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1、第二章离散傅立叶变换第二章离散傅立叶变换第一页，本课件共有80页2有限长序列的离散傅里叶变换正变换反变换 从DFS和IDFS定义可以看出，求和运算只限定在0到N-1的主值区间内进行。因而，完全适用于主值序列 与 。因此，我们得到一个新的定义。这就是有限长序列的离散傅里叶变换定义。注意：在离散傅里叶变换关系中，有限长序列都作为周期序列的一个周期来表示，都隐含周期性意义。第二页，本课件共有80页3三、DFT，z变换和 之间的关系1、DFT和z变换的关系 可见，是z变换在单位圆上等距离采样值。第三页，本课件共有80页4三、DFT，z变换和 之间的关系2、DFT与序列傅立叶变换的关系是序列傅立叶变换在
2、区间 上等间隔采样值。当N足够大时，包络可逼近 曲线。第四页，本课件共有80页5四、DFT的性质1、线性 若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注意此时DFT与未补零的DFT不相等。DFT隐含周期性，因此在讨论DFT性质时，需与DFS的概念联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。第五页，本课件共有80页6四、DFT的性质2、圆周移位性质循环移位分三步计算：将 延拓成周期为N的周期序列 ；将 移位得 或 ；将 取主值得 。（1）序列的圆周移位 一个长度为N的序列x(n)的圆周（循环）移位定义为第六页，本课件共有80页7四、DFT的性质圆周移位过程示意图（N=6）第七
3、页，本课件共有80页8四、DFT的性质2、圆周移位性质（2）时域循环移位定理（3）频域循环移位定理若则第八页，本课件共有80页9 设 ，则由上式表示的卷积称为圆周卷积或循环卷积。计算过程分5步：（1）周期延拓（2）翻褶（3）移位和取主值（4）相乘（5）相加3 圆周卷积第九页，本课件共有80页10 线性卷积不受主值区间限制 圆周卷积是周期卷积取主值，在一定条件与线性卷积相等。两个长度都为N的因果序列的圆周卷积仍是一个长度为N的序列，而它们的线性卷积确是一个长度为2N-1的序列。第十页，本课件共有80页11 设 为 的共轭复序列，则证明：5 共轭复序列的DFT第十一页，本课件共有80页12这里利用
4、了同理可证明第十二页，本课件共有80页13 对于长度都是N的序列，按照上式定义的共轭对称分量及共轭反对称分量的长度都是2N-1，并且对称是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。傅立叶变换的对称性质第十三页，本课件共有80页146 DFT的共轭对称性 对于长度都是N的序列，按照上式定义的共轭对称分量及共轭反对称分量的长度都是2N-1，并且对称是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。DFT的共轭对称性是关于N/2点的对称性。第十四页，本课件共有80页15 长度为N的有限长序列 ，若满足称序列 为圆周共轭对称序列，一般用 来表示。若满足称序列 为圆周共轭反对称序列，一般用 来表示。第十五页，本课件共有80页16
5、设一个长度为N的有限长序列 ，令则有在频域下同样有类似结论其中圆周共轭对称分量圆周共轭反对称分量第十六页，本课件共有80页17 下面从两个方面来讨论离散傅里叶变换的对称性。一方面，对于长度为N的复序列 ，有 其中第十七页，本课件共有80页18 同理可得 同理可得第十八页，本课件共有80页19 离散傅里叶变换的对称性，在计算实序列的离散傅里叶变换中有重要应用。第十九页，本课件共有80页20由 于 和 均是有限长序列，其定义区间为（0N-1）。注注 意意：这里的对称性是指 关 于N/2点 的 对 称性，而不是关于原点的对称。关于N/2点的共轭对称性第二十页，本课件共有80页21 若 为实序列，则其
6、DFT满足共轭对称特性 若 为纯虚序列，则其DFT满足共轭反对称性 由对称性，只要已知 ，另一半利用对称性即可得到，节省了一半计算量。第二十一页，本课件共有80页227 DFT形式下的帕塞瓦尔定理 该性质的第二个关系式表明了时域能量和频域能量的守恒性。第二十二页，本课件共有80页23序列的运算序列的运算 几种常用序列几种常用序列序列的周期性序列的周期性 用单位抽样序列表示任意序列用单位抽样序列表示任意序列序列的能量序列的能量线性系统线性系统 移不变系统移不变系统单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和单位抽样响应（单位冲激响应）与卷积和线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质因果系统因果系统 稳定
