离散傅立叶变换优秀PPT.ppt

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1、离散傅立叶变换现在学习的是第1页，共66页 第一节 傅立叶变换的几种形式 n n一、引言n n二、傅立叶变换的几种形式 现在学习的是第2页，共66页一、引 言 傅立叶变换对于信号的分析处理发挥了重要作用，傅立叶变换对于信号的分析处理发挥了重要作用，而随着计算机技术的迅速发展，由于计算机无法处理而随着计算机技术的迅速发展，由于计算机无法处理连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立叶变换，简称（散傅立叶变换，简称（DFT）离散傅里叶变换（离散傅里叶变

2、换（DFTDFT），也是一种有限长序列），也是一种有限长序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换在频率域也以序列表的傅里叶变换。离散傅里叶变换在频率域也以序列表示，它不再是连续函数。离散傅里叶变换实际上相当示，它不再是连续函数。离散傅里叶变换实际上相当于该信号的傅里叶变换的有限点离散采样。于该信号的傅里叶变换的有限点离散采样。DFTDFT解决解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。现在学习的是第3页，共66页 二、傅立叶变换的形式 按照信号连续和周期性的不同，傅立叶变换一共可以分为4种：1、周期信号的傅立叶级数（FS）2、非周期信号的傅立

3、叶变换（FT）3、离散时间序列的傅立叶变换（DTFT）4、离散傅立叶级数（DFS）DFT可看作 DFS时域、频域各取一个周期现在学习的是第4页，共66页 频 域 时 域连续、非周期离散、非周期连续、周期离散、非周期傅立叶变换的4种形式 现在学习的是第5页，共66页 频 域 时 域离散、周期 离散、周期（DFS）离散、非周期 连续、周期（DTFT）傅立叶变换的4种形式（续表）现在学习的是第6页，共66页 通过对表分析可以发现：若时域连续，则频域具有非周期性，而若时域离散则频域具有周期性。现在学习的是第7页，共66页 第二节第二节 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数DFSDFS及其基

4、本性质及其基本性质 n n一、周期序列的离散傅立叶级数n n二、离散傅立叶级数的基本性质 现在学习的是第8页，共66页一、周期序列的离散傅立叶级数 若信号周期为T，在每个周期内以间隔对其采样，得到离散周期序列：其周期为N，将展成傅立叶级数为（4-2-1）现在学习的是第9页，共66页其中 则（4-2-2）左右同乘 并求和如下：现在学习的是第10页，共66页 考虑到 (4-2-3)因此：=(4-2-4)由于 即周期为N，所以 取整数。也是周期序列。现在学习的是第11页，共66页物理意义：因为为令代入（2-4）式可得:（4-2-5）其中（为了表示方便，通常用符号来书写这个变换，称为旋转因子。）将（2

5、-5）式左右同乘 现在学习的是第12页，共66页并对k在一个周期中求和，同理可证(4-2-6)在（2-5）和（2-6）中 和都是周期为N的周期序列，称为 级数，的离散傅里叶用DFS（Discrete Fourier Series）表示。现在学习的是第13页，共66页(4-2-8)（4-2-7）记作：现在学习的是第14页，共66页二、离散傅立叶级数的基本性质n n1、线性关系 如果周期为N 的两个周期序列 组合成 则的离散傅里叶级数的系数 (4-2-10)式中所有序列均为周期序列，周期同为N。(4-2-9)现在学习的是第15页，共66页n n二、时域移位特性 如果的傅里叶系数为，则所对应的系数将

6、为，此时设mN，可替换成以m表示，m=m（模N），它将小于N)。为了求证这个结果，我们设 则 (4-2-11)现在学习的是第16页，共66页如果令n+m=n，那么 同时，对于 也可求得其(4-2-12)现在学习的是第17页，共66页n n三、频域移位特性 的傅里叶系数为 。证明：设 则 (4-2-13)现在学习的是第18页，共66页n n四、对称性 傅里叶变换相仿，一个周期序列的傅里叶级数表示式同样具有某些对称性质。而 的傅里叶系数将为 ：(4-2-14)(4-2-15)现在学习的是第19页，共66页n n一、DFT的定义n n二、DFT和Z变换的关系第三节 离散傅立叶变换（DFT）现在学习的

