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1、 第一节第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数直线上点集的勒贝格测度与可测函数勒贝格测度与勒贝格可测集勒贝格测度与勒贝格可测集可测函数可测函数测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广可测函数列的极限问题可测函数列的极限问题第1页/共29页 一、点集的勒贝格测度与可测集1.几个特殊点集的测度(1)设设E为直线为直线R上的有限区间上的有限区间a,b(或或(a,b)或或a,b)或或(a,b),则其测度定义为：则其测度定义为：m(E)=m(a,b)=b-a.(2)设E为平面上有界闭区域D,则其测度定义为:m(E)=SD(4)若E=，则定义m(E)=m()=0(3)设E为空间上有界闭区域,则其测度定
2、义为:m(E)=V (6)若E为一随机事件，则定义m(E)=P(E)(古典概率）(5)若E=x是单点集，则定义m(E)=0第2页/共29页2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度定义1 设E R非空点集，a R.(1)设 0,称开区间(a ,a+)=O(a,)为a 的 邻域。直线上包含a的任一开区间(,)均可称为点a的邻域(2)设a E,若存在a的一个邻域(,),使得(,)E，则称a是E的内点；定义2 设E R非空点集.如果E中的所有点都是内点，则称E是开集；定义3 设G是直线R上的一个有界开集。如果开区间(,)满足条件:1)(,)G 2)G,G则称(,)为开集G 的一个构成区间第3页/共29页
3、定义4 设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G),(ai,bi)(i I)为G的构成区间，则定义 m(G)=(biai)(0m(G)0,x0 则称则称 为为A的的上确界上确界,记作：记作：（2）如果存在一个实数 ，满足：1）x A，有x ；（2）0,x0 +,则称 为A的下确界,记作：注注:如果a为数集A的上（下）确界，则存在数列xn A,使得 定理定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度第5页/共29页3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度定义7
4、设E R为任一有界集.(1)称一切包含称一切包含E的有界开集的测度的下确界为的有界开集的测度的下确界为E的的L外测度外测度，记为，记为m*(E),即即m*(E)=inf m(G)|G为有界开集为有界开集,E G(2)称一切包含于称一切包含于E的有界集的测度的上确界为的有界集的测度的上确界为E的的L内测度内测度，记为，记为m(E),即即m(E)=supm(F)|F为有界闭集为有界闭集,F E(3)如果如果m(E)=m(E),则称则称E的内测度与外测度的共同值为的内测度与外测度的共同值为E的的L测度测度，记为，记为m(E),即即这时这时,也称也称E是是勒贝格可测集勒贝格可测集(简称简称L可测集可测
5、集)m(E)=m*(E)=m(E)第6页/共29页注:1)对于有界开集对于有界开集G,有有m(G)=m*(G)2)对于有界闭集对于有界闭集F,有有m(F)=m(F)3)对于任一非空有界集对于任一非空有界集E,有有m(E)m*(E)(根据定义根据定义)第7页/共29页定理3 设X=(a,b)是基本集(有界),E,Ei X(i=1,2,)均为有界可测集,则有EC=X-E、E1 E2、E1 E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且1)m(E)0,且E=时,m(E)=0 (非负性)3)m(E1 E2)m(E1)+m(E2)(次可加性次可加性)2)若若E1 E2,则则 m(E1)m(E2)(单调性单调性)
6、m(E2E1)=m(E2)-m(E1)4.可可测集的性质4)若若E1 E2=,则则m(E1 E2)=m(E1)+m(E2)(有限可加性有限可加性)5)若若Ei Ej=(i j,i,j=1,2,),则则m(Ei)=m(Ei)(可列可加性)第8页/共29页1)若若E1 E2 Ek,则则E=Ek可测可测,m(E)=lim m(Ek)定理4 设X=(a,b)是基本集,Ek是X上的可测集列。2)若若E1 E2 Ek,则则E=Ek可测可测,m(E)=lim m(Ek)定理5 设E R有界,则E 可测存在开集G和闭集F,使 F E G,且m(G-F)0,开集G和闭集F,使F E G,且m(G-F)0,开集G
