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1、CH4 CH4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性n n维向量的概念维向量的概念向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理向量组的秩向量组的秩向量空间向量空间 1 N N维向量的概念维向量的概念1 1 1 1、定义、定义、定义、定义个数组成的有序数组个数组成的有序数组称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）.维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，如：如：记作记作,.维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量
2、，一、维向量一、维向量一、维向量一、维向量（VectorVector）2 2、元素全为零的向量称为元素全为零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）.3 3、维数相同的列（行）、维数相同的列（行）向量同型向量同型.元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）.2 2 2 2、几种特殊向量、几种特殊向量、几种特殊向量、几种特殊向量1 1、元素是实数的向量称为元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）.4 4、对应分量相等的、对应分量相等的向量相等向量相等.二、向
3、量的运算二、向量的运算二、向量的运算二、向量的运算1 1 1 1、加法、加法、加法、加法2 2 2 2、数乘、数乘、数乘、数乘向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算.3 3 3 3、运算律、运算律、运算律、运算律（1 1）（交换律）（交换律）（2 2）（结合律）（结合律）（3 3）（4 4）(设设,均是维向量均是维向量,，为实数为实数)（5 5）（6 6）（7 7）（8 8）.,),(21T21维维向量空间向量空间叫做叫做集合集合维向量的全体所组成的维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnn=LL.,),(3叫做叫做三维向量空间三维向量空间的集合的集合三
4、维向量的全体所组成三维向量的全体所组成RzyxzyxrRT=三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例例例1 1 1 1设设求求解解线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应即即或或向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系其第其第个个列列向量向量记作记作个维个维行向量行向量.按行分块按行分块按列分块按列分块个维个维列向量列向量.其第其第个个行行向量向量记作记作矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须
5、分清，二者必须分清.2 2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性定义一、向量组的线性相关性定义线性相关线性无关的一个的一个线性组合线性组合则称则称 为向量为向量 定义定义 2 2使得使得一组实数一组实数若存在若存在设设n n维向量维向量,2121mmkkkaaaLL,maLa12a线性表示线性表示或称或称 能由向量能由向量,maLa12a)(组成的集合叫做组成的集合叫做向量组向量组.所所或同维数的行向量或同维数的行向量若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量16定义3 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.一个向量a=0线性相关,而 时线性无关 两个向量线性相关 它
6、们对应分量成比例17i.e.二、判别方法1.向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无)(没)(没)18192.21第i个分量3.22从向量组中找尽量多的线性无关向量例例 2 2解解例例 3 3证一证一三、性质28整体无关部分无关部分相关整体相关30定义 练习练习 设向量组设向量组线性相关，则线性相关，则 .4 向量组的秩向量组的秩4 向量组的秩向量组的秩向量组等价向量组等价极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的秩与矩阵的运算1.1.定义定义4 4一、向量组等价一、向量组等价2.2.性质性质 1 1
7、）自反性）自反性 2 2）对称性）对称性3 3）传递性）传递性具有以上性质的关系称为等价关系具有以上性质的关系称为等价关系1 1 定义定义7 7二、极大线性无关组与向量组的秩二、极大线性无关组与向量组的秩三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系向量组与矩阵的关系其第其第个个列列向量向量记作记作个维个维行向量行向量.按行分块按行分块按列分块按列分块个维个维列向量列向量.其第其第个个行行向量向量记作记作矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，
8、二者必须分清.证证证明证明设设的某些列的某些列有关系有关系则相应的则相应的具有相同的具有相同的线性关系线性关系.即即中列向量组中列向量组与与中列向量组中列向量组解：解：总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的方法方法方法方法1：矩阵的初等行变换法矩阵的初等行变换法（1 1）以向量组中的向量为列向量作矩阵）以向量组中的向量为列向量作矩阵（2 2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）（3 3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求）取每行第一个非零元所在的列，即为所求方法方法2：录选法录选法（1 1）在向量组
9、中选一个非零向量）在向量组中选一个非零向量（2 2）再选一个与）再选一个与的对应分量不成比例的向量的对应分量不成比例的向量（3 3）再选一个不能由）再选一个不能由线性表出的向量线性表出的向量线性表出的向量线性表出的向量四、矩阵的秩与矩阵的运算四、矩阵的秩与矩阵的运算例例14.14.练习练习.证明证明:5 向量空间向量空间向量空间概念基与维数向量的坐标说明说明一、向量空间的概念一、向量空间的概念定义定义1 1设设V V 为为 n n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称集合集合V V 为为向量空间向量空间例例2 2例例1 1 例例3 3例例4 4练习练习1 1练习练习2 2例例5 5那么，向量组那么，向量组 就称为向量就称为向量的一个的一个基基，称为向量空间称为向量空间 的的维数，维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足若若V V 的维数为的维数为r r，记做，记做dimdimV V=r r只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间V称为称为0维向量空间，即维向量空间，即dimV=0,它没有基它没有基说明说明n-1维向量空间解：解：