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1、1第一篇第一篇 力力 学学(Mechanics)第1页/共41页2第第1 1章章 质点运动学质点运动学(8)(Kinematics of particle)内容提要内容提要 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量 相对运动相对运动第2页/共41页31.0 矢量矢量一.矢量的表示法矢量的表示法aAa=|a|axaxayazyzoaA=|A|第3页/共41页4二.矢量的加、减法矢量的加、减法aba+b三角形法三角形法aba-bab+=？多边形法多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？第4页/共41页5三.标量积标量积(点积、数量积、内积点积、数量积、内积)第5页/共41页6 积积C的方向垂直
2、于矢量的方向垂直于矢量a 和和b组成组成的平面，的平面，指向由右手螺旋法则确定指向由右手螺旋法则确定。四四.矢量积矢量积(向量积、叉积、外积向量积、叉积、外积)bacc第6页/共41页7 1.矢量矢量函数的微商与函数的微商与标量标量函数的微商不同：函数的微商不同：矢量矢量函数的微商函数的微商=矢量矢量大小大小的微商的微商+矢量矢量方向方向的微商的微商 五.矢量函数矢量函数A(t)的微商的微商lim t0 2.的方向，一般不同于的方向，一般不同于A 的方向。的方向。只有当只有当 t0时，时，A 的极限的极限方向，才是方向，才是 的方向。的方向。特别是特别是,当当A的大小不变而只是方向改变时的大小
3、不变而只是方向改变时,就时刻保持与就时刻保持与A垂直。垂直。第7页/共41页8由于由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以是普通的函数，所以就是就是普通函数的微商。普通函数的微商。3.在直角坐标系中在直角坐标系中,考虑到考虑到 是常量是常量,有有第8页/共41页9 运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。运动的描述是相对的。一一.运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性 1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系第9页/共41页10 在研究机械运动时，在研究机械运动时，选作参考的物体选作参考的物体称为称为参考系参考系。为
4、了作定量描述，为了作定量描述，还要取一个固定在参考系中还要取一个固定在参考系中的的坐标系坐标系。坐标系坐标系是参考系的是参考系的代表代表和和抽象抽象。二二.参考系参考系 坐标系坐标系 常用的坐标系常用的坐标系:直角坐标系直角坐标系 柱坐标系柱坐标系 球坐标系和自然坐标系。球坐标系和自然坐标系。mS.第10页/共41页111-2 典型机械运动及理想模型典型机械运动及理想模型 质质点点在在所所研研究究的的问问题题中中，形形状状和和大大小小可可以以忽忽略略的物体。的物体。刚体刚体 运动中形状和大小都保持不变的物体。运动中形状和大小都保持不变的物体。谐振动谐振动 弹性回复力弹性回复力 F=kx 第11
5、页/共41页121.3 描述质点运动的物理量！描述质点运动的物理量！一一.位置矢量位置矢量描述质点在空间位置的矢量描述质点在空间位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyz ABCr 位位 置置矢量矢量，简称，简称位矢位矢或或矢径矢径。从坐标原点从坐标原点o指向指向P点的有向线段点的有向线段op=r r 质点质点P到原点到原点o的距离的距离 cos2 +cos2 +cos2 =1 第12页/共41页13它们都叫做质点的它们都叫做质点的运动方程运动方程。质点经过的空间各点联成的质点经过的空间各点联成的曲线的方程曲线的方程，称，称为为轨道方程轨道方程。运动方程运动方程 例：例：x=
6、6cos2t y=6sin2t x2+y2=62 轨道方程轨道方程。二二.运动方程和轨道方程运动方程和轨道方程 第13页/共41页14 (1)位位移移是是位位置置矢矢量量r 在在时间时间 t内的内的增量增量:三三.位移和路程位移和路程 而而A到到B的路径长度的路径长度 S,称为称为路程路程。Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)称为称为质点在时间质点在时间 t内的内的位移位移。r(t+t)从起点从起点A到到终点终点B的有向线段的有向线段AB=r 第14页/共41页15t1:t2:x 方方向向的的位位移移y 方方向向的的位位移移z 方方向向的的位位移移第15页/共41页16位移位移=AC路程路
7、程=AB+BCAB只有当只有当 t0时时,才有才有|r|S。(2)位移和路程是两个不同的概念。位移和路程是两个不同的概念。BAC 路路程程表表示示路路径径长长度度，是是标标量，是弧长量，是弧长AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S 位移位移代表位置变化，是矢量，是直线段代表位置变化，是矢量，是直线段AB的长度，的长度，与路径形状无关。与路径形状无关。第16页/共41页17单位时间内的单位时间内的路程路程平均速率。平均速率。定义定义:单位时间内的单位时间内的位移位移平均速度。平均速度。四四.速度、速率速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S第17页/
8、共41页18 如，质点经时间如，质点经时间t t绕半径绕半径R的圆周运动一圈，的圆周运动一圈，即即使使在在直直线线运运动动中中，如如质质点点经经时时间间 t t从从A点点到到B点点又折回又折回C点点,显然显然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同:而平均速率为而平均速率为则平均速度为则平均速度为BAC第18页/共41页19质点的质点的(瞬时瞬时)速率速率:limt0=质点的质点的(瞬时瞬时)速度速度:limt0 即：速度即：速度 等于位置矢量等于位置矢量r 对时间的对时间的一阶导数一阶导数;而速率而速率 等于路程等于路程S对时间的对时间的一阶导数一阶导数。第19页/共41页2
9、0=(1)(1)速率速率=速度的大小。速度的大小。例例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=limt0(2)=(2)=r 大小的导数大小的导数 +r 方向的导数方向的导数。第20页/共41页21速度的大小：速度的大小：(3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中,速度的方向：轨道切线方向。速度的方向：轨道切线方向。第21页/共41页22平均加速度：平均加速度：五五.加加速度的定义速度的定义OxyzA.B.(瞬时瞬时)加速度加速度定义为定义为limt 0 加速度加速度a等于速度等于速度 对时间的对时间的一阶导数一阶导数。在时间在时间 t t内质点速度的增量：内质点速度的增量：第22页
