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1、2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性矩阵、线性方程组的向量表示矩阵、线性方程组的向量表示向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组的等价性向量组的等价性 下页关闭 本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩本节中向量组的线性相关性与第三节中向量组的秩的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地的概念是本章的重点和难点。同学们必须熟练且准确地掌握。通过理清掌握。通过理清“矩阵矩阵”，“向量组向量组”和和“线性方程组线性方程组”的密的密切关系可以更好地理解概念和解决问题。切关系可以更好地理解概念和解决问题。若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集若干个同维数的列向量（或
2、行向量）所组成的集合叫做合叫做向量组向量组。一个一个 mn 矩阵矩阵 A=(aij)对应的对应的 n 个个 m 维列向量维列向量组成的向量组组成的向量组称为称为矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组。矩阵的向量表示矩阵的向量表示上页下页返回m n 矩阵矩阵 A 对应对应 的的m 个个 n 维行向量维行向量组成的向量组组成的向量组称为称为矩阵矩阵 A 的行向量组的行向量组。反之反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。个矩阵。上页下页返回m 个个 n 维维行向量行向量所组成的向量组所组成的向量组构成一个构成一个 m n 矩阵矩阵上页下页返回构成一个构成一
3、个 n m 矩阵矩阵m 个个 n 维维 列向量列向量所组成的向量组所组成的向量组与增广矩阵与增广矩阵 B 的行向量组对应的行向量组对应。则则可见可见方程组与方程组与 B 的列向量组的列向量组 之间也有对应关系之间也有对应关系。线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示 线性方程组写成矩阵的形式是线性方程组写成矩阵的形式是从而方程组与它的增广矩阵从而方程组与它的增广矩阵对应。对应。其中一个方程对应一个行向量其中一个方程对应一个行向量,则则方程组即方程组即一一一一若把方程组写成向量形式若把方程组写成向量形式上页下页返回称为向量组称为向量组 A 的一个的一个线性组合线性组合，k1,k2,km 称称为这
4、个线性组合的系数。为这个线性组合的系数。定义定义2 2 给定向量组给定向量组对于任何一组实数对于任何一组实数 k1,k2,km,向量向量给定向量组给定向量组和向量和向量如果存在一组实数如果存在一组实数 1,2,m,使使则称向量则称向量的的线性组合线性组合。或称向量。或称向量可由向量组可由向量组 A 线性表示线性表示。上页下页返回向量组向量组 A能由向量组能由向量组 A 线性表示，等价于方程组线性表示，等价于方程组有解。有解。由线性方程组有解的充要条件（上一章定理由线性方程组有解的充要条件（上一章定理3），），立即可得：立即可得：向量向量定理定理1 向量向量能由向量组能由向量组 A 线性表示的充
5、分必线性表示的充分必要条件是矩阵要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩等于矩阵的秩。的秩。上页下页返回定义定义3 3 设有两个设有两个 n 维维向量组向量组 如果向量组如果向量组 A 中中每一个每一个向量都能由向量都能由 B 组中的向量组中的向量线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示。如果向量组如果向量组 A 与与 B 能相互能相互线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组 A 与与 B 等价等价。把向量组把向量组 A 和和 B 所构成的向量依次记作所构成的向量依次记作上页下页返回 B 组能由组能由 A 组线性表示，即对每一个向量组线性表示，即对每一个向量
6、存在实数存在实数 k 1j，k2j，kmj，使使上页下页返回从而从而这里，矩阵这里，矩阵称为这一线性变换的称为这一线性变换的系数矩阵系数矩阵。上页下页返回由此可知，若由此可知，若则则矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由能由矩阵矩阵 A 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，B 为这一表示的系为这一表示的系数矩阵：数矩阵：上页下页返回 同时，同时，C 的行向量组能由的行向量组能由 B 的行向量组线性表的行向量组线性表示，示，A 是这一表示的系数矩阵：是这一表示的系数矩阵：上页下页返回定义定义4 给定向量组给定向量组 如果存在如果存在一组一组不全为零不全为零的数的数则称则称向量组向量组 A 是
7、是线性相关线性相关的，否则称它的，否则称它线性无关线性无关。注注:定义定义4适用于适用于 m=1 的情形。当的情形。当 m=1 时，时，向量组只含一个向量向量组只含一个向量 a，当，当 a=0 时是线性相关的时是线性相关的,当当 a 0 时是线性无关的。时是线性无关的。向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关上页下页返回例例:向量组向量组由于存在不全为零的数由于存在不全为零的数 2，1，1 使使对于含有对于含有 2 个向量个向量的向量组，它线性相关的向量组，它线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是的分量成比例，其几何意义的分量成比例，其几何意义是两向量共线。是两向量共线。故向量组
8、故向量组线性相关。线性相关。上页下页返回 不是线性相关，就是线性无关。所谓向量组不是线性相关，就是线性无关。所谓向量组 A 线线性无关性无关，换句话说就是：，换句话说就是：当且仅当当且仅当例例:向量组向量组设有设有 k1,k2 两个数，使两个数，使从而有：从而有：于是必有于是必有 k1=k2=0.故向量组故向量组线性无关。线性无关。上页下页返回命题命题：向量组：向量组 线性相关的充分必要条件是向量组线性相关的充分必要条件是向量组 A 中至少有一个中至少有一个 证证 充分性充分性 设向量组设向量组 A 中有一个向量（不妨设中有一个向量（不妨设 am）能由其余能由其余 m1个向量线性表示，个向量线