7、是第20页，共66页一、DFT的定义 DFS在时域和频域都离散，但都具有周期性，和都是无限长。而计算机无法处理连续的周期的信号，取的一个周期，(4-3-1)现在学习的是第21页，共66页则定义的N点离散傅立叶变换DFT为 (4-3-2)的离散傅立叶逆变换IDFT为(4-3-3)其中，称为DFT变换区间长度，大于或等于的序列长度。现在学习的是第22页，共66页 和 长度都为N，具有唯一的映射对应关系。若N小于 的序列长度，则会出现时域混叠现象，不能正确反映信号的频谱。DFT实际上来自于DFS，相当于在时域和频域各取一个周期，对其作周期延拓，即可得到 和 。现在学习的是第23页，共66页例题例4.

8、3.1 求 的10点DFT。解：N=10，则现在学习的是第24页，共66页二、DFT和Z变换的关系长度为N的有限长序列 ，其Z变换和DFT变换分别为 令 ，可得：(4-3-5)(4-3-4)(4-3-6)现在学习的是第25页，共66页 式4-3-6说明，的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N 点等间隔采样，而连续谱 经N 点等间隔采样后即为离散谱。现在学习的是第26页，共66页n n一、线性关系 n n二、序列的循环位移n n三、循环卷积定理 n n四、共轭对称性 n n五、帕斯瓦尔（Parseval）定理第四节 离散傅立叶变换的性质现在学习的是第27页，共66页一、线性关系 若序列 长度为N1

9、，长度为N2，取 则 式(4-4-1)现在学习的是第28页，共66页二、序列的循环位移序列的循环位移 先将序列 以N为周期进行周期性延拓，得到 ，一般将周期序列 中从n=0到n=N-1的第一个周期称为 的主值区间，而主值区间上的序列称为主值序列。对 进行移位，得到 ，取 的主值序列 则得到有限长序列的循环移位序列 。现在学习的是第29页，共66页 即：如图4-1所示，移位后，移出主值区的序列值，又将从另一端进入，故称循环移位。现在学习的是第30页，共66页图4-1 序列的循环位移现在学习的是第31页，共66页循环移位后的DFT为：(4-4-2)证明：现在学习的是第32页，共66页由于 所以 以

10、为周期，改变求和区间，得：现在学习的是第33页，共66页同理，若 则(4-4-3)现在学习的是第34页，共66页三、循环卷积定理三、循环卷积定理 若序列 长度为N1，长度为N2，取 ，其N点DFT分别为 和 ，若有 则 与 的循环卷积为 式(4-4-4)式(4-4-5)现在学习的是第35页，共66页证明:对（4-4-3）式左右两边进行DFT，得令现在学习的是第36页，共66页点循环卷积通常还表示成下列形式：(4-4-6)现在学习的是第37页，共66页 循环卷积显然与一般的线性卷积不同。线性卷积可以理解为将一个序列先作翻转及线性位移，并与另一个序列相乘，然后再将乘积求和;所得的新序列的长度为2N

11、-1。而循环卷积的序列长度应为N。循环卷积过程如图4-2所示现在学习的是第38页，共66页图4-2 循环卷积过程示意图 现在学习的是第39页，共66页利用时域和频域的对偶关系，可以得出：利用时域和频域的对偶关系，可以得出：若若则：(4-4-(4-4-7)7)即即 (4-4-8)(4-4-8)对于序列的循环卷积，除了用图对于序列的循环卷积，除了用图4.4.24.4.2所示的图解所示的图解法外，还可以用表格法求解。法外，还可以用表格法求解。现在学习的是第40页，共66页例4.4.1 设两序列分别为 求它们的点循环卷积。解：循环卷积 ，用表格法计算，如表所示。现在学习的是第41页，共66页表格法求循

