的秩21、设、设A为为 矩阵矩阵,证明证明 有解有解 有解有解 已证已证第2页，讲稿共30张，创作于星期日1、或或表示方法：表示方法：求出方程组求出方程组的解作组合系数的解作组合系数矩阵表示形式：矩阵表示形式：复习：向量、向量组的线性表示复习：向量、向量组的线性表示向量用向量组的线性表示问题向量用向量组的线性表示问题归结为归结为线性方程组解的问题！线性方程组解的问题！第3页，讲
2、稿共30张，创作于星期日表示系数为列！2、向量组用向量组的线性表示问题向量组用向量组的线性表示问题归结为归结为矩阵方程解的问题！矩阵方程解的问题！第4页，讲稿共30张，创作于星期日线性表示线性表示,m=s时系数矩阵为方阵！时系数矩阵为方阵！表示系数为行！任何向量组可由单位向量组表示！能由向量组能由向量组A线性表示线性表示第5页，讲稿共30张，创作于星期日能互相线性表示，则称能互相线性表示，则称向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价.等价的充要条件（等价的充要条件（p84定理定理 2推论）推论）4、向量组与向量组等价向量组与向量组等价定义（定义（p83)向量组的等价关系具有向量组的等价关系具有
3、:自反性、对称性、传递性！自反性、对称性、传递性！则则向量组向量组E与向量组与向量组A等价等价？第6页，讲稿共30张，创作于星期日例例2(p86)设设证明证明证证所以所以第7页，讲稿共30张，创作于星期日向量组向量组A与向量组与向量组B等价等价反之不一定！反之不一定！等价的必要条件等价的必要条件 向量组与单位向量组等价的条件向量组与单位向量组等价的条件能由向量组能由向量组A线性表示线性表示与与向量组向量组等价？等价？第8页，讲稿共30张，创作于星期日即即B的行的向量组可由的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，的行的向量组线性表示，所以，所以，A的行的向量组可由的行的向量组可由B的行的向量组线
4、性表示的行的向量组线性表示。重要重要但但AB 不能保证不能保证A与与B的行向量组或列向量组等价的行向量组或列向量组等价向量组向量组的等价与的等价与矩阵矩阵的等价的等价同理，同理，A B A的列组与的列组与B的列组等价的列组等价.思考第9页，讲稿共30张，创作于星期日但但AB 不能保证不能保证A与与B的行向量组或列向量组等价的行向量组或列向量组等价其标准型其标准型但但但其列、行组都不等价但其列、行组都不等价思考B与与PA的列向量组等价，的列向量组等价，B与与AQ的行向量组等价的行向量组等价B与与A的列向量组等价，的列向量组等价，B与与A的行向量组等价的行向量组等价例：例：所以所以第10页，讲稿共
5、30张，创作于星期日若若组组A组组B,矩阵矩阵一般不成立！一般不成立！A,B不一定同型！不一定同型！同型同型组组A可用组可用组B表示表示组组B可用组可用组A表示表示反之反之含向量个数相等的同维数的向量组含向量个数相等的同维数的向量组等价时矩阵等价！等价时矩阵等价！m=l 情况下情况下A与与B列满秩列满秩可逆！可逆！P70例9的结果A、B列满秩时，系数矩阵可逆列满秩时，系数矩阵可逆第11页，讲稿共30张，创作于星期日这时，组这时，组A与组与组B同解同解方程组方程组A 方程组方程组B 线性线性方程组方程组的等价的等价 设有方程组设有方程组组组B的每个方程都是方程组的每个方程都是方程组A的线性组合！
6、的线性组合！（即（即B 中方程皆由中方程皆由A中方程经线性运算得到）中方程经线性运算得到）方程组方程组A和方程组和方程组B能互相线性表示！能互相线性表示！方程组方程组B能由方程组能由方程组A的线性表示的线性表示 B的增广的增广 矩阵的行向量矩阵的行向量组 可由可由A的增广矩阵的行向量组线性表示的增广矩阵的行向量组线性表示.故故这时，组这时，组A的解也是组的解也是组B的解的解方程组方程组A的线性组合：的线性组合：由由A中方程经线性运算得到的方程！中方程经线性运算得到的方程！（用矩阵解决方程组的深层依据）（用矩阵解决方程组的深层依据）方程组方程组B能由方程组能由方程组A线性表示线性表示：方程组方程
7、组B与方程组与方程组A等价（互推）：等价（互推）：第12页，讲稿共30张，创作于星期日？对齐次线性方程组有同样结论对齐次线性方程组有同样结论A与与B行等价行等价是是从而，方程组从而，方程组Ax=o与与Bx=o同解同解反之，反之，第13页，讲稿共30张，创作于星期日第14页，讲稿共30张，创作于星期日向量组向量组矩阵矩阵线性方程组线性方程组行向量组为行向量组为行构成矩阵行构成矩阵列向量组为列向量组为列构成矩阵列构成矩阵矩阵的一行（列）元素矩阵的一行（列）元素构成一个行（列）向量构成一个行（列）向量矩阵的全部行（列）向量矩阵的全部行（列）向量构成行（列）向量组构成行（列）向量组一个方程的系数及常数