9、性表示，即有即有 k1,k2,km 使使于是于是 因上式系数不全为零，所以向量组因上式系数不全为零，所以向量组 A 线性相关。线性相关。向量能由其余向量能由其余 m 1个向量线性表示。个向量线性表示。上页下页返回 必要性必要性。设向量组。设向量组 A 线性相关，即有一组不全线性相关，即有一组不全为为 零的数零的数k1,k2,km(不妨设不妨设 k1 0),使使则有则有 向量组的线性相关性与线性无关的概念也可用向量组的线性相关性与线性无关的概念也可用于线性方程组。于线性方程组。上页下页返回向量组向量组构成矩阵构成矩阵向量组向量组 A 线性相关，等价于齐次线性方程组线性相关，等价于齐次线性方程组由
10、由上章定理上章定理2，可得，可得定理定理2 向量组向量组线性相关的充分必要线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵条件是它所构成的矩阵的秩的秩小于小于向量的个数向量的个数 m；向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。上页下页返回例例4 n 维向量维向量称为称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。解法一解法一 n 维单位坐标向量组构成如下的矩阵：维单位坐标向量组构成如下的矩阵：它是它是 n 阶单位矩阵。由阶单位矩阵。由|E|0，知，知R（E）=n，即即R（E）等于向量组中向量的个数，故由定理等于向量组中向量的个数，
11、故由定理 2 知此向量组线性无关。知此向量组线性无关。上页下页返回解法二解法二设有一组数设有一组数上页下页返回例例5已知已知解法一解法一试讨论向量组试讨论向量组及向量组及向量组的线性相关性。的线性相关性。上页下页返回(同例同例4解法一的方法解法一的方法)可见可见故向量组故向量组线性相关。线性相关。故向量组故向量组线性无关。线性无关。上页下页返回解法二解法二设有设有 x1,x2,x3 使使即即上页下页返回 思考思考:要判断上面的方程是否有非零解要判断上面的方程是否有非零解,有没直接有没直接的方法的方法?提示提示:克拉默法则克拉默法则例例6 6试试证明：证明：证证设有设有 x1,x2,x3 使使设
12、向量组设向量组线性无关。线性无关。也线性无关。也线性无关。上页下页返回由于系数行列式由于系数行列式故故方程方程 只有零解只有零解,所以所以上页下页返回解法二解法二设有一组数设有一组数 x1,x2,x3 使使即即由于此方程的系数行列式由于此方程的系数行列式故故方程组只有零解方程组只有零解，所以向量组，所以向量组线性无关。线性无关。上页下页返回 线性相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍线性相关性是向量组的一个重要性质，下面介绍与之有关的一些结论。与之有关的一些结论。反之，若向量组反之，若向量组 B 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 A 也线性也线性无关。无关。证证 (1)记记若若向量组向量组
13、 A 线性相关，则根据定理线性相关，则根据定理2，根据定理根据定理2知向量组知向量组 B 线性相关。线性相关。定理定理 3 3 (1)(1)若向量组若向量组线性相线性相关，则向量组关，则向量组也线性相关。也线性相关。上页下页返回 即设向量组即设向量组 A 是向量组是向量组 B 的一部分（称的一部分（称 A 组是组是 B 组的组的部分组部分组），于是结论），于是结论(1)可叙述为：可叙述为：一个向量组一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。特别地，含零向量的向量组必线性相关。一个向量组若线性无关，则它的任何
14、部分组都线一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。性无关。结论结论(1)是对向量组增加是对向量组增加 1 个向量而言的，增加个向量而言的，增加多个向量结论也仍然成立。多个向量结论也仍然成立。上页下页返回(2)设设即向量即向量添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量若向量组若向量组线性无关，则向量组线性无关，则向量组 也线性无关。反之，若向量组也线性无关。反之，若向量组 B 线性相关，则向量线性相关，则向量组组 A 也线性相关。也线性相关。上页下页返回证证(2)记记若若向量组向量组 A 线性无关，则线性无关，则R(A)=m，从而从而R(B)m,因此向量组因此向量组 B 线性无关。线性无
15、关。结论结论 2 是对向量增加一个分量而言的，如果增加是对向量增加一个分量而言的，如果增加多个分量结论仍然成立。多个分量结论仍然成立。上页下页返回 (3)当当m n 时，时，m 个个 n 维维向量组成的向量组一向量组成的向量组一定线性相关。定线性相关。证证(3)m 个个 n 维向量维向量构成矩阵构成矩阵若若 n m，则则 R(A)m，故故 m 个向量个向量线性相关。线性相关。上页下页返回A 线性表示，且表示式是唯一的。线性表示，且表示式是唯一的。证证(4)记记因因 A 组线性无关，组线性无关，因因 B 组线性相关，组线性相关，根据上一章定理根据上一章定理3，知方程组，知方程组有有唯一解，唯一解
16、，(4)设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量必能由向量组必能由向量组即得结论即得结论.上页返回习题习题已知已知是否线性相关。是否线性相关。解法一解法一施行初等行变换变成行施行初等行变换变成行阶梯形矩阵，即可看出矩阵阶梯形矩阵，即可看出矩阵 利用定理利用定理 2，即可得出结论。，即可得出结论。Ex.1试讨论向量组试讨论向量组对矩阵对矩阵可见可见故向量组故向量组线性无关。线性无关。解法二解法二设有一组数设有一组数 x1,x2,x3 使使即即由于此方程的系数行列式由于此方程的系数行列式故故方程组只有零解方程组只有零解 x1=x2=x3=0，所以向量组所以向量组线性无关。线性无关。Ex.2证证设有一组数设有一组数 x1,x2,x3 使使设向量组设向量组线性无关，且线性无关，且证明设向量组证明设向量组也线性无关。也线性无关。因向量组因向量组由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式故故方程组只有零解方程组只有零解x1=x2=x3=0，所以向量组所以向量组线性无关。线性无关。