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1、？救援点救援点救援点救援点投放点投放点投放点投放点 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处高处高处100m/s100m/s的速的速的速的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投
2、放时机呢？机呢？机呢？机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？投放物资？投放物资？投放物资？如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。因此因此因此因此,不易直接建立不易直接建立不易直接建立不易直接建立x,yx,y所满所满所满所满足的关系式。足的关系式。足的关系式。足的关系式。x x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y y表示物资距地面的高
3、度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，第1页/共24页xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1 1）沿）沿）沿）沿oxox作初速为作初速为作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2
4、2）沿）沿）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？什么关系？什么关系？什么关系？物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻物资出舱后，在时刻t t，水平位移为水平位移为水平位移为水平位移为x=100tx=100t，离地面，离地面，离地面，离地面高度高度高度高度y y，即：，即：，即：，即：y=500-gty=500-gt2 2/2/2，
5、物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得得得x10.10mx10.10m；即即即即500-gt500-gt2 2/2=0/2=0，解得，解得，解得，解得，t10.10st10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投米时投米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。第2页/共24页 在在t的取值范围内，给定的取值范围内，给定t
6、的一个值，的一个值，由可以唯一确定由可以唯一确定 x，y的的值，也就是说，当值，也就是说，当t确定时，点确定时，点M（x，y）的位）的位置就唯一确定了置就唯一确定了.由上所述，由上所述，可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放后的每一个时刻的位置，还可以确定物资投放的时机可以确定物资投放的时机.x=100t y=500-（1/2）gt2 x=100t y=500-（1/2）gt2第3页/共24页 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标坐标 x，y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数 那么这个方程组就叫做这条曲
7、线的那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系变数变数 x,y 的变数的变数 t 叫做叫做参变数，参变数，简称简称参数参数。并且对于并且对于 t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上，参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数x,yx,y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实
8、际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。.参数方程的概念参数方程的概念第4页/共24页例例例例1:1:已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 （为参数）为参数）为参数）为参数）(1)(1)判断点判断点判断点判断点MM1 1(0(0，1)1)，MM2 2(5(5，4)4)与曲线与曲
9、线与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系；的位置关系；的位置关系；(2)(2)已知点已知点已知点已知点MM3 3（6 6，a a）在曲线）在曲线）在曲线）在曲线C C上，求上，求上，求上，求a a的值。的值。的值。的值。解：解：解：解：(1)(1)把点把点把点把点MM1 1的坐标的坐标的坐标的坐标(0,1)(0,1)代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所，所，所，所以以以以MM1 1在曲线上在曲线上在曲线上在曲线上把点把点把点把点MM2 2的坐标的坐标的坐标的坐标(5,4)(5,4)代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到这个
10、方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点这个方程组无解，所以点MM2 2不在曲线不在曲线不在曲线不在曲线C C上上上上(2)(2)因为点因为点因为点因为点MM3 3(6,a)(6,a)在曲线在曲线在曲线在曲线C C上，所以上，所以上，所以上，所以解得解得解得解得t=2,a=9 t=2,a=9 所以，所以，所以，所以，a=9.a=9.第5页/共24页练习练习练习练习 1 1、曲线、曲线、曲线、曲线与与与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是()()B BA(1A(1，4)4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0)B(25/16,0
