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1、傅里叶变换傅里叶变换(傅立叶变换傅立叶变换)(傅立叶逆变换傅立叶逆变换)傅里叶傅里叶变换变换定理（定理（1 1）（1）线性定理：如果）线性定理：如果 （波的叠加原理）（波的叠加原理）则有则有（2）相似性定理：如果）相似性定理：如果 （缩放和反演定理）（缩放和反演定理）则有则有（单缝衍射，缝窄衍射变宽）（单缝衍射，缝窄衍射变宽）傅里叶傅里叶变换变换定理（定理（2 2）（3 3）位移定理：）位移定理：如果如果则有则有，函数在空域中的平移，带来频域中的相移，函数在空域中的平移，带来频域中的相移同时同时，函数在空域中的相移，带来频域中的平移，函数在空域中的相移，带来频域中的平移傅里叶傅里叶变换变换定理
2、（定理（3 3）（4）帕色伐（）帕色伐（Parseval）定理）定理：如果如果 则有：则有：该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。该定理表明信号在空域和时域的能量守恒。（5）卷积定理：如果）卷积定理：如果则有则有即，空间域两函数的卷积的即，空间域两函数的卷积的傅里叶傅里叶变换变换对应着两者变换式的乘积对应着两者变换式的乘积而且，空间域两函数的乘积的而且，空间域两函数的乘积的傅里叶傅里叶变换变换对应着两者变换式的卷积对应着两者变换式的卷积卷积定理为卷积定理为傅里叶傅里叶变换变换的计算提供了另一个方便的的计算提供了另一个方便的途径。途径。傅里叶变换定理（傅里叶变换定理（4 4）傅里叶傅里叶变换变换
3、定理（定理（5 5）（6）傅里叶傅里叶积分定理：在函数积分定理：在函数 的各个的各个连续连续点上点上有有 对对函函数数相相继继进进行行正正变变换换和和逆逆变变换换，重重新新得得到到原原函函数数；而而对对函函数数相相继继进进行行两两次次正正变变换换或或逆逆变变换换，得得到到原原函函数数的的“倒立像倒立像”。二维二维傅里叶傅里叶变换变换定义定义若若函函数数 在在整整个个平平面面上上绝绝对对可可积积且且满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件,其其傅傅里叶变换定义为里叶变换定义为 傅里叶变换记作傅里叶变换记作函数函数 的的傅里叶傅里叶反反变换变换为为傅里叶反变换记作傅里叶反变换记作 傅里叶傅里叶频谱概念和狄
4、里赫利条件频谱概念和狄里赫利条件根据欧拉公式，根据欧拉公式，是频率为是频率为 的余（正）弦函数。的余（正）弦函数。傅里叶反变换傅里叶反变换式表示函数式表示函数 是各种频率为是各种频率为 的余（正）弦函数的叠加，叠加的余（正）弦函数的叠加，叠加时的权重因子是时的权重因子是 。因此。因此傅里叶变换傅里叶变换 常称为函数的频谱常称为函数的频谱 傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和傅里叶变换存在的充分条件有若干形式，绝对可积和狄里赫利条件是其中一种狄里赫利条件是其中一种 狄里赫利条件狄里赫利条件可具体表述可具体表述为为：“在任一有限矩形区域里，在任一有限矩形区域里，必必须须只有有限个只有有限
5、个间间断点和有限个极大极小点，而且没断点和有限个极大极小点，而且没有无有无穷穷大大间间断点断点”关于存在性的两点说明关于存在性的两点说明在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函在应用傅里叶变换的各个领域中的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，数而实际存在的物理量，总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来物理上的可能性是傅里叶变换存在的充分条件。因此，从应用角度来看，可以认为傅里叶变换总是存在的看，可以认为傅里叶变换总是存在的在应用问题中，也常遇到一些理想化的函
6、数，例如在应用问题中，也常遇到一些理想化的函数，例如余（正）弦函数、余（正）弦函数、阶跃阶跃函数以至最函数以至最简单简单的常数等。它的常数等。它们们都是光学中都是光学中经经常用到的，而且都常用到的，而且都不能不能满满足足傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于傅里叶变换的存在条件，在物理上也不可能严格实现。对于这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换这一类函数可以借助于函数序列极限的概念定义其广义傅里叶变换可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义可以认为，本书内涉及的函数都存在相应的傅里叶变换，只是有狭义和广义的区别和广义的区别 二维二维不不变
7、线变线性系性系统统的的传递传递函数函数 如果如果不不变线变线性系性系统统的的输输入是空域函数，其入是空域函数，其傅里叶变换为傅里叶变换为 同时同时输输出函数出函数和和脉冲响脉冲响应应函数的函数的傅里叶变换分别为傅里叶变换分别为 根据卷积定理有根据卷积定理有 即即称做称做不不变线变线性系性系统统的的的的传递传递函数函数 传递传递函数函数的意义的意义空间频谱空间频谱是基元函数的是基元函数的线线性性组组合中合中对应对应的的权权重因子重因子 输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不输入和输出空间频谱之比表达了系统对于输入函数中不同频率的基元函数同频率的基元函数的作用，的作用，也就是系统在把输入
8、也就是系统在把输入“传递传递”为输出过程中为输出过程中的作用，的作用，因而称为传递函数因而称为传递函数传递传递函数一般是复函数，其模的作用是改函数一般是复函数，其模的作用是改变输变输入函数各入函数各种种频率基元成分的幅值大小，其幅角的频率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改作用是改变这变这些些基元成分的初位相基元成分的初位相传递传递函数的模称作振幅函数的模称作振幅传递传递函数，函数，传递传递函数的函数的幅角幅角称作称作位相位相传递传递函数函数空间频率的两种意义空间频率的两种意义空间频率空间频率类类似于似于时时域函数的域函数的时间时间频率，频率，时间时间倒数称作倒数称作频频率，率，长长度倒数度倒
