人口增长模型精选.doc

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1、人口增长模型 篇一：数学建模logistic人口增长模型 Logistic人口开展模型 一、标题描绘 建立Logistic人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别按照从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进展预测我国今后50年的人口情况.并把预测结果与国家人口开展战略研究报告中提供的预测值进展分析比较。分析那个时间段数据预测 的效果好?并结合中国实情分析缘故。表1各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等要素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的根本假设进展修

2、正后得到的。阻滞作用表达在对人口增长率r的阻碍上，使得r随着人口数量x的增加而下降。假设将r表示为x的函数r(x)。那么它应是减函数。因此有： dx ?r(x)x,x(0)?x0 dt 对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即 r(x)?r?sx （1） (r?0,s?0) （2） 设自然资源和环境条件所能包容的最大人口数量长率 xm，当x?xm时人口不再增长，即增 r(xm)?0，代入（2）式得 s? r xm，因此（2）式为 x)xm （3） r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得：x?dx ?rx(1?) xm?dt ?x(0)?x0 ? 解得： （4） x(t)

3、? 1?( xmxm ?1)e?rtx0 （5） 三、模型求解 用Matlab求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,121.

4、121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756; x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,108,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,1

5、18.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988;,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.76

6、1,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm和r x0=61.5; f=inline(xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954),t,xm,r,x0);%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),-r,t,x,+b); title(1954-2005年实际人口与理论值的比较) x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f

7、(2033,xm,r,x0) 得到1954-2005实际人口与理论值的结果： 按照国家人口开展战略研究报告 我国人口在今后30年还将净增2亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率2.0），我国的人口峰值在2045年将到达16亿人。按照本课题专家研究，随着我国经济社会开展和生育工作加强，20世纪90年代中后期，总和生育率已降到1.8左右，并稳定至今。实现全面建立小康社会人均GDP到达3000美元的目的，要求把总和生育率接着稳定在1.8左右。 按此预测，总人口将于2010年、2020年分别到达13.6亿人和14.5亿人，2033年前后到达峰值15亿人左右（见图1）。劳动年龄人口规模庞大。我国15

8、-64岁的劳动年龄人口2000年为8.6亿人，2016年将到达顶峰10.1亿人，比兴隆国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素养、技能等要素，劳动力构造性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。 而据模型求解：59（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1% 五、预测 1. 1954-2005总人口数据建立模型： 2010年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.7% 2020年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测14.5亿 误差为1.3% 2033年人口：x(2033)= 15

9、7.2143（千万） 专家预测 15亿 误差为4.8% 2045年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16亿 误差为4.1% 2. 1963-2005总人口数据建立模型： r=0.0493 xm=150.5261 2010年人口：x(2010)= 134.1612（千万） 专家预测13.6亿 误差为1.4% 2020年人口：x(2020)= 140.0873（千万） 专家预测14.5亿 误差为 3.4%2033年人口：x(2033)= 144.8390（千万） 专家预测 15亿 误差为3.4% 2045年人口：x(2045)= 147.3240（千万） 专家预测 16亿

10、 误差为7.6% 3.1980-2005总人口数据建立模型： 2010年人口：x(2010)= 135.2885（千万） 专家预测13.6亿 误差为0.5% 2020年人口：x(2020)= 142.1083（千万） 专家预测14.5亿 误差为2.0% 2033年人口：x(2033)= 147.9815（千万） 专家预测 15亿 误差为1.3% 2045年人口：x(2045)= 151.3011（千万） 专家预测 16亿 误差为5.4% 总体来看，1980-2005这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史缘故来分析：1954年之后的1959-1961年间

11、，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与可能有所偏颇。1960年之后为过渡时期。1983年之后开始施行“打算生育政策”，不断至今，因此1980-2005年间的数据与预测分析最好。 篇二：人口增长模型 Logistic人口阻滞增长模型 一、模型的预备 阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等要素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的根本假设进展修正后得到的。阻滞作用表达在对人口增长率r的阻碍上，使得r随着人口数量x的增加而下降。假设将r表示为x的函数r(x)。那么它应是减函数。因此有： dx ?r(x)x,x(0)?x0dt （1） 对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为