7、系统稳定系统常系数线性差分方程常系数线性差分方程用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程求单位抽样响应求单位抽样响应理想抽样理想抽样实际抽样实际抽样第二十三页，本课件共有80页24离散频率离散频率、数字频率数字频率和和模拟频率模拟频率之间的关系之间的关系模拟频率模拟频率：单位:Hz和rad/s。数字频率数字频率：通过采样，建立了模拟频率与数字 频率之间的关系：单位:(rad)取值范围 对应于模拟频率的离散的数字频率离散的数字频率:用k表示 ，得出离散频率k与数字频率和模拟频率之间的对应关系：第二十四页，本课件共有80页25第二十五页，本课件共有80页26内插函数内插函数抽样的内插恢复抽样的内插
8、恢复第二十六页，本课件共有80页272.3 频域采样理论抽样z变换一、频域采样（1）问题引入 由z变换与DFT的关系 表明实现了频域的抽样。便于计算机计算。能否由用频域抽样来恢复原来的信号（或频率函数）？其限制条件是什么？内插公式又是什么？第二十七页，本课件共有80页28（2）分析 因为为了弄清这个问题，我们从周期序列 开始：采样后所获得的有限长序列 能否代表原序列？第二十八页，本课件共有80页29 即 是原非周期序列 的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。第二十九页，本课件共有80页30
9、如果 是长度为M的有限长序列，频域抽样不失真的条件：表明长度为N（或小于N）的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。（3）结论 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M，即满足。此时可得到 若不满足 ，则产生时域混叠现象。第三十页，本课件共有80页31 如 果 是无限长序列，则时域周期延拓后必然造成混叠现象，因而一定会产生误差；当 增 加 时 信 号注意：衰减得越快，或频域采样越密（及采样点数N越大），则误差越小。第三十一页，本课件共有80页32例 一个长度 的矩形序列，若在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化，试比较抽样点数分别取5和4时的结果。解 频域抽样，按 ，
10、频域抽样，时域延拓相加，时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数 ，由于 ，所以时域延拓恰好无混叠现象。第三十二页，本课件共有80页33按 ，频域抽样，由于 ，而序列长度为时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为蓝色。）第三十三页，本课件共有80页34二、频域恢复频域内插公式 从频域抽样不失真条件可以知道：过程很简单，先把N个 作IDFT得到 ，再把作z变换得到 。N个频域抽样 能不失真的还原出长度为N的有限长序列 。那么用N个 也一定能完整地表示出 以及频率响应 （即单位圆上的 ）。第三十四页，本课件共有80页35 这就是用N个频域采样来恢复 的内插公式。其中其中代入
11、，得代入，得第三十五页，本课件共有80页36（1 1）的内插公式的内插公式 其中 成为内插函数。内插函数内插函数第三十六页，本课件共有80页37（2 2）频率响应的内插公式）频率响应的内插公式 把 用 代替便得到第三十七页，本课件共有80页38内插函数内插函数 其中 与下面时域采样的内插函数相似 图形如下：第三十八页，本课件共有80页39内插函数 零极点与 的幅频特性图 可以看出，当 时，。当 时，。因而有第三十九页，本课件共有80页40 各抽样点之间的 的值，则由各抽样点的加权内插函数在所求点上的值叠加而得到。频率响应的内插函数 具有线性相位。（3 3）结论）结论 公式中可以看出：（因为其他
12、的内插函数在这一点上的值为零，无影响），即 在每个抽样点上 精确地等于第四十页，本课件共有80页41 用内插函数求频率响应的示意图 长度为N的序列 的FT 可以通过 平面单位圆上的N个取样值 ，即N个频域取样值来恢复。长度为N的序列 ，其N个频域取样值就可以不失真地代表它；且这N个 取样值也能完全表示整个 和 。频率取样理论是用频 率 取 样 设 计 法 设计 F IR数 字 滤 波 器（DF）的理论基础。第四十一页，本课件共有80页42怎样由 恢复 和？用 表示和分析系统有很多优点，容易从 求解，计算和存储非常有效和方便。因而它不仅具有理论意义，而且具有非常大的实用价值。第四十二页，本课件共
