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1、 第一章第一章 实变函数初步实变函数初步 第一节第一节 直线上点集的勒贝格测度与可测函数直线上点集的勒贝格测度与可测函数勒贝格测度与勒贝格可测集勒贝格测度与勒贝格可测集可测函数可测函数测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广可测函数列的极限问题可测函数列的极限问题 一、点集的勒一、点集的勒贝贝格格测测度与可度与可测测集集1.几个特殊点集的几个特殊点集的测测度度(1)设设E为为直直线线R上的有限区上的有限区间间a,b(或或(a,b)或或a,b)或或(a,b),则则其其测测度定度定义为义为：m(E)=m(a,b)=b-a.(2)设设E为为平面上有界平面上
2、有界闭闭区域区域D,则则其其测测度定度定义为义为:m(E)=SD(4)若若E=，则则定定义义m(E)=m()=0(3)设设E为为空空间间上有界上有界闭闭区域区域,则则其其测测度定度定义为义为:m(E)=V (6)若若E为为一随机事件，一随机事件，则则定定义义m(E)=P(E)(古典概率）古典概率）(5)若若E=x是是单单点集点集，则则定定义义m(E)=02.直直线线上非空上非空有界开集有界开集与与有界有界闭闭集集的的测测度度定义定义1 设设E R非空点集，非空点集，a R.(1)设设 0,称开区间称开区间(a ,a+)=O(a,)为为a 的的 邻域邻域。直线上包含直线上包含a的任一开区间的任一
3、开区间(,)均可称为点均可称为点a的的邻域邻域(2)设设a E,若存在若存在a的一个邻域的一个邻域(,),使得使得(,)E，则称，则称a是是E的的内点内点；定义定义2 设设E R非空点集非空点集.如果如果E中的所有点都是内点，则称中的所有点都是内点，则称E是是开集开集；定义定义3 设设G是直线是直线R上的一个有界开集。如果开区间上的一个有界开集。如果开区间(,)满足条件满足条件:1)(,)G 2)G,G则称则称(,)为开集为开集G 的一个的一个构成区间构成区间定定义义4 设设G为为直直线线R上的有界开集上的有界开集(即即(a,b)G),(ai,bi)(i I)为为G的构成区的构成区间间，则则定
4、定义义 m(G)=(biai)(0m(G)0,x0 则则称称 为为A的的上确界上确界,记记作：作：（2）如果存在一个）如果存在一个实实数数 ，满满足：足：1）x A，有，有x ；（2）0,x0 +,则则称称 为为A的的下确界下确界,记记作：作：注注注注:如果如果a为为数集数集A的上（下）确界，的上（下）确界，则则存在数列存在数列xn A,使得使得 定理定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。3.直直线线上上一般有界点集一般有界点集的勒的勒贝贝格（格（Lebesgue)测测度度3.直直线线上上一般有界点集一般有界点集的勒的
5、勒贝贝格（格（Lebesgue)测测度度定定义义7 设设E R为为任一有界集任一有界集.(1)称一切包含称一切包含E的有界开集的的有界开集的测测度的下确界度的下确界为为E的的L外外测测度度，记为记为m*(E),即即m*(E)=inf m(G)|G为为有界开集有界开集,E G(2)称一切包含于称一切包含于E的有界集的的有界集的测测度的上确界度的上确界为为E的的L内内测测度度，记为记为m(E),即即m(E)=supm(F)|F为为有界有界闭闭集集,F E(3)如果如果m(E)=m(E),则则称称E的内的内测测度与外度与外测测度的共同度的共同值为值为E的的L测测度度，记为记为m(E),即即这时这时,