11、)C(1,-3)D(25/16,0)2 2、方程、方程、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是()()D DA(2A(2，7)7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)0)3已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 点点点点M(5,4)M(5,4)在该曲线上在该曲线上在该曲线上在该曲线上.(1)(1)求常数求常数求常数求常数a;a;由题意可知由题意可知由题意可知由题意可知:由由由由1+2t=51+2t=5，得得得
12、得t=2t=2；由由atat2 2=4=4；得；得；得；得a=1a=1，第6页/共24页y yx xo or rM(x,y)M(x,y)圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定圆周运动中，当物体绕定轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上轴作匀速转动时，物体上的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运的各个点都作匀速圆周运动，动，动，动，怎样刻画运动中点的位置呢？怎样刻画运动中点的位置呢？怎样刻画运动中点的位置呢？怎样刻画运动中点的位置呢？.圆的参数方程圆的参数方程设点设点设点设点MM从初始位置（从初始位置（时的位置）
13、出发，按逆时的位置）出发，按逆时针方向在圆时针方向在圆o上作匀速圆周运动，上作匀速圆周运动，点点点点MM绕绕点点点点o转动的转动的角速度为角速度为 即怎样表示圆上各点的坐标？即怎样表示圆上各点的坐标？即怎样表示圆上各点的坐标？即怎样表示圆上各点的坐标？显然，点显然，点显然，点显然，点MM的位置由时刻的位置由时刻唯一确定，因此可以取唯一确定，因此可以取为参数。为参数。第7页/共24页那么那么那么那么=t.=t.设设设设|OM|=r|OM|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有如果在时刻如果在时刻如果在时刻如果在时刻t t，点，点，点，
14、点MM转过的角度是转过的角度是转过的角度是转过的角度是，坐标是，坐标是，坐标是，坐标是M(x,y)M(x,y)，即即即即这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为，半径为，半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程参数参数参数参数 t t 有物理意义有物理意义有物理意义有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到考虑到考虑到考虑到=t=t，也可以取，也可以取，也可以取，也可以取 为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有第8页/共24页这就
15、是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点O O，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程.其中参数其中参数其中参数其中参数的几何意义是的几何意义是的几何意义是的几何意义是OMOM0 0绕点绕点绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，的位置时，的位置时，OMOM0 0转过的角度（转过的角度（转过的角度（转过的角度（半径半径半径半径OMOM的旋转角的旋转角的旋转角的旋转角）一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，
16、可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。圆心为圆心为圆心为圆心为 ，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程第9页/共24页例例2：如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周运作匀速圆周运动时，求点动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点
17、解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x,y),(x,y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(2cos(2cos,2sin,2sin).).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是轨迹是什么曲线？轨迹是什么曲线？第10页/共24页cos=x-3,sin=y;cos=x-3,sin=y;于是于是于是于是(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1，在例中，由参数方程在例中，由参数方程在例中，由参数方程在例中，
18、由参数方程直接判断点直接判断点直接判断点直接判断点MM的轨迹的曲线类型比较困难，但如果的轨迹的曲线类型比较困难，但如果的轨迹的曲线类型比较困难，但如果的轨迹的曲线类型比较困难，但如果把参数方程化为把参数方程化为把参数方程化为把参数方程化为普通方程就很清楚了。普通方程就很清楚了。普通方程就很清楚了。普通方程就很清楚了。一般地一般地一般地一般地,可以可以可以可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程通过消去参数而从参数方程得到普通方程通过消去参数而从参数方程得到普通方程通过消去参数而从参数方程得到普通方程；在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的
19、互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的保持一致，否则，互化就是不等价的保持一致，否则，互化就是不等价的保持一致，否则，互化就是不等价的.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的类型将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的类型将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的
20、类型将曲线的参数方程化为普通方程有利于识别曲线的类型.第11页/共24页 例、例、例、例、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？解解解解:(1)(1)由由由由得得得得代入代入代入代入得到得到得到得到这是这是这是这是以（以（以（以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以所以所以把把把把得到得到得到得到这是抛物线的一部分；这是抛物线的一部分；这是抛物线的一部分