13、有80页43DFT的应用用DFT计算线性卷积用DFT计算频谱分析 DFT（FFT）在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通信理论方面有广泛应用。归纳方面：一是计算线性卷积、线性相关；二是用DFT（FFT）作为连续傅里叶变换的近似。FFT并不是什么新的变换，只是DFT在计算机上的一种高速算法，虽然实际中广泛使用的是FFT，但其应用的理论基础仍然是DFT。第四十三页，本课件共有80页442.4 用DFT计算线性卷积1.引入实际问题 即信号通过线性时不变系统 后的响应 是线性卷积运算。若做卷积的两序列都是有限长序列，能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢？圆周卷积与线性卷积的关系是什么？
14、第四十四页，本课件共有80页452.用圆周卷积计算线性卷积的条件 设有限长序列 1）线性卷积 长度：2）圆周卷积 把 补零至L点，即第四十五页，本课件共有80页46 L点圆周卷积 是线性卷积 以L为周期的周期延拓序列的主值序列。结论：当 时，圆周卷积可以代替线性卷积。第四十六页，本课件共有80页472.用圆周卷积计算线性卷积的方法 图中DFT与IDFT子程序可以共用，而且通常用快速算法（FFT）来实现，故圆周卷积也称为快速卷积。取 ，用圆周卷积代替线性卷积的框图为第四十七页，本课件共有80页48线性卷积图形表示线性卷积第四十八页，本课件共有80页1.16 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)
15、和输入 x(n)分别有以下两种情况，分别求输出y(n)。(1)(2)1.20 若h(n)和x(n)都是有限长序列，那么响应y(n)也必 然是有限长序列。具体说，若h(n)和x(n)的非零区 间是 和 ，则y(n)必然对应着 某个非零区间，试用 表示出 来。第四十九页，本课件共有80页上机作业1、已知某系统的输入和冲激响应如下所示：求系统的响应。2、已知离散系统的输入和冲激响应如下所示：求出系统的响应，并绘制出系统的响应图。第五十页，本课件共有80页51周期卷积第五十一页，本课件共有80页52圆周卷积示意图N=7圆周卷积第五十二页，本课件共有80页53线性卷积图形表示第五十三页，本课件共有80页
16、542.5 用DFT进行频谱分析DFT的最初引入就是为了使计算机能够帮助分析连续时间信号的频谱。DFT的快速算法快速傅里叶变换（FFT）的出现使DFT这种分析方法具有实用价值和重要性。时域连续信号DFT分析的基本步骤第五十四页，本课件共有80页55第五十五页，本课件共有80页56第五十六页，本课件共有80页57第五十七页，本课件共有80页58本节讨论内容DFT/IDFT与连续时间信号的频谱分析频带分析宽度与频率分辨率 序列加宽与频谱泄漏 频谱离散化与栅栏效应DTFT物理频率分辨率与DFT计算频率分辨率第五十八页，本课件共有80页59一、利用DFT对连续信号进行谱分析 用DFT计算非周期信号的C
17、TFTl频谱在对应频率处的取值等于DFT结果乘以T 用IDFT计算非周期信号的CITFTl信号在对应时间点取值等于IDFT结果除以T 用DFT计算周期信号的FSlFS频谱分量值等于DFT结果除以N第五十九页，本课件共有80页60推导过程（1）时域抽样（2）时域截短（3）频域抽样第六十页，本课件共有80页61二、用DFT进行谱分析的误差问题1.混叠效应 利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。频带分析宽度与频率分辨率 频率分辨率可以从两个方面来定义：l第一种定义是广义的，一般用来刻画
18、某一种频谱分析方法能够分辨开靠得很近的两个频率分量的能力，也称作频率分辨力。l第二种定义是狭义的，专门用于刻画DFT的一种频谱分析性能，是指某点数条件下DFT所表示的最小频率间隔，这种定义不一定具有第一种频率分辨率的含义。第六十一页，本课件共有80页62频带分析宽度与频率分辨率 抽样间隔 （频率分辨力）是记录长度的倒数，即 若抽样点数为N，则频率分辨率 与 的关系为 在N给定时，为避免混叠失真而一味提高采样频率，必然导致 增加，即频率分辨力下降；反之，若要提高分辨力即减小 ，则导致减小 ，最终必须减小能分析信号的宽度。在 与 参数中，保持其中一个不变而另一个性能得以提高的唯一办法，就是增加记录