9、数称作空称作空间频间频率，即在率，即在单单位位长长度内周期函数度内周期函数变变化的周数化的周数信息光学中有两种信息光学中有两种空空间频间频率率，一种是对二维图象进行频谱分析得到的，一种是对二维图象进行频谱分析得到的图象频谱对应的图象频谱对应的空空间频间频率，率，这是一种空间强度分布，其大小是没有限这是一种空间强度分布，其大小是没有限制的，可以是无穷大制的，可以是无穷大另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因另一种是对电磁波场进行频谱分析得到的平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间频率是不变为电磁波在均匀介质中波长是常数，在其传播方向上空间
10、频率是不变的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为的。因而其对应在三维空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数光波数/mm/mm ）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方）表示出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。向与坐标轴的夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。下章再详细讲这两者区别下章再详细讲这两者区别不不变线变线性系性系统统的本征函数的本征函数 如果函数如果函数 满足以下条件满足以下条件 （式中（式中 为为一复常数）一复常数）则则称称为为算符所表征的系算符所表征的系统统的本征
11、函数。的本征函数。这这就就是是说说，系，系统统的本征函数是一个特定的的本征函数是一个特定的输输入函数，它相入函数，它相应应的的输出函输出函数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。数与它之间的差别仅仅是一个复常系数。前面讲的前面讲的基元函数基元函数复指数函数就是复指数函数就是线线性不性不变变系系统统的本征函数的本征函数 即即物理光学物理光学中已经说明光波可以用中已经说明光波可以用复指数函数复指数函数表示，光学系统表示，光学系统传播光波的数学模型，就是这样一个用传播光波的数学模型，就是这样一个用复指数函数复指数函数表示的光输入表示的光输入变为变为复指数函数复指数函数表示的光输出的不变线性系统表示的光输
12、出的不变线性系统非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（1 1）下面再下面再讨论讨论其脉冲响应是实函数的其脉冲响应是实函数的一一类类特殊的空特殊的空间间不不变变线性系统，线性系统，它把一个实值输入变换为一个实值输出。它把一个实值输入变换为一个实值输出。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。这种系统也是一种常见的线性系统，如一般的非相干成像系统。实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有实函数的傅里叶变换是厄米型函数，即其传递函数有 由于由于 因而因而由此可见，这种系统由此可见，这种系统振幅振幅传递传递函数是偶函数，位相函数是偶函数，位相传递传递函数是奇函数是奇
13、函数函数 常用函数及其常用函数及其傅里叶傅里叶变换变换（1）常数）常数c（2）函数函数（3）余弦函数）余弦函数（4）正弦函数）正弦函数非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（2 2）余弦函数或正弦函数是余弦函数或正弦函数是这类这类系系统统的本征函数的本征函数 ，输输入函数入函数为为余弦函余弦函数数 对应的频谱为对应的频谱为该该不不变变线性系统线性系统输输出函数出函数频谱频谱则则为为 系统系统输输出函数出函数相应相应为为 非相干成像系统非相干成像系统的本征函数（的本征函数（3 3）因而有：因而有：这这表明，表明，对对于于脉冲响应是实函数的脉冲响应是实函数的空空间间不不变变线性系统，余
14、弦输入线性系统，余弦输入将产生同频率的余弦输出。将产生同频率的余弦输出。同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递同时产生与频率有关的振幅衰减和相位移动，其大小决定于传递函数的模和幅角。函数的模和幅角。非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类非相干光学成象系统的脉冲响应是实函数，对这一类空空间间不不变变线线性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。性系统的分析是建立光学传递函数理论的基础。级联系统级联系统 下图表示的是两个级联在一起的下图表示的是两个级联在一起的空空间间不不变变线性系统，前一系统的线性系统，前一系统的输出恰是后一系统的输入输出恰是后一系统的输入两个系统级联的
15、传递函数两个系统级联的传递函数对于总的系统对于总的系统 和和 分分别别是其是其输输入和入和输输出，出，因为因为 前式代入后式，并利用卷积的结合律，有前式代入后式，并利用卷积的结合律，有总的脉冲响应为总的脉冲响应为总的传递函数为总的传递函数为 n n个空个空间间不不变变线性系统的级联线性系统的级联n n个空个空间间不不变变线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传线性系统级联的情况，总的等效系统的脉冲响应和传递函数分别为递函数分别为 用用模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到模和幅角表示传递函数时还可以进一步得到振幅振幅传递传递函数和位函数和位相相传递传递函数函数的如下关系的如下关系级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数级联系统总的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统传递函数的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系的乘积，这为我们分析复杂系统提供了很大的方便。复杂光学系统或者说光学链就是这种情况。统或者说光学链就是这种情况。