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1、人口增长模型篇一：数学建模 logistic 人口增长模型Logistic 人口发展模型一、题目描述建立 Logistic 人口阻滞增长模型，利用表 1 中的数据分别根据从 1954 年、1963 年、1980年到 2005 年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来 50 年的人口情况.并把预测结果与国家人口发展战略研究报告中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。表 1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模
2、型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。若将 r 表示为 x 的函数 r(x)。则它应是减函数。于是有：dx?r(x)x,x(0)?x0dt对 r(x)的一个最简单的假定是，设 r(x)为 x 的线性函数，即r(x)?r?sx（1）(r?0,s?0)（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量长率xm，当 x?xm 时人口不再增长，即增r(xm)?0，代入（2）式得s?rxm，于是（2）式为x)xm（3）r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：x?dx?rx(1?)xm?dt?x(0)?x0?解得：（4）x(t)
3、?1?(xmxm?1)e?rtx0（5）三、模型求解用 Matlab 求解，程序如下：t=1954:1:2005;x=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,121.121,12
4、2.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756;x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,108,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,
5、119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988;,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.7
6、86,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756;dx=(x2-x1)./x2;a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出 xm 和 rx0=61.5;f=inline(xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954),t,xm,r,x0);%定义函数plot(t,f(t,xm,r,x0),-r,t,x,+b);title(1954-2005 年实际人口与理论值的比较)x2010=f(2010,xm,r,x0)x2020=f(2020,xm,r,x0)x2033=f(2033,xm,r,x0
7、)得到 1954-2005 实际人口与理论值的结果：根据国家人口发展战略研究报告 我国人口在未来 30 年还将净增 2 亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率 2.0），我国的人口峰值在 2045 年将达到 16 亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和生育工作加强，20 世纪 90 年代中后期，总和生育率已降到 1.8 左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均 GDP 达到 3000 美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在 1.8 左右。按此预测，总人口将于 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右（见图 1
8、）。劳动年龄人口规模庞大。我国 15-64 岁的劳动年龄人口 2000年为 8.6 亿人，2016 年将达到高峰 10.1 亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。而据模型求解：59（千万）专家预测16 亿误差为 4.1%五、预测1.1954-2005 总人口数据建立模型：2010 年人口：x(2010)=137.0200（千万）专家预测 13.6 亿误差为 0.7%2020 年人口：x(2020)=146.9839（千万）专家预测 14.5 亿误差为 1.3
9、%2033 年人口：x(2033)=157.2143（千万）专家预测15 亿误差为 4.8%2045 年人口：x(2045)=164.6959（千万）专家预测16 亿误差为 4.1%2.1963-2005 总人口数据建立模型：r=0.0493xm=150.52612010 年人口：x(2010)=134.1612（千万）专家预测 13.6 亿误差为 1.4%2020 年人口：x(2020)=140.0873（千万）专家预测 14.5 亿误差为3.4%2033 年人口：x(2033)=144.8390（千万）专家预测15 亿误差为 3.4%2045 年人口：x(2045)=147.3240（千万
10、）专家预测16 亿误差为 7.6%3.1980-2005 总人口数据建立模型：2010 年人口：x(2010)=135.2885（千万）专家预测 13.6 亿误差为 0.5%2020 年人口：x(2020)=142.1083（千万）专家预测 14.5 亿误差为 2.0%2033 年人口：x(2033)=147.9815（千万）专家预测15 亿误差为 1.3%2045 年人口：x(2045)=151.3011（千万）专家预测16 亿误差为 5.4%总体来看，1980-2005 这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史原因来分析：1954 年之后的 1959
11、-1961 年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。1960 年之后为过渡时期。1983 年之后开始实施“计划生育政策”，一直至今，所以 1980-2005 年间的数据与预测分析最好。篇二：人口增长模型Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率 r 的影响上，使得 r 随着人口数量 x 的增加而下降。若将 r 表示为 x 的函数 r(x)。则它应是减函数。于是有：dx?r(x)x,x(0)?x0dt（1）对 r(x)的一
12、个最简单的假定是，设 r(x)为 x 的线性函数，即r(x)?r?sx(r?0,s?0)（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 xm，当 x?xm 时人口不再增长，即r增长率 r(xm)?0，代入（2）式得 s?，于是（2）式为xmr(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：x?dx?rx(1?)?dtxm?x(0)?x0 x)xm（3）（4）解方程（4）可得：x(t)?xmx1?(m?1)e?rtx0（5）二、模型的建立我国从 1954 年到 2005 年全国总人口的数据如表 11、将 1954 年看成初始时刻即 t?0，则 1955 为 t?1，以次类推，以 2005 年为 t?