7、 E 和闭集F E,使m(F)m(E)m(E)m(G)m(E)-m(E)m(G)-m(F)0,有界集(-x,x)E可测,则称E是可测的.并记注:1)无界点集的测度可能是有限值,也可能是无穷大.例如,有理数集Q是无界的零测集,E=(0,+)是测度为+的可测集.2)对于无界集,上述定理3的结论也成立.第11页/共29页2）L可测集类与波赖尔(Borel)集定义5 (1)R中所有L可测集构成的集合称为L可测集类.(2)对R中的开集和并集进行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称为波赖尔(Borel)集.所有波赖尔(Borel)集都是L可测集.注：大多数集合都是L可测集，但L不可测集确实存在.第12
8、页/共29页 二、点集上的勒贝格可测函数1.可测函数的定义定义6 设E R为任一可测集（有界或无界）,f(x)为定义在E上的实值函数.若 R,E的子集 E(f )=x|f(x),x E都是L有限可测集,则称f(x)是E上的L可测函数 E(f )=x1,x2 x3,bE(f )=x4,x5xof(x)abx1x2x3x4x5第13页/共29页2.函数可测的充分必要条件定理4 f(x)在可测集E上的可测函数，即E(f )可测,R,E(f)=x|f(x),x E可测 R,E(f=)=x|f(x)=,x E可测R,E(f)=x|f(x)=x|f(x),x E可测 证:(1)E(f)=E(f)-E(f)
9、可测 E(f)=E(f)(4)E(f)=f)=E(f+1/n),E(f)=E(f 1/n)第14页/共29页例5 定义在R上连续函数都是L可测函数.f(x)连续x0 E(f)R,f(x)f(x0)(xx0)O(x0,),使 x O(x0,),有f(x)，即x E(f)(极限保号性）证：x0 E(f)f(x0)(只要证明R,集E(f)是开集,则它一定是可测集)f(x)是可测函数O(x0,)E(f)x0 是E(f)的内点，E(f)是开集E(f)是可测集第15页/共29页例6 区间0,1上的狄里克来函数D(x)是L可测函数.证:D(x)=1,x为0,1中的有理数0,x为0,1中的无理数当 1时,E(
10、D)=是可测集,当0时,E(D)=0,1是可测集.因此,D(x)是L可测函数当0)=x|x为0,1中的有理数是可测集,第16页/共29页例7 定义在零测集E上的任何函数f(x)都是L可测函数.证:R,E(f)=x|f(x),x E E f(x)是可测函数m(E(f)=0m(E(f)m(E)=0E(f)也是零测集第17页/共29页例8 集E的特征函数 E(x)是R上的可测函数.证:E(x)=1,x E0,x E定理6 f(x)、g(x)是E上的可测函数 kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x)0)、及 f(x)都E上的可测函数当 1时,E(E)=是可测集,当0
11、时,E(E)=R是可测集当00,x E,N=N(),当nN时,有 fn(x)-f(x)0,x E,N=N(x,),当nN时,有 fn(x)-f(x)N时,曲线列fn(x)的图形都在曲线 f(x)的 带形邻域内.f(x)fn(x)oxyab fn(x)f(x)(n)第20页/共29页fn(x)=xnoxyx11x2n=1n=2n=10n=20 x(0,1)时,fn(x)=xn0(n)fn(x)=xn 0(n)N既与 有关,又与x有关,要使曲线fn(x)=xn上的对应点落到极限函数f(x)=0的 带形邻域内,在x1处,只要 n 2即可,而在x2处,则要n 10才行3)fn(x)一致收敛于一致收敛于
12、f(x)fn(x)一处处敛于一处处敛于f(x),反之不然。例如反之不然。例如第21页/共29页在点集E上,函数列fn(x)一致收敛于f(x)例 证明函数列在E=0.1上一致收敛于0.证:定理6(柯西定理)x E,fn(x)是基本列。0,x E,N=N(),当m,nN时,有 fm(x)-fn(x)0,lim m(Ex fn(x)-f(x)=0fn(x)在集E上依测度收敛于f(x)0,0,N,当当nN时时,有有m(E(fn(x)-f(x)0,可测子集E E,使m(E-E),且fn(x)在E 上一致收敛于f(x),则称fn(x)在E上近一致收敛于f(x).m记作 fn(x)f(x)第26页/共29页
13、定理定理10 设设fn(x)是可测集是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列上的几乎处处有限的可测函数列,f(x)是定义在是定义在E上的上的几乎处处有限的可测函数几乎处处有限的可测函数,且且lim fn(x)=f(x)(a.e.),则则定理11 (Riesz定理)设m(E),则 fn(x)在E上依测度收敛于f(x)子列fnk(x)fn(x),使fnk(x)f(x)(a.e.)(k)(2)fn(x)在E上依测度收敛于f(x).(勒贝格定理)(1)fn(x)在E上近一致收敛于f(x).(叶果洛夫定理)第27页/共29页fn(x)几乎处处收敛于f(x)fn(x)近一致收敛于f(x)fn(x)依测度收敛于f(x)fn(x)中存在几乎处处收敛于f(x)的子列fnk(x)fn(x)处处收敛于f(x)fn(x)一致收敛于f(x)4 函数列的各种收敛之间的关系第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页