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1、第11讲 可测函数的定义与性质 目的：熟练掌握可测函数的定义，熟悉其性质，掌握常见的一些可测函数。重点与难点：可测函数的引入，性质的证明。第11讲 可测函数的定义与性质基本内容：一可测函数的定义 为了定义新的积分，我们已经对Rn中的一般集合定义了测度概念，但同时也看到了，Rn中的 确存在一些集合，它们是不可测的，因此，有必要对定义于Rn中某个可测子集E上的函数f，考察形如第11讲 可测函数的定义与性质 的集合这可测性,假如对一切的 上述集合都是可测的，则下面的和式 就有意义了（见本书的引言），从而可以讨论其极限的存在性，本章的目的，就是研究使得集合第11讲 可测函数的定义与性质 对一切 都可测
2、的函数 之结构。（1）关于的运算 由于我们允许函数值取 ，所以需作一些规定，我们所讨论的函数都是指单值实函数，并且规定（i）（ii）对任意第11讲 可测函数的定义与性质（iii）对任意（iv）但是第11讲 可测函数的定义与性质 及 是没有意义的，因此，不允许作这种运算。（2）定义 定义1 假设 是可测集，是E上的函数，如果对任意常数a，集合 都是可测集，则称f是E上的可测函数。第11讲 可测函数的定义与性质问问题题1 1：为为了了定定义义函函数数的的LebesgueLebesgue积积分分，须要求这些函数满足什么条件？须要求这些函数满足什么条件？问题问题2 2：列举几类可测函数的例子？：列举几
3、类可测函数的例子？第11讲 可测函数的定义与性质（3）简单函数的可测性 定义 设 是可测集,E1，E2，En 是E 的互不相交的可测子集，且 C1,C2，,Cn是常数，则称E上的函数 为简单函数。第11讲 可测函数的定义与性质记 为 的特征函数，则显然有命题1 对任意可测集E，E上的简单函数 是可测的。证明：设 是E上的简单函 数，不失一般性，假设第11讲 可测函数的定义与性质（若，则将看作某个Ek），往证对任意是可测集。显然，第11讲 可测函数的定义与性质所以是可测集。证毕。（4）非负函数可测性的等价定义 如果可测函数 ，则称其为非负 可测函数。定理1 如果 是可测集上的非负函数，则下列各陈
4、述相互等价：第11讲 可测函数的定义与性质（i）在E上非负可测；（ii）存在E上的非负简单函数列 使得证明 ，其中第11讲 可测函数的定义与性质是E上的非负简单函数，满足 则对任意实数a及任意 是可测集，但故 是可测集。(i)(ii)假设f 是E上的非负可测函数，即 第11讲 可测函数的定义与性质任意实数a,是可测集,不难看到 故 是可测集，于是对任意常数a，b，集合也是可测的。第11讲 可测函数的定义与性质对任意正整数m及令则是互不相交的可测集，且定义简单函数 第11讲 可测函数的定义与性质可以证明 （请读者自行验证）。下面证明若 使 则对任意，所以若 则可取正整数 则当 时，第11讲 可测
5、函数的定义与性质因此 。证毕。由于定理1中（i）与(ii)的等价性，所以，也可将（ii）作为非负可测函数的定义。第11讲 可测函数的定义与性质（5）一般可测函数的等价定义 而对一般的实值函数，可以作的正负部分解：第11讲 可测函数的定义与性质 则 ,于是又可利用 的可测性来定义的f 的可测性。即称 可测当且仅当 都是可测函数。可以证明该定义与定义1是等价的。第11讲 可测函数的定义与性质定理2 设是Rn中可测集E个的函数，则 在E上可测当且仅当下列条 件之一成立。(i)对任意常数a,可测；(ii)对任意常数a,可测；第11讲 可测函数的定义与性质 (iii)对任意常数a,可测；证明：因为第11
6、讲 可测函数的定义与性质 故 可测(i)(ii)(iii)可测。证毕。问题问题3 3：可否用：可否用Ex|f(x)=(R)Ex|f(x)=(R)的可测的可测性作为可测函数的定义？为什么？性作为可测函数的定义？为什么？第11讲 可测函数的定义与性质问问题题4 4：可可否否用用Ex|f(x)Ex|f(x)的的可可测测性性作作为可测函数的定义？为可测函数的定义？问问题题5：若若f是是可可测测函函数数，则则 Ef(x)=是是否可测？否可测？第11讲 可测函数的定义与性质命题2 若 是E上的可测函数，则 都是可测集。证明 由立得证明。第11讲 可测函数的定义与性质 二可测函数的性质（1）几乎处处相等的函
7、数下面讨论可测函数的基本性质。一般地，如果E是可测集，是与x 有关的命题，且存在E的零测子集E0，使得对任意 ，命题成立，则说 在E上几乎处处成立。第11讲 可测函数的定义与性质性质1 如果两个函数 与 在 上几乎处处相等，则当其中一个在E上可测时，另一个也可测。证明：假设 可测，则对任意实数 是可测集，由于是零测集，且第11讲 可测函数的定义与性质故 是可测集 与一个零测集的并，它当然可测。证毕。第11讲 可测函数的定义与性质 从性质1可以看到，函数的可测性与其在零测集上的取值无关，因此，讨论的函数的可测性允许在任何零测集上改变其值，比如，我们来看看Dirichlet函数。第11讲 可测函数
8、的定义与性质 由于 ，故可以在 上重新定义D的值，从而得新的函数 这是常值函数，它与 几乎处处相等，所以 与 的可测性相同。尽管 处处不连续，但和一个常值函数却是几乎处处相等的。在第四章中将会看到，这样的函数虽然不是Riemann可积的，却是最简单的Lebesgue可积函数。事实第11讲 可测函数的定义与性质 上，它正是我们前面定义的简单函数。（2）可测函数定义域的分割性质2 如果 是E上的可测函数，E0 是E的可测子集，则 也是E0上的可测函数。反之，如果已知在每一个Ei上都可测，i=1,2,3,则 在 可测。第11讲 可测函数的定义与性质证明：由立得性质2。由于我们允许可测函数取值为 ，所
9、以讨论两个可积函数的和、差、商的可第11讲 可测函数的定义与性质 测性，需假定这些运算是被允许的。（3）可测函数的和与差的可测性性质3 若 ，都是E上的可测函数则（i）在E上可测。(ii)当 在E上几乎处处有意义时，在E上可测；第11讲 可测函数的定义与性质证明：若 ，则 ，它当然在E上可测。若 ，则对任意 从而由 的可测性知 可测。第11讲 可测函数的定义与性质若 则故 仍可测。（i）证毕。为证(ii)，不妨设 处处有意义，将R1中的全体有理数排成序列 ，则对任意第11讲 可测函数的定义与性质由 的可测性知上式最后一项是可测集，从而 可测，即 可测。第11讲 可测函数的定义与性质问问题题6：已已知知两两个个函函数数f,g可可测测，为为证证明明 Ex|f(x)+g(x)的的可可测测性性，需需设设法法将将f和和g分分 开开，如如 何何 将将 上上 述述 集集 合合 用用 形形 如如Ex|f(x)、Ex|g(x)、Ex|g(x)的集合表示？的集合表示？作业：P774，5，9