13、51 作为终时刻。用函数（5）对表 1 中的数据进行非线性拟合，运用 Matlab 编程得到相关的参数 xm?180.9871,r?-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：5R2?1?(yi?15i?1i?i)2?y959i?(y?)2由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：180.9871（6）根据曲线（6）我们可以对 2010 年（t?56）、2020 年（t?66）、及 2033 年（t?79）进行预测得（单位：千万）：结果分析：从所给信息可知从 1951 年至 1958 年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模
14、“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。1959、1960、1961 年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962 年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。总的来说 1951-1962 年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，程序：x(t)?结果：2、将 1963 年看成初始时刻即 t?0，以 2005 年为 t?32 作为终时刻。运用 Matlab 编程得到相关的参数 xm?151.4513 可以算出可决系数 R2?0.9994 得到中国,r?0.0484，各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：（7）根据曲线（7）我们可以对 201
15、0 年（t?47）、2020 年（t?57）、及 2033 年（t?70）进行预测得（单位：千万）：结果分析：1963 年-1979 年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005 年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。程序：x(t)?结果：3、从 1980-2005 年，国家计划生育政策逐渐得
16、到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择 1980 年作为初始年份 2005 年作为终时刻进行拟合。运用 Matlab 编程得到相关的参数xm?153.5351 可以算出可决系数 R2?0.9987 得到中国各年,r?0.0477，份人口变化趋势的第三条拟合曲线：（8）根据曲线（7）我们可以对 2010 年（t?30）、2结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。所以结果应是比较可信的。程序：x(t)?结果
17、：篇三：人口增长模型人口增长模型摘要本文主要根据某地区的人口统计数据，通过合理的假设 和严密的分析来建立模型，和估计该地区 2010 年的人口数量，并对其做出相应的分析。百万。但实际上人口增长率是不断地变化着的，即人口增长率不可能是一个常数，所以我们建立的线性增长模型和指数增长模型都比较粗糙，不能描述和预测较长时间人口变化过程。而且从该地区历年的人口数据描述图可看出，从 1980 年开始，该地区的人口增长明显变慢，即人口增长受到一定的阻滞，所以为了更好地符合实际情况，以及更好地预报出长期的人口数，我们再建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出 2010 年的人口预报数为 295.368 百万
18、。关键字人口预报，线性增长模型，指数增长模型，阻滞增长模型（Logistic 模型）问题重述根据某地区人口从 1800 年到 2000 年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区 2010年的人口（单位：百万），同时画出拟合效果的图形。模型假设1、该地区历年的人口统计记录数据准确无误；2、在模型一、二中，假设人口增长率不变，是一个常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比。；符号说明x(t)t 时刻的人口数量x0初始时刻的人口数量r 人口增长率xm环境所能容纳的最大人口数量，即 r(xm)?0模型分析首先，我们运用 Matlab 软件编程（见附件 1），把 1800 年到 2000
