《人口增长模型.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人口增长模型.pptx（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、人口增长模型人口增长模型背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律控制人口过快增长第1页/共24页l l问题提出 马尔萨斯（马尔萨斯（MalthusMalthus）人口增长模型或指数增长模人口增长模型或指数增长模型型.第2页/共24页l l模型假设1.1.时刻时刻t t的人口函数是连续可微的的人口函数是
2、连续可微的.2.2.人口的增长率是常数人口的增长率是常数.3.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和的增减只取决于人口中个体的生育和死亡死亡.第3页/共24页l l模型建立 设设t t时刻的人口数为时刻的人口数为x(t),x(t),增长率为增长率为r r（常数）（常数）.依平衡原理，在时间段依平衡原理，在时间段t t内，有内，有 人口增长数人口增长数=出生人口数出生人口数 -死亡人口数死亡人口数 +迁入人口数迁入人口数 -迁出人口数迁出人口数第4页/共24页 由假设由假设由假设由假设3 3，上式后两项忽略，上式后两项忽略，上式后
3、两项忽略，上式后两项忽略.于是于是于是于是人口增长数=出生人口数 -死亡人口数 （5.1）第5页/共24页 又出生或死亡人口数均依赖于两又出生或死亡人口数均依赖于两又出生或死亡人口数均依赖于两又出生或死亡人口数均依赖于两个因素：个因素：个因素：个因素：（1 1）时间间隔）时间间隔）时间间隔）时间间隔t的长短的长短的长短的长短.（2 2）时间间隔开始时的人口总数）时间间隔开始时的人口总数）时间间隔开始时的人口总数）时间间隔开始时的人口总数x(t),x(t),且均为正比例关系，即且均为正比例关系，即且均为正比例关系，即且均为正比例关系，即 t间隔内的出生人数间隔内的出生人数间隔内的出生人数间隔内的
4、出生人数=k1x(t)tt间隔内的死亡人数间隔内的死亡人数间隔内的死亡人数间隔内的死亡人数=k2x(t)t其中其中k1，k2分别为出生率和死亡率分别为出生率和死亡率.第6页/共24页 代入（代入（代入（代入（5.15.15.15.1）式，得到）式，得到）式，得到）式，得到t间间间间隔内人口的增量为隔内人口的增量为隔内人口的增量为隔内人口的增量为 x(t+x(t+t)-x(t)=(k)-x(t)=(k1 1-k-k2 2)x(t)x(t)t或或第7页/共24页令令t0 ，得，得按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数为x0，便构成一个初值问题第8页/共24页l模型求解x(t)=x0ert (5.
5、2)第9页/共24页l l模型分析、评价与检验模型分析、评价与检验 19611961年世界人口总数为年世界人口总数为3.06103.06109 9，在，在1961197019611970年这段时间内，每年平均的年这段时间内，每年平均的人口增长率为人口增长率为2%2%，代入（，代入（5.25.2）式，得）式，得x(t)=x(t)=3.06103.06109 9e e0.02(0.02(t t-1961)-1961)(5.3)(5.3)当当t=2670t=2670时，时，x=4.410 x=4.4101515,即达到即达到44004400万亿人，这相当于地球上每平万亿人，这相当于地球上每平方米至少
6、要容纳方米至少要容纳8 8个人个人.第10页/共24页l l模型假设1.1.时刻时刻t t的人口函数是连续可微的的人口函数是连续可微的.2.2.人口的增长率是常数人口的增长率是常数.3.3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和的增减只取决于人口中个体的生育和死亡死亡.第11页/共24页l l模型修改与重建模型修改与重建模型修改与重建模型修改与重建1.1.将增长率将增长率将增长率将增长率r r表示为人口表示为人口表示为人口表示为人口x x的函数的函数的函数的函数r(x)r(x)，按，按，按，按前面的分析，前面的分析，前面的分析，前面
7、的分析，r(x)r(x)应为应为应为应为x x的减函数的减函数的减函数的减函数.假定假定假定假定其为其为其为其为x x的线性函数的线性函数的线性函数的线性函数 r(x)=r-sxr(x)=r-sx其中其中其中其中r,s0r,s0，这里，这里，这里，这里r r相当于相当于相当于相当于x x=0=0时的增长率，时的增长率，时的增长率，时的增长率，称为固有增长率称为固有增长率称为固有增长率称为固有增长率.显然，对任意的显然，对任意的显然，对任意的显然，对任意的x0,r(x)0,r(x)r.第12页/共24页2.2.设定自然资源和环境条件等因素设定自然资源和环境条件等因素设定自然资源和环境条件等因素设
8、定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为所能容纳的最大人口数量为所能容纳的最大人口数量为所能容纳的最大人口数量为x xmm（也称最大人口容量）（也称最大人口容量）（也称最大人口容量）（也称最大人口容量）.()故 （5.4）第13页/共24页其中常数 r，xm要根据人口统计数据确定.第14页/共24页3.3.将指数模型中将指数模型中将指数模型中将指数模型中r r的换为（的换为（的换为（的换为（5.45.4）式便）式便）式便）式便得到新模型得到新模型得到新模型得到新模型(5.5)称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克（Logistic）人口增长模型.第15页/共24页用可分离变量方程的解法可得其用
9、可分离变量方程的解法可得其用可分离变量方程的解法可得其用可分离变量方程的解法可得其解解解解为为为为（5.6）第16页/共24页4.4.模型解的再分析与检验模型解的再分析与检验模型解的再分析与检验模型解的再分析与检验 对（对（对（对（5.65.6）式求二阶导数可得）式求二阶导数可得）式求二阶导数可得）式求二阶导数可得（5.7）由此，分析人口总数x(t)的变化规律:第17页/共24页人口总数人口总数x(t)的变化规律的变化规律:dx/dtx0 xm/2xm第18页/共24页x(t)S形曲线,x增加先快后慢txmx0 x0 xm/2第19页/共24页 （1 1）,即无论人口初即无论人口初即无论人口初
10、即无论人口初值如何，人口总数均以值如何，人口总数均以值如何，人口总数均以值如何，人口总数均以x xmm为为为为极限，极限，极限，极限，其中其中其中其中x=xx=xmm是图形是图形是图形是图形x(t)x(t)的水平渐进线的水平渐进线的水平渐进线的水平渐进线.（2 2）当）当）当）当0 xx 0 xx 时，时，时，时，x(t)x(t)是单调增加的是单调增加的是单调增加的是单调增加的.第20页/共24页又由（又由（又由（又由（5.75.7）式知，当）式知，当）式知，当）式知，当 时，时，时，时，;当当当当 时，时，时，时，即即即即 是是是是 x(t)x(t)图形的拐点图形的拐点图形的拐点图形的拐点.人口变化率函数人口变化率函数人口变化率函数人口变化率函数 在在在在 处取处取处取处取到最大值到最大值到最大值到最大值.第21页/共24页（3 3）x xm m要根据人口统计资料以及自要根据人口统计资料以及自然环境等因素来确定，因而当条件然环境等因素来确定，因而当条件改变时，改变时，x xm m也将随之改变也将随之改变.第22页/共24页小结小结l l利用平衡原理建立了人口增长模利用平衡原理建立了人口增长模型型l l按照五步建模法全过程展现了数按照五步建模法全过程展现了数学建模的基本步骤学建模的基本步骤第23页/共24页感谢您的观看。第24页/共24页