10、/共41页23(2)(2)加速度加速度a 的大小的大小:(1)(1)在直角坐标系中在直角坐标系中,加速度的表示式是加速度的表示式是第23页/共41页24 在曲线运动中在曲线运动中,加速度的方向加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中在国际单位制中,加速度的单位加速度的单位为米为米/秒秒2 2(ms-2)。加速度加速度a 的方向是：当的方向是：当 t t00时时,速度增量速度增量 的的极限方向。极限方向。应该注意到应该注意到,的方向和它的极限方向一般不的方向和它的极限方向一般不同于速度同于速度 的方向的方向,因而加速度因而加速度a 的方向与同一时刻的方向与同一时
11、刻速度速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。aaa第24页/共41页25例：例：任何一个曲线运动都可以看作是沿任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z 三个三个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加坐标轴方向的独立的直线运动的叠加,这就是这就是运运动的叠加原理动的叠加原理。第25页/共41页26r=xi+yj+zk求求 导导积积 分分*运动学的两类问题运动学的两类问题第26页/共41页27 例题例题3.1 质点沿质点沿x轴运动轴运动,x=t39t2 +15t+1(SI),求求:(1)(1)质点首先向哪个方向运动质点首先向哪个方向运动?何时调头？何时调头？(2)(2)t=0,2s时的速度时的速
12、度;(3)0 (3)0 2s内的平均速度和路程。内的平均速度和路程。t=1,5s前前后后速速度度 改改变变了了方方向向(正正负负号号），所以所以t=1,5s调头了。调头了。因因t=0，=+15m/s,所所以以质质点点首首先先向向x轴正方向运动。轴正方向运动。=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解解 (1)(1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？质点做直线运动时，调头的条件是什么？t=1,5s第27页/共41页28考虑到考虑到t=1s时调头了，故时调头了，故02s内的内的路程应为路程应为 s=|x(1)-x(0)|02s内的位移：内的位移：x=t39t2 +15t+1平均速度：平
13、均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)(2)(2)t=0,2s时的速度时的速度;=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)t=0,=15m/s t=2,=-9m/s(3)(3)0 2s内的平均速度和路程。内的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m 第28页/共41页29质点作什么样的运动？质点作什么样的运动？例题例题3.2 2 质点位矢：质点位矢：解解 x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4 直线直线质点作质点作匀加速直线运动匀加速直线运动。第29页/共41页30 解解 (1)(1)x=Rcos t，y=Rsin t 轨道方程：轨道方程：x2+y2=
14、R2 圆圆 由由于于t=0t=0时时,x=R,y=0,而而t0t0+时时,x0,y0,由由此此判判定定粒子是作逆时针方向的圆周运动。粒子是作逆时针方向的圆周运动。例题例题3.3 3 粒子矢径粒子矢径:r=Rcos t i+Rsin t j，其中其中R、为正值常量。为正值常量。(1)(1)分析粒子的运动情况分析粒子的运动情况;(2);(2)时间时间t=/2/内内的位移和路程。的位移和路程。第30页/共41页31其大小为其大小为 加速度加速度a的方向的方向-r，即沿着半径指向圆心。即沿着半径指向圆心。综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。第31页/共41页
15、32(2)(2)在时间在时间t=/2/内的位移为内的位移为 注意到注意到 为角速度，在时间为角速度，在时间t=t=/2/内粒子刚内粒子刚好运动半个圆周，故路程好运动半个圆周，故路程:S=R。第32页/共41页33平均速度平均速度：(2)第第2s内内的平均速度：的平均速度：当当t=1s时，时，(1)位矢：位矢：当当t=2s时，时，例题例题3.4 质点质点:x=2t,y=19-2t2(SI),求：求：(1)质点在质点在t=1s、t=2s时的位置；时的位置；解解第33页/共41页34代入代入t=1s,得：得：加速度：加速度：(3)第第1s末的速度和加速度：末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：速
16、度：第34页/共41页35由此得由此得:t=0,3s(略去略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见可见t=3s时最近。时最近。r有极值的必要条件是：有极值的必要条件是：(5)何时质点离原点最近何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t2这是一条抛物线这是一条抛物线 (4)轨道方程：轨道方程：第35页/共41页36(6)第第1s内的路程内的路程:10=1.34m第36页/共41页37 例题例题3.5 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的的岸边，一人以恒定的速率速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时时速度和加速度。速度和加速度。解解 hxroxy第37页/共41页38 解解2:船的速度船的速度:hxr第38页/共41页39 解解 取取 o=0位置为坐标原点，向下为位置为坐标原点，向下为x轴的正轴的正方向。方向。例题例题3.6 伞兵竖直降落，伞兵竖直降落，o=0，a=A-B，式式中中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。为常量；求伞兵的速度和运动方程。第39页/共41页40完成积分就得运动方程完成积分就得运动方程:运动方程：运动方程：第40页/共41页41感谢您的观看！第41页/共41页