19、年的人口数据通过绘图描点如下图图 1 1800 年到 2000 年的人口数据图从图我们可以看出 1800 年到 2000 年的人口数是呈现增长的趋势的，而且图像呈现类似线性函数和指数函数，于是我们猜测人口增长随时间的变化规律为线性函数或指数函数，所以我们分别用两种函数建立线性增长模型和指数增长模型，用最小二乘法对数据进行拟合，确定其中的未知参数。然而上述两种模型都是在假设人口增长率不变的前提下建立的，比较粗糙，但在现实生活中，我们知道人口增长率是不可能不固定不变的，也就是人口不可能无限增长，无限增长将会导致人口爆炸，而政府对这种情形不可能置之不理的，也就是说政府对人口无限增长会采取相应的措施，
20、所以但人口增长到一定的程度下，人口增长率将会随人口的增长而呈线性递减，而且考虑到自然资源、环境条件等因素都会对人口增长起阻滞作用，并且随着人口增加，阻滞作用越来越大。因此，我们改进了模型，建立了阻滞增长模型。模型建立模型一：线性增长模型首先，我们假设满足线性关系x(t)?at?b，根据最小二乘法，a 和 b 是以下函数的最小值：E(a,b)?n?(ati?b?xi)2，其中 xi 是 ti 时刻该地区的人口数。i?1即有E?(a,b)?(a.1800?b?7.2)2?(a.1810?b?13.8)2?.?(a.2000?b?280.3)2?E?E?0,?0，可 解 得 a 和b。?a?b我们用
21、 Matlab 编程（见附件 2），解得 a=1.5，b=-2755.3 令故 x(t)?1.5t?然后用该方程对 1800 年到 2000 年的人口数据进行拟合，拟合的效果图如下：从上图可以看出拟合的效果不是很好，模型比较粗糙，所以我们有必要建立其他的模型进行预测。但对于后期的人口拟合得还是可以的，用这线性增长模型预报出 x(2010)?1.5*2010?2755.3?283.1148 百万。模型二：指数增长模型由于今年人口为 x0，k 年后人口为 xk，年增长率为 r，则有 xk?x0(1?r)k。则在 t 到 t+?t时间内的人口增量为 x(t?t)?x(t)?rx(t)?t上式两边同时
22、除以?t 得：x(t?t)?x(t)?rx(t)?t令?t?0，取极限得到 x(t)满足的微分方程为dx?rx(t)dt于是我们得到一个指数增长的人口模型为?dx?rx(t)?dt?x(0)?x0解这个方程得到x(t)?x0ert（2）然后，我们利用数据拟合（程序见附件 3），效果图 3 指数增长模型的拟合图注：*号为准确值，曲线为计算结果从图 3 可以看出，拟合效果还好，但到了后期时段时，该地区人口增长明显变慢，这个明显就不适合了，拟合效果就不那么好了，说明该地区的人口增长率时随着人口的增长而递减的，有一定的阻滞使人口增长得不如前那么快，此模型还是有点粗糙，所以我们要对模型进行进一步的改进。
23、用该地区的数据拟合（2）式，可解得 r=5.94e-007 年，x0=1e-006，然后)?374.789 百万。把它们代进模型，我们可算得 x(2010结果分析用此模型基本是上能够描述 1980 年以前的人口增长，但我们从指数增长模型的拟合图可以看出，此模型对 1980 年以后的数据就拟合得不是很好，从 1980 年后，该地区的人口增长明显变慢，所以用此模型对 2010 年的人口进行预报不是那么适合，结果存在一定的误差，从图 3 可以看出所得的结果并不准确，精度不高。模型三：阻滞增长模型随着人口的增加，人口的增长速度会降低，所以我们假设人口数的减函数为r(x)?r-sx人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数 xm，当 x?xm 时，增长率为 0，即有 r?sxm?0由上面的关系式可得出：?x?r(x)?r?1?x?（3）m?把(3)式代进指数增长模型的微分方程中可以得到：?dx?x?r1?x?dt?xm?x(0)?x0?解得x(t)?xm?xm?rt?1?1?x?e?0?（4）把 x(1800)?7.2 代进(4)式得x(t)?xm?10 xm?1?1?e?r(t?1800)?132?