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1、傅里叶变换傅里叶变换(傅立叶变换傅立叶变换)(傅立叶逆变换傅立叶逆变换)傅里叶傅里叶变换变换定理（定理（1 1）（1）线性定理：假如）线性定理：假如 （波的叠加原理）（波的叠加原理）则有则有（2）相像性定理：假如）相像性定理：假如 （缩放和反演定理）（缩放和反演定理）则有则有（单缝衍射，缝窄衍射变宽）（单缝衍射，缝窄衍射变宽）傅里叶傅里叶变换变换定理（定理（2 2）（3 3）位移定理：假如）位移定理：假如则有则有，函数在空域中的平移，带来频域中的相移，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移，函数在空域中的相移，带来频域中的平移傅里叶傅里叶变换变换定理
2、（定理（3 3）（4）帕色伐（）帕色伐（Parseval）定理：）定理：假如假如 则有：则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。（5）卷积定理：假如）卷积定理：假如则有则有即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积即，空间域两函数的卷积的傅里叶变换对应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积而且，空间域两函数的乘积的傅里叶变换对应着两者变换式的卷积卷积定理为傅里叶变换的计算供应了另一个便利的途径。卷积定理为傅里叶变换的计算供应了另一个便利的途径。傅里叶变换定理（傅里叶变换定理（4 4）傅里叶傅里叶变换变
3、换定理（定理（5 5）（6）傅里叶傅里叶积分定理：在函数积分定理：在函数 的各个的各个连续连续点上点上有有 对对函函数数相相继继进进行行正正变变换换和和逆逆变变换换，重重新新得得到到原原函函数数；而而对对函函数数相相继继进进行行两两次次正正变变换换或或逆逆变变换换，得得到到原原函函数数的的“倒立像倒立像”。二维二维傅里叶傅里叶变换变换定义定义若若函函数数 在在整整个个平平面面上上确确定定可可积积且且满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件,其其傅傅里叶变换定义为里叶变换定义为 傅里叶变换记作傅里叶变换记作函数函数 的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为傅里叶反变换记作傅里叶反变换记作 傅里叶傅里叶频谱概念和
4、狄里赫利条件频谱概念和狄里赫利条件依据欧拉公式，依据欧拉公式，是频率为是频率为 的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数的余（正）弦函数。傅里叶反变换式表示函数 是各种频率为是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是时的权重因子是 。因此傅里叶变换。因此傅里叶变换 常称为函数的频谱常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，确定可积和傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，确定可积和狄里赫利条件是其中一种狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件可具体表述为：狄里赫利条件可具体表述为：“在任一有限矩形区域在任一有限矩形区域里，必需只有有限个间断点和有限
5、个极大微小点，而里，必需只有有限个间断点和有限个极大微小点，而且没有无穷大间断点且没有无穷大间断点”关于存在性的两点说明关于存在性的两点说明在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的看，可以认为傅里叶变换总是存在的在应用问题中，也常遇到一些志向化
6、的函数，例如余（正）弦函数、在应用问题中，也常遇到一些志向化的函数，例如余（正）弦函数、阶跃函数以至最简洁的常数等。它们都是光学中常常用到的，而且都阶跃函数以至最简洁的常数等。它们都是光学中常常用到的，而且都不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不行能严格实现。对于不能满足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不行能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义和广义的区分和广义的区分 二维二维不
7、不变线变线性系性系统统的的传递传递函数函数 假如不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为假如不变线性系统的输入是空域函数，其傅里叶变换为 同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为同时输出函数和脉冲响应函数的傅里叶变换分别为 依据卷积定理有依据卷积定理有 即即称做不变线性系统的的传递函数称做不变线性系统的的传递函数 传递传递函数函数的意义的意义空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子空间频谱是基元函数的线性组合中对应的权重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数的作用，也就是系统在把输入同频率的基元函数的作
8、用，也就是系统在把输入“传递传递”为输出过程中的作用，因而称为传递函数为输出过程中的作用，因而称为传递函数传递函数一般是复函数，其模的作用是变更输入函数各传递函数一般是复函数，其模的作用是变更输入函数各种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是变更这些种频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是变更这些基元成分的初位相基元成分的初位相传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作传递函数的模称作振幅传递函数，传递函数的幅角称作位相传递函数位相传递函数空间频率的两种意义空间频率的两种意义空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长度倒数空间频率类似于时域函数的时间频率，时间倒数称作频率，长