12、x的线性函数，即 r(x)?r?sx (r?0,s?0) （2） 设自然资源和环境条件所能包容的最大人口数量xm，当x?xm时人口不再增长，即 r 增长率r(xm)?0，代入（2）式得s?，因此（2）式为 xm r(x)?r(1?将（3）代入方程（1）得： x?dx ?rx(1?) ?dtxm ?x(0)?x0 x )xm （3） （4） 解方程（4）可得： x(t)? xm x 1?(m?1)e?rt x0 （5） 二、模型的建立 我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1 1、将1954年看成初始时刻即t?0，那么1955为t?1，以次类推，以2005年为t?51作为终时刻。用函数

13、（5）对表1中的数据进展非线性拟合，运用Matlab编程得到相关的参数xm? 180.9871,r?-0.0336，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）： 5 R2?1? ?(y i?1 5i?1 i ?i)2?y959 i ?(y ?)2 由可决系数来看拟合的效果比较理想。因此得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲 线： 180.9871 （6） 按照曲线（6）我们可以对2010年（t?56）、2020年（t?66）、及2033年（t?79） 进展预测得（单位：千万）： 结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口顶峰，构成了中国人口规模“由缓到快”的

14、增长根底；因此这段时期人口波动较大，可能阻碍模型结果的准确性。1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长遭到特别大阻碍，1962年处于这种阻碍的滞后期，人口的增长也遭到特别大阻碍。总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布， 程序： x(t)? 结果：2、 将1963年看成初始时刻即t?0，以2005年为t?32作为终时刻。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 151.4513可以算出可决系数R2?0.9994得到中国,r? 0.0484，各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： （7） 按照曲线（7）我们可以对2010年（t?47）、2020年（

15、t?57）、及2033年（t?70） 进展预测得（单位：千万）： 结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长根本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是如此，城市遭到收入的阻碍，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰要素根本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，尽管人口的增长遭到国家打算生育政策的操纵，但打算生育的政策是根本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。 程序： x(t)? 结果： 3、从1980-2005年，国家打算生育政策逐步得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长

16、遭到国家打算生育政策的操纵，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进展拟合。运用Matlab编程得到相关的参数xm? 153.5351可以算出可决系数R2?0.9987得到中国各年,r? 0.0477，份人口变化趋势的第三条拟合曲线： （8） 按照曲线（7）我们可以对2010年（t?30）、2 结果分析：这一时期，国家尽管对人口大增长进展了干预，但国家的打算生育的政策是根本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，因此人口增长的随机误差应服从正态分布。因此结果应是比较可信的。 程序： x(t)? 结果： 篇三：人口增长模型 人口增长模型 摘要

17、 本文主要按照某地区的人口统计数据，通过合理的假设 和严密的分析来建立模型，和可能该地区2010年的人口数量，并对其做出相应的分析。百万。 但实际上人口增长率是不断地变化着的，即人口增长率不可能是一个常数，因此我们建立的线性增长模型和指数增长模型都比较粗糙，不能描绘和预测较长时间人口变化过程。而且从该地区历年的人口数据描绘图可看出，从1980年开始，该地区的人口增长明显变慢，即人口增长遭到一定的阻滞，因此为了更好地符合实际情况，以及更好地预告出长期的人口数，我们再建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预告数为295.368百万。 关键字 人口预告，线性增长模型，指数增长模型

18、，阻滞增长模型（Logistic模型） 征询题重述 按照某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型可能出该地区2010年的人口 （单位：百万），同时画出拟合效果的图形。 模型假设 1、该地区历年的人口统计记录数据准确无误；2、在模型一、二中，假设人口增长率不变，是一个常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比。； 符号说明 x(t) t时刻的人口数量 x0 初始时刻的人口数量 r人口增长率 xm 环境所能包容的最大人口数量，即r(xm)?0 模型分析 首先，我们运用Matlab软件编程（见附件1），把1800年到2000年的人口数据通过绘图描点如以下图 图1 18

