可测函数收敛性.ppt

上传人:石*** 文档编号:50956133 上传时间:2022-10-17 格式:PPT 页数:17 大小:962KB
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1、关于可测函数的收敛性第一张,PPT共十七页,创作于2022年6月函数列的几种收敛定义函数列的几种收敛定义一致收敛:注:近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛:记作第二张,PPT共十七页,创作于2022年6月1-例:函数列fn(x)=xn ,n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛,但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn第三张,PPT共十七页,创作于2022年6月几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作 (almost everywhere(almost everywhe

2、re)即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)第四张,PPT共十七页,创作于2022年6月依测度收敛依测度收敛:记作记作注:从定义可看出,l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零测度集外)l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛,其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零,而不论点集的位置状态如何第五张,PPT共十七页,创作于2022年6月不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛第六张,PPT共十七页,创作于2022年6月几种收敛的区别几种收敛的区别说明:当n

3、越大,取1的点越多,故fn(x)在R+上处处收敛于1(1 1)处处收敛但不依测度收敛)处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(x)=1,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1,另外f fn n 不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于1 1第七张,PPT共十七页,创作于2022年6月f fn n不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于f f几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛即:去掉 测度集,在留下的集合上仍不一致收敛任意 ()适当小小第八张,PPT共十七页,创作于2022年6月fn不几乎一致收敛于f即:去掉任意小(适当小)测

4、度集,在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n第九张,PPT共十七页,创作于2022年6月(2 2)依测度收敛但处处不收敛)依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8第十张,PPT共十七页,创作于2022年6月依测度收敛但处处不收敛依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1,n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明:对任何x(0,1,fn(x)有两个子列,一个恒为1,一个恒为0,所以fn(x)在(0,1上处处不收敛;第十一张,PPT共十

5、七页,创作于2022年6月例:函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛,但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系(收敛的联系(叶果洛夫定理的引入叶果洛夫定理的引入)1-fn(x)=xn第十二张,PPT共十七页,创作于2022年6月三种收敛的联系三种收敛的联系即:去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理)设mE+,fn,f在E上几乎处处有限且可测,(即:可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛)即:去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛第十三张,PPT共十七页,创作于2022年6月第十四张,PPT共十七页,创作于2022年6月引理:设mE+,fn,f在E上几乎处处有限且可测,证明:由于 为零测度集,故不妨令 fn,f在E上处处有限,从而有:关于N单调减小第十五张,PPT共十七页,创作于2022年6月几乎处处收敛与依测度收敛几乎处处收敛与依测度收敛(LebesgueLebesgue定理)定理)设mE+,fn,f在E上几乎处处有限且可测,第十六张,PPT共十七页,创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第十七张,PPT共十七页,创作于2022年6月2022/10/17

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