21、；这是抛物线的一部分；第12页/共24页把参数方程化为普通方程常用方法有三种：把参数方程化为普通方程常用方法有三种：1.1.代入法：代入法：代入法：代入法：利用其中一个等式解出参数利用其中一个等式解出参数利用其中一个等式解出参数利用其中一个等式解出参数t,t,然后代入另然后代入另然后代入另然后代入另一个等式消去参数一个等式消去参数一个等式消去参数一个等式消去参数2.2.三角法：三角法：三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征
22、根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征,整体上消去参数整体上消去参数整体上消去参数整体上消去参数在消参过程中注意在消参过程中注意在消参过程中注意在消参过程中注意变量变量变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根，必须根，必须根，必须根据参数的取值范围，确定据参数的取值范围，确定据参数的取值范围，确定据参数的取值范围，确定f(t)f(t)和和和和g(t)g(t)值域得值域得值域得值域得x x、y y的取值范的取值范的取值范的取值范围。围。围。围。第13页/共24页把普通方程化为参数方程的方法：把普通方程化为参数方程的方法：普通方程
23、化为参数方程需要引入参数；普通方程化为参数方程需要引入参数；普通方程化为参数方程需要引入参数；普通方程化为参数方程需要引入参数；一般地一般地一般地一般地,如果知道变量如果知道变量如果知道变量如果知道变量x,yx,y中的一个与参数中的一个与参数中的一个与参数中的一个与参数t t的关系的关系的关系的关系,例如例如例如例如x=f(t)x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与，把它代入普通方程，求出另一个变量与，把它代入普通方程，求出另一个变量与，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数参数参数参数t t的关系的关系的关系的关系y=g(t)y=g(t)，那么，那么，那么，那么:就是曲线的参数方程
24、。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,yx,y的的的的取值范围保持一致取值范围保持一致取值范围保持一致取值范围保持一致第14页/共24页例：例：求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设设设为参数；为参数；为参数；为参数；(2)(2)设设设设为参数为参数为参数为参数.解：把解：把解：把解：把因此，此椭圆的参数方程为因此，此椭圆的参数方程为因此，此椭圆的参数方程为因此，此椭圆的参数
25、方程为解：把解：把解：把解：把椭圆的参数方程为：椭圆的参数方程为：椭圆的参数方程为：椭圆的参数方程为：和和第15页/共24页因而与因而与因而与因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；不等价；不等价；练习练习练习练习:曲线曲线曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.在在在在A A、B B、C C中，中，中，中，x,yx,y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而而而而在在在在D D中，中，中，中，x,yx,y范围与范围与范围与范围与y=xy=x2 2中中中中x,yx,y的范围相同的范围相同的
26、范围相同的范围相同，代入代入代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，从而从而从而从而D D是曲线是曲线是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的的的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在在在在y=xy=x2 2中，中，中，中
27、，x xR,y0R,y0，解：解：解：解：第16页/共24页1.已知动圆方程已知动圆方程 为参数），那么圆心的轨迹是为参数），那么圆心的轨迹是（）A.椭圆椭圆 B.椭圆的一部分椭圆的一部分 C.抛物线抛物线 D.抛物线的一部分抛物线的一部分解：圆心轨迹的参数方程为：消去参数得：D 课堂练习第17页/共24页 .（2009 广东卷）广东卷）若直线若直线 （为参数）与为参数）与 直线直线 （为参数）垂直，则为参数）垂直，则 _.解：，得 高考链接第18页/共24页3 3 已知已知已知已知x x、y y满足满足满足满足,求求求求的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已
28、知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为第19页/共24页 1.解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在解：取投放点为原点，飞机飞行航线所在直线为直线为X轴，过原点和地心的直线为轴，过原点和地心的直线为Y轴轴建立平建立平面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：面直角坐标系，得到被投放物资的轨迹方程为：（t是参数，表示时间）是参数，表示时间）令令 解得解得 ，当，当 时，时，由方程得到由方程得到 即飞机投放救灾物资时飞机高度约为即飞机投放救灾物资时飞机高度约为490m 教材习题答案第20页/共24页 2.解：设经过时间解：设经过时间t,动点的位置是动
29、点的位置是 M（x,y）,那么：那么：x-2=3t，y-1=4t于是点于是点M的轨迹方程的参数为：的轨迹方程的参数为：x=2+3t,y=1+4t 3.解：不妨设的外接圆的半径为解：不妨设的外接圆的半径为1，建立如图，建立如图 平面直角坐标系，使点平面直角坐标系，使点B,C关于关于X轴轴 对称，那么外接圆的参数方程是：对称，那么外接圆的参数方程是：ABCO（t t为参数）（为参数）第21页/共24页 A,B,C的坐标分别为（的坐标分别为（1，0），），设点设点M ，则，则4.解：解：（1）直线；直线；（2）以以 为端点的一段抛物线弧为端点的一段抛物线弧（3）双曲线双曲线第22页/共24页5.解解（1）（为参数）为参数）（2）（为参数）为参数）第23页/共24页感谢您的欣赏第24页/共24页