19、00年到2000年的人口数据图 从图我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且图像呈现类似线性函数和指数函数，因此我们猜测人口增长随时间的变化规律为线性函数或指数函数，因此我们分别用两种函数建立线性增长模型和指数增长模型，用最小二乘法对数据进展拟合，确定其中的未知参数。 然而上述两种模型都是在假设人口增长率不变的前提下建立的，比较粗糙，但在现实生活中，我们明白人口增长率是不可能不固定不变的，也确实是人口不可能无限增长，无限增长将会导致人口爆炸，而政府对这种情形不可能置之不理的，也确实是说政府对人口无限增长会采取相应的措施，因此但人口增长到一定的程度下，人口增长率将会随人

20、口的增长而呈线性递减，而且考虑到自然资源、环境条件等要素都会对人口增长起阻滞作用，同时随着人口增加，阻滞作用越来越大。因此，我们改良了模型，建立了阻滞增长模型。 模型建立 模型一：线性增长模型 首先，我们假设满足线性关系 x(t)?at?b ，按照最小二乘法，a和b是以下函数的最小值： E(a,b)?n?(ati?b?xi)2，其中xi是ti时刻该地区的人口数。 i?1 即有 E?(a,b)?(a.1800?b?7.2)2?(a.1810?b?13.8)2?.?(a.2000?b?280.3)2 ?E?E?0,?0，可解得a和b。 ?a?b 我们用Matlab编程（见附件2），解得a=1.5，

21、b=-2755.3 令 故 x(t)?1.5t? 然后用该方程对1800年到2000年的人口数据进展拟合，拟合的效果图如下： 从上图可以看出拟合的效果不是特别好，模型比较粗糙，因此我们有必要建立其他的模型进展预测。但关于后期的人口拟合得仍然可以的，用这线性增长模型预告出x(2010)?1.5*2010?2755.3?283.1148百万。 模型二：指数增长模型 由于今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，那么有xk?x0(1?r)k。 那么在t到t+?t时间内的人口增量为x(t?t)?x(t)?rx(t)?t 上式两边同时除以?t得： x(t?t)?x(t)?rx(t) ?t 令?t?

22、0，取极限得到x(t)满足的微分方程为 dx?rx(t) dt 因此我们得到一个指数增长的人口模型为 ?dx?rx(t) ?dt?x(0)?x0 解这个方程得到 x(t)?x0ert （2） 然后，我们利用数据拟合（程序见附件3），效果 图3 指数增长模型的拟合图注：*号为准确值，曲线为计算结果 从图3可以看出，拟合效果还好，但到了后期时段时，该地区人口增长明显变慢，这个明显就不适宜了，拟合效果就不那么好了，说明该地区的人口增长率时随着人口的增长而递减的，有一定的阻滞使人口增长得不如前那么快，此模型仍然有点粗糙，因此我们要对模型进展进一步的改良。 用该地区的数据拟合（2）式，可解得r =5.9

23、4e-007 年，x0=1e-006，然后 )?374.789百万。 把它们代进模型，我们可算得x(2010 结果分析 用此模型根本是上可以描绘1980年往常的人口增长，但我们从指数增长模型的拟合图可以看出，此模型对1980年以后的数据就拟合得不是特别好，从1980年后，该地区的人口增长明显变慢，因此用此模型对2010年的人口进展预告不是那么适宜，结果存在一定的误差，从图3可以看出所得的结果并不准确，精度不高。 模型三：阻滞增长模型 随着人口的增加，人口的增长速度会降低，因此我们假设人口数的减函数为 r(x)?r-sx 人口数量最终会到达饱和，且趋于一个常数xm，当x?xm时，增长率为0， 即有 r?sxm?0 由上面的关系式可得出： ?x?r(x)?r?1?x? （3） m? 把(3)式代进指数增长模型的微分方程中可以得到： ?dx?x?r1?x?dt?xm? ?x(0)?x0? 解得 x(t)?xm ?xm?rt?1?1?x?e?0? （4） 把x(1800)?7.2代进(4)式得 x(t)?xm ?10xm?1?1?e?r(t?1800) ?132?