6、也称也称E是是勒勒贝贝格可格可测测集集(简简称称L可可测测集集)m(E)=m*(E)=m(E)注注:1)对对于有界开集于有界开集G,有有m(G)=m*(G)2)对对于有界于有界闭闭集集F,有有m(F)=m(F)3)对对于任一非空有界集于任一非空有界集E,有有m(E)m*(E)(根据定根据定义义)定理定理3 设设X=(a,b)是基本集是基本集(有界有界),E,Ei X(i=1,2,)均均为为有界可有界可测测集集,则则有有EC=X-E、E1 E2、E1 E2、E1-E2、Ei、Ei均可均可测测，且，且1)m(E)0,且且E=时时,m(E)=0 (非非负负性性)3)m(E1 E2)m(E1)+m(E
7、2)(次可加性次可加性)2)若若E1 E2,则则 m(E1)m(E2)(单调单调性性)m(E2E1)=m(E2)-m(E1)4.可可可可测测集的性集的性质质4)若若E1 E2=,则则m(E1 E2)=m(E1)+m(E2)(有限可加性有限可加性)5)若若Ei Ej=(i j,i,j=1,2,),则则m(Ei)=m(Ei)(可列可加性可列可加性)1)若若E1 E2 Ek,则则E=Ek可可测测,m(E)=lim m(Ek)定理定理4 设设X=(a,b)是基本集是基本集,Ek是是X上的可上的可测测集列。集列。2)若若E1 E2 Ek,则则E=Ek可可测测,m(E)=lim m(Ek)定理定理5 设设
8、E R有界有界,则则E 可可测测存在开集存在开集G和和闭闭集集F,使使 F E G,且且m(G-F)0,开集开集G和和闭闭集集F,使使F E G,且且m(G-F)0,开集开集G E 和和闭闭集集F E,使使m(F)m(E)m(E)m(G)m(E)-m(E)m(G)-m(F)0,有界集有界集(-x,x)E可可测测,则则称称E是可是可测测的的.并并记记注注:1)无界点集的无界点集的测测度可能是有限度可能是有限值值,也可能是无也可能是无穷穷大大.例如例如,有理数集有理数集Q是无界的零是无界的零测测集集,E=(0,+)是是测测度度为为+的可的可测测集集.2)对对于无界集于无界集,上述定理上述定理3的的
9、结论结论也成立也成立.2）L可可测测集集类类与波与波赖赖尔尔(Borel)集集定定义义5 (1)R中所有中所有L可可测测集构成的集合称集构成的集合称为为L可可测测集集类类.(2)对对R中的开集和并集中的开集和并集进进行至多可列次的交、并、差运算所得到行至多可列次的交、并、差运算所得到的集合称的集合称为为波波赖赖尔尔(Borel)集集.所有所有波波赖赖尔尔(Borel)集都是集都是L可可测测集集.注：注：大多数集合都是大多数集合都是L可可测测集，但集，但L不可不可测测集确集确实实存在存在.二、点集上的勒二、点集上的勒贝贝格可格可测测函数函数1.可可测测函数的定函数的定义义定定义义6 设设E R为
10、为任一可任一可测测集（有界或集（有界或无界）无界）,f(x)为为定定义义在在E上的上的实值实值函数函数.若若 R,E的子集的子集 E(f )=x|f(x),x E都是都是L有限可有限可测测集集,则则称称f(x)是是E上的上的L可可测测函数函数 E(f )=x1,x2 x3,bE(f )=x4,x5xof(x)abx1x2x3x4x52.函数可函数可测测的充分必要条件的充分必要条件定理定理4 f(x)在可在可测测集集E上的可上的可测测函数，即函数，即E(f )可可测测,R,E(f)=x|f(x),x E可可测测 R,E(f=)=x|f(x)=,x E可可测测R,E(f)=x|f(x)=x|f(x
11、),x E可可测测 证证:(1)E(f)=E(f)-E(f)可可测测 E(f)=E(f)(4)E(f)=f)=E(f+1/n),E(f)=E(f 1/n)例例5 定定义义在在R上上连续连续函数都是函数都是L可可测测函数函数.f(x)连续连续x0 E(f)R,f(x)f(x0)(xx0)O(x0,),使使 x O(x0,),有有f(x)，即，即x E(f)(极限保号性）极限保号性）证证：x0 E(f)f(x0)(只要只要证证明明R,集集E(f)是开集是开集,则则它一定是可它一定是可测测集集)f(x)是可是可测测函数函数O(x0,)E(f)x0 是是E(f)的内点，的内点，E(f)是开集是开集E(