8、一个方程的系数及常数项构成行向量项构成行向量一个未知数的系数一个未知数的系数 构成列向量构成列向量系数矩阵、增系数矩阵、增广矩阵广矩阵对应行（列）向量组对应行（列）向量组向量组向量组A与与B等价等价方程组等价（同解）方程组等价（同解）向量组线性组合向量组线性组合方程组线性组合方程组线性组合矩阵的乘法矩阵的乘法向量组由向量组表示向量组由向量组表示方程组由方程组表示方程组由方程组表示矩阵的初等变换矩阵的初等变换向量由向量组表示向量由向量组表示方程组有解方程组有解矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的行或列等价矩阵的行或列等价第15页，讲稿共30张，创作于星期日C的列向量组可由A的列向量组线性表示，系数
9、矩阵就是B C的行向量组可由B的行向量组线性表示，系数矩阵就是A两个方程组等价（同解）两个方程组等价（同解）B是矩阵方程是矩阵方程AX=C 的解的解A是是 矩阵方程矩阵方程 YB=C 的解的解表示系数？表示系数？表示系数？表示系数？常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价方程组方程组 有解有解第16页，讲稿共30张，创作于星期日本节重点掌握本节重点掌握 向量、向量组、向量组的线性组合、向量、向量组、向量组的线性组合、向量由向量组线性表示、向量组等价向量由向量组线性表示、向量组等价概念
10、，判定条件，方法，形式概念，判定条件，方法，形式 重重 在在 理理 解解!第17页，讲稿共30张，创作于星期日引入引入设有向量组设有向量组A:零向量可由零向量可由A线性表示，线性表示，2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一定有：一定有：表示系数全为0我们关心的是：我们关心的是：是否还有一组（是否还有一组（m个）个）不全为零不全为零的数的数使得：使得：至少一个不为0这两者的这两者的本质不同本质不同是什么呢？是什么呢？也就是对与向量组也就是对与向量组A：仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量？仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量？也有组合系数不全为零时其线性组合为零向量？也有组合系数不全为零
11、时其线性组合为零向量？本质上的不同对向量组而言至关重要！第18页，讲稿共30张，创作于星期日或曰或曰线性相关。线性相关。若有一组若有一组不全为零不全为零的数的数使得：使得：比如至少有比如至少有则则能用其它能用其它m-1个向量线性表示，个向量线性表示，至少一个不为0这样我们就说向量这样我们就说向量 之间之间有了实实在在的线性关系，有了实实在在的线性关系，即向量组即向量组 中，中，至少有一个向量至少有一个向量若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，若仅有组合系数全为零时其线性组合为零向量，则组中任何向量都不能用其它向量线性表示则组中任何向量都不能用其它向量线性表示即只有即只有向量向量 之间之间没
12、有线性关系或曰没有线性关系或曰线性无关。线性无关。第19页，讲稿共30张，创作于星期日k 0 则它线性则它线性相关相关;线性无关线性无关.线性相关线性相关.基本结果：基本结果：定义定义4（p87)(1)当向量组只含一个向量时当向量组只含一个向量时,若该向量是非零向量若该向量是非零向量,(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.线性无关线性无关.0 则它线性无关则它线性无关.共线若该向量是零向量若该向量是零向量,(4)n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组(P.88 例例4，待证，待证)?当且仅当当且仅当 k i 都为零时都为零时,()式成立式