9、度倒数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变更的周数称作空间频率，即在单位长度内周期函数变更的周数信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的信息光学中有两种空间频率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限图象频谱对应的空间频率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限制的，可以是无穷大制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在匀整介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变为电磁波在匀整介质中波长是常数，在其传播方向上
10、空间频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数光波数/mm/mm）表示出的意义事实上是电磁波的传播方向，或其传播）表示出的意义事实上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再具体讲这两者区分数。下章再具体讲这两者区分不不变线变线性系性系统统的本征函数的本征函数 假如函数假如函数 满足以下条件满足以下条件 （式式中中 为为一一复复常常数数）则则称称为为算算符符所所表表征征的的系系统统的的本
11、本征征函函数数。这这就就是是说说，系系统统的的本本征征函函数数是是一一个个特特定定的的输输入入函函数数，它它相相应应的的输输出出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。前面讲的基元函数前面讲的基元函数复指数函数就是线性不变系统的本征函数复指数函数就是线性不变系统的本征函数 即即物物理理光光学学中中已已经经说说明明光光波波可可以以用用复复指指数数函函数数表表示示，光光学学系系统统传传播播光光波波的的数数学学模模型型，就就是是这这样样一一个个用用复复指指数数函函数数表表示示的的光光输输入入变为复指数函数表示的光输出的不变线性系统变为复指数函数表示的光输出的不变线
12、性系统非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（1 1）下面再探下面再探讨讨其脉冲响其脉冲响应应是是实实函数的一函数的一类类特殊的空特殊的空间间不不变线变线性系性系统统，它把一个它把一个实值输实值输入入变换为变换为一个一个实值输实值输出。出。这这种系种系统统也是一种常也是一种常见见的的线线性系性系统统，如一般的非相干成像系，如一般的非相干成像系统统。实实函数的傅里叶函数的傅里叶变换变换是厄米型函数，即其是厄米型函数，即其传递传递函数有函数有 由于由于 因而因而由此可由此可见见，这这种系种系统统振幅振幅传递传递函数是偶函数，位相函数是偶函数，位相传递传递函数是奇函数是奇函数函数 常用函
13、数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换变换（1）常数）常数c（2）函数函数（3）余弦函数）余弦函数（4）正弦函数）正弦函数非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（2 2）余弦函数或正弦函数是余弦函数或正弦函数是这类这类系系统统的本征函数的本征函数 ，输输入函数入函数为为余弦函余弦函数数 对应的频谱为对应的频谱为该该不不变变线性系统线性系统输输出函数出函数频谱频谱则则为为 系统系统输输出函数出函数相应相应为为 非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（3 3）因而有：因而有：这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，余弦输入这表明，对于脉冲响应是实函数的空间不变线性系统，
14、余弦输入将产生同频率的余弦输出。将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小确定于传递同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小确定于传递函数的模和幅角。函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空间不变线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。级联系统级联系统 下图表示的是两个级联在一起的下图表示的是两个级联在一起的空空间间不不变变线性系统，前一系统的线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入输出恰是后一系统的输入两个系统级联的传递函数两个系统
15、级联的传递函数对于总的系统对于总的系统 和和 分分别别是其是其输输入和入和输输出，出，因为因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的脉冲响应为总的传递函数为总的传递函数为 n n个空个空间间不不变变线性系统的级联线性系统的级联n n个空个空间间不不变线变线性系性系统级联统级联的状况，的状况，总总的等效系的等效系统统的脉冲响的脉冲响应应和和传传递递函数分函数分别为别为 用模和幅角表示用模和幅角表示传递传递函数函数时还时还可以可以进进一步得到振幅一步得到振幅传递传递函数和位函数和位相相传递传递函数的如下关系函数的如下关系级联级联系系统总统总的的传递传递函数函数满满足相乘律，足相乘律，简洁简洁地是各子系地是各子系统传递统传递函数函数的乘的乘积积，这为这为我我们们分析困分析困难难系系统统供供应应了很大的便利。困了很大的便利。困难难光学系光学系统统或者或者说说光学光学链链就是就是这这种状况。种状况。