12、环卷积 现在学习的是第42页，共66页四、共轭对称性 任意一个信号可以表示成它的奇对称部分和偶对称部分之和，那里的对称是关于坐标原点或者纵坐标的对称性。DFT也有类似的对称性，且其区间长度为，所以这里的对称是指主值区间范围内的对称，即关于N/2点的对称性。用 和 分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有：现在学习的是第43页，共66页(4-4-9)(4-4-10)任意有限长序列 都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：(4-4-11)现在学习的是第44页，共66页 将(4-4-11)式中换成N-n，并取复共轭，可得式(4-4-12)结合(4-4-11)和(4-4-12)，有(

13、4-4-13)现在学习的是第45页，共66页(4-4-14)同理，频域序列也可以分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：(4-4-17)(4-4-16)(4-4-15)现在学习的是第46页，共66页易证明DFT共轭对称性如下：(4-4-18)其中实部和虚部为和，实部和虚部为和，即其中实部和虚部为和，实部和虚部为和，即(4-4-19)现在学习的是第47页，共66页五、帕斯瓦尔（Parseval）定理 帕斯瓦尔（ParsevalParseval）定理：）定理：证明：证毕。现在学习的是第48页，共66页第五节 频域抽样理论 在时域中，对于连续信号抽样时，若保证抽样频率，在时域中，对于连续信号抽样时，

14、若保证抽样频率，即可由抽样信号无失真恢复原始信号。同样的在频即可由抽样信号无失真恢复原始信号。同样的在频域中，若对序列进行频域离散采样，则可推导出相域中，若对序列进行频域离散采样，则可推导出相应的频域抽样理论，从而能够从频域采样恢复出原应的频域抽样理论，从而能够从频域采样恢复出原序列。序列。(4-5-1)(4-5-2)现在学习的是第49页，共66页结论：结论：在单位圆上的点等间隔采样得到的的在单位圆上的点等间隔采样得到的的IDFTIDFT，是原序列以N N为周期的周期延拓序列的主值区间。频域采样定理：若序列 长度为M，只有当频域采样点数时，才有：现在学习的是第50页，共66页 即可由频域采样即

15、可由频域采样 恢复原序列恢复原序列 ，否则会产，否则会产生时域混叠现象。生时域混叠现象。若若 为长为为长为MM的序列的序列 在频域在频域 的的 N N点等点等间隔采样间隔采样 ,，则其Z Z变换为现在学习的是第51页，共66页 根据上式，可以推导出根据上式，可以推导出 表示表示 的内插公式和内的内插公式和内插函数：插函数：现在学习的是第52页，共66页由于其中为内插函数。现在学习的是第53页，共66页第六节 DFT的应用n n一、用DFT计算线性卷积n n二、用DFT对信号进行谱分析 现在学习的是第54页，共66页一、用DFT计算线性卷积计算线性卷积的框图如图4-3所示图4-3用DFT计算线性

16、卷积现在学习的是第55页，共66页 当两个序列相差较大时，即 时，取 ，利用DFT计算线性卷积时，由于短序列需要补计算线性卷积时，由于短序列需要补很多零点，而长序列必须全部输入后才能快速计很多零点，而长序列必须全部输入后才能快速计算。因此存储容量要求大，运算时间和时延也较算。因此存储容量要求大，运算时间和时延也较长，同时某些信号序列长度不定或接近无限长，长，同时某些信号序列长度不定或接近无限长，这给实时处理带来很大困难。为解决这一问题，这给实时处理带来很大困难。为解决这一问题，我们可以将长序列分成较小的段，分段卷积后再我们可以将长序列分成较小的段，分段卷积后再首尾相加，即可得到完整输出。首尾相

17、加，即可得到完整输出。现在学习的是第56页，共66页二、用DFT对信号进行谱分析 引入引入DFTDFT的目的就是使能够借助于计算机分析连续时间信号的频谱，而DFTDFT的快速算法FFTFFT使得使得DFT的这种分析方法具有实用价值和重要性。下面的这种分析方法具有实用价值和重要性。下面介绍用介绍用DFTDFT进行谱分析（计算信号的傅立叶变换）进行谱分析（计算信号的傅立叶变换）的基本原理和方法。的基本原理和方法。一、一、DFT进行连续非信号的谱分析进行连续非信号的谱分析 1 1DFTDFT进行连续非周期信号的谱分析进行连续非周期信号的谱分析(4-6-1)现在学习的是第57页，共66页(4-6-2)