19、长度内的点数N。第六十二页，本课件共有80页1.数字频率分辨率：2.模拟频率分辨率：3.用于FFT的点数：4.频率刻度值：5.模拟信号长度：6.分辨率：第六十三页，本课件共有80页64 例：对实信号进行谱分析，要求谱分辨率 信号最高频率 ,试确定最小记录时间 ，最最大采样间隔 ,最少采样点数 。如果 不变，要求谱分辨率增加一倍，最少采样点和最小记录时间是多少？解：因此：为使分辨率增加一倍,第六十四页，本课件共有80页652.截断效应（频谱泄漏）在实际中，要把观测的信号 限制在一定的时间间隔之内，即采取截断数据的过程。时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数（通常，简单的截取信号就
20、相当于乘的是矩形窗）；根据傅里叶变换的卷积定理，信号加窗后的频谱相当于原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积。显然，这种卷积过程将造成信号频谱的失真。如果信号所乘的是矩形窗函数，失真频谱将产生“拖 尾”（频谱延伸扩展）现象原有受限的频谱图形“扩 展”开来，这就称之为频谱泄漏。第六十五页，本课件共有80页66分析其中第六十六页，本课件共有80页67为方便起见，定义主瓣宽度为：第六十七页，本课件共有80页68加窗对序列频谱的影响可分辨的相距最近的谐波分量（DTFT的频率分辨率）第六十八页，本课件共有80页69改善方法：（1）增加 长度 （2）缓慢截断第六十九页，本课件共有80页70例：试确定将三个谱
21、峰分开所需要的数据的长度。在本例中，最小的由有即要想分辩出这三个谱峰，数据的长度至少要大于500，从FFT的角度看，若令N=512第七十页，本课件共有80页71则 下图，N分别等于256和1024，可见，N=256时无法分辨三个谱峰。第七十一页，本课件共有80页723.栅栏效应 序列 的频谱是连续的，而DFT是这个连续谱的均匀抽样。如果用 去近似，就一定意义上来讲，好像是在栅栏的一边通过栅栏的缝隙（对应离散点）去观看另一边的景象（对应连续频谱），只能在离散点的地方看到真实的景象。因此，那些被栅栏挡住的（频谱）部分是看不到的，这就有可能漏掉一些较大的频率分量。我们称这种现象为“栅栏效应”。第七十
22、二页，本课件共有80页73减小栅栏效应的方法：末尾补零，即改变N的值。补零的目的：1）使数据N为2的整数次幂，以便于用快速傅里叶变换算法（FFT）；2）补零可以对补零前的DFT频谱作插值。从而克服栅栏效应，以使频谱的外观更加光滑。说明：如 由 DTFT所得到连续谱存在严重混叠，从 而 造 成 频 谱模糊。对这种模糊不清的连续谱进行抽样 计算序列的DFT，得到的结果不可能准确的，即便增加DFT的点数N，也只是使抽样的频谱线变密，看到更多的模糊值而已，并 不能从根本上提高谱值得准确度！第七十三页，本课件共有80页74三、用DFT进行谱分析的参数考虑lDTFT的频率分辨率物理分辨率 根据离散序列求连
23、续谱时，两个谐波分量之间最小可分辨的频率间隔 lDFT的频率分辨率计算分辨率 DFT对DTFT频谱的抽样间隔 补零提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱；增加数据的记录长度，提高了物理分辨率，得到的是高分辨率谱。75DFT参数选择的一般问题确定信号的最高频率后，为防止混叠，采样频率根据实际需要，即根据频谱的“物理分辨率”确定频率采样间隔 ，越小频谱越密，计算量也越大。确定后，就可以确定做DFT所需的点数，即为了实用基2FFT算法，一般取 。和N确定后，则可确定所需的数据长度，即第七十五页，本课件共有80页76例：N=10 由图可见，由于截断函数的频谱混叠作用，不能正确分辨这两个频率分量。第七十六
24、页，本课件共有80页77N=10，补零到100 由图可见，虽然补零至100点，只是改变 的密度，截断函数的频谱混叠作用没有改变，这时物理分辨率仍不能正确分辨这两个频率分量。这说明，补零仅仅是提高了计算分辨率，得到的是高密度频谱，而得不到高分辨率谱。第七十七页，本课件共有80页78N=100 由图可见，截断函数的加宽且为周期序列的整数倍，改变了频谱混叠作用，提高了物理分辨率，能正确分辨这两个频率分量。这说明通过增加数据的记录长度来提高物理分辨率可以得到高分辨率谱。第七十八页，本课件共有80页79N=128 由图可见，截断函数虽然进一步加宽，但不是周期序列的整数倍，所以尽管能正确分辨这两个频率分量，但还呈现频谱泄漏。第七十九页，本课件共有80页80N=50栅栏现象第八十页，本课件共有80页