13、成立1(3)含有零向量的向量组含有零向量的向量组 线性相关线性相关.当且仅当当且仅当 时时,成立成立 成立成立第20页，讲稿共30张，创作于星期日相关性条件相关性条件线性无关线性无关只有零解只有零解 R(A)=m线性方程组线性方程组向量组向量组A:向量组向量组A:线性方程组线性方程组向量组构成的（列）矩阵 R(A)m有非零解有非零解 矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程判定一个向量组的线性相关性是重要的！判定一个向量组的线性相关性是重要的！用定义，用条件！用定义，用条件！第21页，讲稿共30张，创作于星期日定理定理4（p88）向量组向量组 R(A)m向量组向量组 R(A)=m其中其中是向量组构成的
14、（列）矩阵是向量组构成的（列）矩阵 沟通了向量组线性相关性与矩阵的秩之间的联系!m为向量组中向量的个数 R(A)=n它们所构方阵它们所构方阵 A可逆（非奇异）。可逆（非奇异）。n 个个 n 维向量维向量A可逆 A 构成的向量组（行或列）线性无关特别的特别的 任意任意 n 个个 n 维向量线性相关维向量线性相关 R(A)n.它们所构方阵它们所构方阵 A不可逆（奇异）不可逆（奇异）m=n 时可用|A|是否为零 判断第22页，讲稿共30张，创作于星期日例例5（p88）判定向量组判定向量组的线性相关性的线性相关性.解解是坐标已知的向量构成的向量组，用判定条件是坐标已知的向量构成的向量组，用判定条件(T
15、H4)线性相关！线性相关！或：是三个三维向量构成的向量组，用矩阵的可逆性判别或：是三个三维向量构成的向量组，用矩阵的可逆性判别A不可逆，从而线性相关不可逆，从而线性相关第23页，讲稿共30张，创作于星期日用定义判定相关性用定义判定相关性证证(P.88 例例4)线性无关线性无关.n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组法一：用条件法一：用条件法二：用定义法二：用定义 令令则则R（E）=n线性无关线性无关当且仅当当且仅当 线性无关线性无关即即第24页，讲稿共30张，创作于星期日例例6（p88）证一证一用定义用定义即即只有只有 (1)设出所讨论向量组的零组合式；设出所讨论向量组的零组合式；用定义证明向量
16、组相关性用定义证明向量组相关性(2)由条件从由条件从(1)找出组合系数所满足的方程组；找出组合系数所满足的方程组；(3)由此方程组有无非零解判定出其线性相关性由此方程组有无非零解判定出其线性相关性.用方程组解的定理第25页，讲稿共30张，创作于星期日证二证二用条件用条件证明证明令令向量组不具体（坐标没有给出），将向量组转化为矩阵将向量组转化为矩阵 表达系数作列表达系数作列两种方法的思路分析（两种方法的思路分析（p89)寻求线性表示的矩阵表达形式！寻求线性表示的矩阵表达形式！第26页，讲稿共30张，创作于星期日基本结论基本结论 结论也成立结论也成立称组称组A是组是组B的一个部分组的一个部分组整体
17、与部分的相关性的联系 线性无关线性无关的向量组中的向量组中 在一个向量组中在一个向量组中,若有一个若有一个部分向量组部分向量组线性相关线性相关，则则整个向量组整个向量组也必定也必定线性相关线性相关.意即：意即：任何有限个向量构成的的任何有限个向量构成的的部分向量组部分向量组都都 线性无关线性无关.证明证明（P89用定理用定理4证明，自阅证明，自阅)定理定理5(P89)(1)第27页，讲稿共30张，创作于星期日 n m 时时,m个个n 维向量构成的维向量构成的mn矩阵的秩矩阵的秩 定理定理5(P89)(2)必必 n m，n m 时时,m个个n 维向量构成的向量组线性相关维向量构成的向量组线性相关
18、.特别的特别的，n+1 个个n 维向量构成的向量组线性相关维向量构成的向量组线性相关.定理定理5(P89)(3)则向量则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.方程个数方程个数 向量维数时，向量组线性相关向量维数时，向量组线性相关联系到方程组联系到方程组向量用向量组表示惟一的充分条件（也是充分必要条件！）（也是充分必要条件！）第28页，讲稿共30张，创作于星期日证明：证明：则向量则向量b必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.向量组向量组 A 线性无关线性无关又又 向量组向量组 B 线性相关线性相关 b 可由可由 A 惟一地线性表出惟一地线性表出.的的充分必要条件充分必要条件是向量是向量b能由向量组能由向量组A惟一的线性表示惟一的线性表示.第29页，讲稿共30张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第30页，讲稿共30张，创作于星期日