18、(4-6-1)和(4-6-2)式说明，连续非周期信号可以通过对其进行采样，进行DFT后再乘以T近似得到。同理,IDFT计算一个非周期信号的傅里叶反变换,则需再乘以 。由于用到了抽样与截断的方法，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似分析。现在学习的是第58页，共66页2DFT进行连续周期信号的谱分析进行连续周期信号的谱分析式(4-6-4)其中式(4-6-3)现在学习的是第59页，共66页 根据根据(4-6-3)(4-6-3)和和 (4-6-4)(4-6-4)，则对于连续周期信号有：，则对于连续周期信号有：式(4-6-5)式(4-6-6)二、二、DFTDFT进行序列的谱分析进行序列的谱分析三、三

19、、三、三、DFTDFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 1 1混叠现象混叠现象 2 2栅栏效应栅栏效应 3 3截断效应截断效应 现在学习的是第60页，共66页第七节第七节 离散傅立叶变换的离散傅立叶变换的Matlab仿真仿真 Matlab中相关离散傅立叶变换函数如下：中相关离散傅立叶变换函数如下：1 1fft(X):返回向量返回向量X X的离散傅立叶变换；设的离散傅立叶变换；设X X的长度为N N，若，若N N为为2 2的幂次，则为以2为基数的快速傅为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非立叶变换，否则为运算速度很慢的非2 2幂次的算法。幂次的算法。2fft(Xfft(X，N):

20、N):计算计算N点的离散傅立叶变换。限定向点的离散傅立叶变换。限定向量的长度为量的长度为N N，若，若X X的长度小于的长度小于N，不足部分补零，若大于N N，则删去超出，则删去超出N N的元素。的元素。3 3fftfft（X,dim)X,dim)或或fftfft（X,N,dim),这是对于矩阵这是对于矩阵而言的函数调用格式，而言的函数调用格式，现在学习的是第61页，共66页 前者与fft(X)基本相同,后者与fft(x,N)相同.dim=1时,该函数作用于X的每一列,当dim=2时,则作用于每一行。其中FFT（the fast Fourier transform快速傅立叶变换）为DFT的快速

21、算法。现在学习的是第62页，共66页例题例例4.7.1 已知已知 x(n)=1,-1,2,4x(n)=1,-1,2,4，试计算，试计算 x(n)的的4 4点点DFTDFT。the program of DFT in MATLAB:x=1-1 2 4;%x=1-1 2 4;%输入输入x(n)x(n)X=fft(x,4);%X=fft(x,4);%对x(n)x(n)作作4 4点点DFT (利用快速傅立叶算法利用快速傅立叶算法fft)fft)stem(abs(X)%stem(abs(X)%绘出绘出X(k)X(k)程序运行结果如图程序运行结果如图4.54.5所示所示现在学习的是第63页，共66页图4-

22、4 x(n)的4点DFT现在学习的是第64页，共66页小 结 本章主要介绍了周期序列的离散傅立叶级数本章主要介绍了周期序列的离散傅立叶级数(DFS)和和有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换(DFT),(DFT),离散傅里叶变离散傅里叶变换实际上相当于该信号的傅里叶变换的有限点离散采换实际上相当于该信号的傅里叶变换的有限点离散采样。样。DFTDFT解决了频域离散化的问题，在信号处理的理解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。论上有重要意义。重要变换：离散傅立叶级数(DFS)：现在学习的是第65页，共66页 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)(DFT)：其中其中DFTDFT重要性质包括：线性性质，序列的循环位移，共轭对称性，以及循环卷积定理和帕斯瓦尔定理；DFSDFS性质与其类似。性质与其类似。DFTDFT可以用于计算线可以用于计算线性卷积或者进行信号谱分析等领域，应用相当广泛。性卷积或者进行信号谱分析等领域，应用相当广泛。现在学习的是第66页，共66页