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1、,古典概型 古典概型的经典问题 几何概型 小结 练习,1.3 古典概型与几何概型,1. 定义,1.3.1 古典概型,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 k 个样本点，则事件 A 发生的概率为:,2. 古典概型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,解,对于比较简单的试验，可以直接写出样本空间和事件，然后数出各自所含样本点的个数即可. 对于较复杂的试验，一般不再将中的元素一一列出，而只需利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数，再由公式即可求出的概率.,说明：,排列、组合基本公式,例2 设有5件产品
2、，其中3件是正品，2件是次品.今从中抽取两次，每次1件，取出后不再放回.试求：（1）两件都是正品的概率；（2）一件是正品一件是次品的概率；（3）至少有一件是正品的概率.,解,所以，由公式可求得：,说明：,本例中（3）有更简单的求法。,本例中样本空间可以作不同的设计。,思考：改为放回抽样，结果又如何？,古典概型,其他问题,随机抽球问题,随机分球问题,随机取数问题,1.3.2 古典概型的经典问题,例3 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.解: 设 A = 取到一红一白,答: 取到一红一白的概率为3/5.,解法一:,1、随机抽球问题,解法二:,可见: 随机抽球问题可
3、以用组合法解,也可以用排列法解. 关键是:计算事件概率时保证分子,分母在同一个样本空间下讨论.,把小球的数目推广到一般的情形,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出，而不必过多地交代实际背景。,类似问题：产品检验、抽签问题、福彩摸奖等.,取出的这n个球中至多2个白球的概率是多少？,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,超几何分布的概率公式,
4、例4,例5 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解: 设A=每盒恰有一球, B= 空一盒,(1),(2) 解法一: (用对立事件),2、随机分球问题,(2) 解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中,另一球单独放在另一个盒子中),(2) 解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合空,三号盒空且其余两盒全满这三种情况),答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3.,一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去( n N )，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,
5、类似问题：分房问题、生日问题等.,答,3、随机取数问题,例6 从1到200这200个自然数中任取一个, (1) 求取到的数能被6整除的概率； (2) 求取到的数能被8整除的概率； (3) 求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,解:,故(1),(2),(3)的概率分别为:,例7 在12000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?,设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为,解,于是所求概率为,3、分组问题*例8 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）
6、3名运动员集中在一个组的概率。解: 设A=每组有一名运动员; B= 3名运动员集中在一组,30人,(1),(2),(3),一般地，把n个球随机地分成m组(n m),要求第 i 组恰有ni个球(i = 1,m)，共有分法：,30人,(1),(2),(3),(2) 解法一 (“3名运动员集中在一个组”包括 “3名运动员都在第一组”, “3名运动员都在第二组”, “3名运动员都在第三组”三种情况.),30人,(1),(2),(3),(2) 解法二 (“3名运动员集中在一个组”相当于 “取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.),答:每组有一名运动员的概率为50/203;
7、3名运动员集中在一个组的概率为18/203.,例9 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法, 其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,定义 设样本空间是一个有限区域S. 若样本点落在S内任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度（长度、面
8、积或体积等）成正比，则区域S内任意一点落在区域G内的概率为区域G的测度与区域S的测度的比值，即,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.,1.3.3 几何概型,这一类概率通常称为几何概率.,(1)设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.,则点落在线段l上的概率为,常见的几何概率有以下三种情况:,(2)设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点.,则点落在区域g上的概率为,(3)设空间区域v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.,则点落在区域v上的概率为,例10,随机地向区间0, 5内掷一点，求点落在,区间1, 3的概率 .,解,那么,两人会面的充要条件
9、为,例11 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x, y 表示平面上点的坐标 ,则有,例12 甲、乙两人约定在下午1 时到2 时之间到某站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙约定 (1) 见车就乘; (2) 最多等一辆车. 求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连
10、的，且每人在 1 时到 2 时的任何时刻到达车站是等可能的.,见车就乘的概率为,设 x, y 分别为甲、乙两人到达的时刻,则有,解,最简单的随机现象,古典概型,古典概率,几何概型,试验结果连续无穷,小结,EX,52张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求(1) 甲拿到4个A的概率； (2) 4个A在一个人手上的概率； (3) 每人手上都有A的概率.,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,排列、组合基本公式,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk 种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Ank = n(n-1)(n-k+1) 种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,作业,本三：P16 1,3,4,5.本二,