12、f)是可是可测测集集例例6 区区间间0,1上的狄里克来函数上的狄里克来函数D(x)是是L可可测测函数函数.证证:D(x)=1,x为为0,1中的有理数中的有理数0,x为为0,1中的无理数中的无理数当当 1时时,E(D)=是可是可测测集集,当当0时时,E(D)=0,1是可是可测测集集.因此因此,D(x)是是L可可测测函数函数当当0)=x|x为为0,1中的有理数中的有理数是可是可测测集集,例例7 定定义义在零在零测测集集E上的任何函数上的任何函数f(x)都是都是L可可测测函数函数.证证:R,E(f)=x|f(x),x E E f(x)是可是可测测函数函数m(E(f)=0m(E(f)m(E)=0E(f
13、)也是零也是零测测集集例例8 集集E的特征的特征函数函数 E(x)是是R上的可上的可测测函数函数.证证:E(x)=1,x E0,x E定理定理6 f(x)、g(x)是是E上的上的可可测测函数函数 kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x)0)、及及 f(x)都都E上的可上的可测测函数函数当当 1时时,E(E)=是可是可测测集集,当当0时时,E(E)=R是可是可测测集集当当00,x E,N=N(),当当nN时时,有有 fn(x)-f(x)0,x E,N=N(x,),当当nN时时,有有 fn(x)-f(x)N时时,曲曲线线列列fn(x)的的图图形都在曲形都在曲线线
14、 f(x)的的 带带形形邻邻域内域内.f(x)fn(x)oxyab fn(x)f(x)(n)fn(x)=xnoxyx11x2n=1n=2n=10n=20 x(0,1)时时,fn(x)=xn0(n)fn(x)=xn 0(n)N既与既与 有关有关,又与又与x有关有关,要使曲要使曲线线fn(x)=xn上的上的对应对应点落到极限函数点落到极限函数f(x)=0的的 带带形形邻邻域内域内,在在x1处处,只要只要 n 2即可即可,而在而在x2处处,则则要要n 10才行才行3)fn(x)一致收一致收敛敛于于f(x)fn(x)一一处处敛处处敛于于f(x),反之不然。例如反之不然。例如在点集在点集E上上,函数列函
15、数列fn(x)一致收一致收敛敛于于f(x)例例 证证明函数列明函数列在在E=0.1上一致收上一致收敛敛于于0.证证:定理定理6(柯西定理柯西定理)x E,fn(x)是基本列是基本列。0,x E,N=N(),当当m,nN时时,有有 fm(x)-fn(x)0,lim m(Ex fn(x)-f(x)=0fn(x)在集在集E上上依依测测度收度收敛敛于于f(x)0,0,N,当当nN时时,有有m(E(fn(x)-f(x)0,可可测测子集子集E E,使使m(E-E),且且fn(x)在在E 上一致收上一致收敛敛于于f(x),则则称称fn(x)在在E上上近一近一致收致收敛敛于于f(x).m记记作作 fn(x)f
16、(x)定理定理10 设设fn(x)是可是可测测集集E上的几乎上的几乎处处处处有限的可有限的可测测函数列函数列,f(x)是定是定义义在在E上上的几乎的几乎处处处处有限的可有限的可测测函数函数,且且lim fn(x)=f(x)(a.e.),则则定理定理11 (Riesz定理定理)设设m(E),则则 fn(x)在在E上依上依测测度收度收敛敛于于f(x)子列子列fnk(x)fn(x),使使fnk(x)f(x)(a.e.)(k)(2)fn(x)在在E上依上依测测度收度收敛敛于于f(x).(勒勒贝贝格定理格定理)(1)fn(x)在在E上近一致收上近一致收敛敛于于f(x).(叶果洛夫定理叶果洛夫定理)fn(x)几乎几乎处处处处收收敛敛于于f(x)fn(x)近一致收近一致收敛敛于于f(x)fn(x)依依测测度收度收敛敛于于f(x)fn(x)中存在几乎中存在几乎处处处处收收敛敛于于f(x)的子列的子列fnk(x)fn(x)处处处处收收敛敛于于f(x)fn(x)一致收一致收敛敛于于f(x)4 函数列的各种收函数列的各种收敛敛之之间间的关系的关系