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1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程第第1页页/共共59页页复习复习圆的参数方程圆的参数方程1.圆心在原点圆心在原点,半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:2.圆心为圆心为(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？它的参数方程是什么样的？第第2页页/共共59页页MM如图如图,以原点为圆心以原点为圆心,分别以分别以a,b(ab0)为半径作两个圆为半径作两个圆,点点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点与小圆的交点,过点过点A作作ANOx,垂足为垂足为N,过点过点B作作BMAN,垂足为垂足为M,x xOOy yA AN NB
2、B设以设以设以设以OxOx为始边，为始边，为始边，为始边，OAOA为终边的角为为终边的角为为终边的角为为终边的角为，点点点点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)。那么点那么点那么点那么点A A的横坐标为的横坐标为的横坐标为的横坐标为x x，点，点，点，点B B的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为的纵坐标为y y。由于点由于点由于点由于点A,BA,B均在角均在角均在角均在角 的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:y yNMNMx xONON 这是中心在原点这是中心在原点这是中心在原点这是中心在原点O,O,焦
3、点在焦点在焦点在焦点在x x轴上的椭圆的轴上的椭圆的轴上的椭圆的轴上的椭圆的参数方程。参数方程。参数方程。参数方程。常数常数常数常数a a、b b分别是椭分别是椭分别是椭分别是椭圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴圆的长半轴长和短半轴长。长。长。长。在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程在椭圆的参数方程中，通常规定参数中，通常规定参数中，通常规定参数中，通常规定参数 的范的范的范的范围为围为围为围为|OA|cos|OA|cosacosacos，|OB|sin|OB|sinbsinbsin第第3页页/共共59页页OAMxyNB椭圆的标准方程椭圆的标准方程:椭圆的
4、参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义:xyO圆的标准方程圆的标准方程:圆的参数方程圆的参数方程:x2+y2=r2的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程:是是AOX=,不是不是MOX=.称为点称为点称为点称为点MM的离心角的离心角的离心角的离心角 第第4页页/共共59页页小小小小 结结结结 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角离心角离心角一般地：一般地：一般地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参
5、数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的分别是椭圆的分别是椭圆的分别是椭圆的长半轴长和短半长半轴长和短半长半轴长和短半长半轴长和短半 轴长轴长轴长轴长.ab.ab第第5页页/共共59页页练习练习 把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程第第6页页/共共59页页 练习练习练习练习 OO是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，是坐标原点，P P是椭圆是椭圆是椭圆是椭圆 上上上上离心角为离心角为离心角为离心角为-/6-/6所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OPOP的倾角
6、的正切值的倾角的正切值的倾角的正切值的倾角的正切值是是是是 .解：把解：把解：把解：把代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程可得可得可得可得P P点坐标点坐标点坐标点坐标所以直线所以直线所以直线所以直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是的倾角的正切值是:第第7页页/共共59页页xyOM解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为(为参数为参数为参数为参数)，所以可设点所以可设点所以可设点所以可设点MM的坐标为的坐标为的坐标为的坐标为由点到直线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点由点到直
7、线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点MM到直线的距离为到直线的距离为到直线的距离为到直线的距离为 例例例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点上求一点上求一点MM，使，使，使，使MM到直到直到直到直线线线线 l l：x+2y-10=0 x+2y-10=0的距离最小的距离最小的距离最小的距离最小.第第8页页/共共59页页 例例例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点上求一点上求一点MM，(1)(1)使使使使MM到直线到直线到直线到直线 l l：x+2y-10=0 x+2y-10=0的距离最小的距离
8、最小的距离最小的距离最小.第第9页页/共共59页页yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例例2、已知椭圆、已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求，求矩形矩形ABCD的最大面积。的最大面积。第第10页页/共共59页页双曲线的参数方程双曲线的参数方程第第11页页/共共59页页A ABBB BOOy yx xMM AA以原点以原点以原点以原点O O为圆心为圆心为圆心为圆心,a a,b b(a a0,0,b b0)0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C C1 1,C C2.2.设设设设A A为圆为圆为圆为圆C C1 1上任一点上任一点上任一点上任一
9、点,作直线作直线作直线作直线OAOA,过过过过A A作圆作圆作圆作圆C C1 1的切线的切线的切线的切线AAAA 与与与与x x交于点交于点交于点交于点A A,过圆过圆过圆过圆C C2 2与与与与x x轴的交点轴的交点轴的交点轴的交点B B作圆作圆作圆作圆C C2 2的的的的切线切线切线切线BBBB 与直线与直线与直线与直线OAOA交于点交于点交于点交于点B B。过点过点过点过点AA,B B 分别作分别作分别作分别作y y轴轴轴轴,x x轴的平行线轴的平行线轴的平行线轴的平行线A A MM,B B MM交于点交于点交于点交于点MM,设设设设OAOA与与与与OXOX所成角为所成角为所成角为所成角
10、为(0,20,2),),/2,/2,3/2)3/2)求点求点求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程,并说出点并说出点并说出点并说出点MM的轨迹。的轨迹。的轨迹。的轨迹。研究双曲线研究双曲线研究双曲线研究双曲线的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程第第12页页/共共59页页 A ABBB BOOy yx xMM AA第第13页页/共共59页页baoxy)MBA事实上事实上事实上事实上第第14页页/共共59页页(t 是参数是参数,t 0)化为普通方程化为普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.练习练习:4第第15页页/共共59页页第第16
11、页页/共共59页页不妨设不妨设不妨设不妨设MM为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线则直线则直线则直线MAMA的方程为的方程为的方程为的方程为 解得点解得点解得点解得点A A的横坐标为的横坐标为的横坐标为的横坐标为 平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形MAOBMAOB的面积为的面积为的面积为的面积为 由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形MAOBMAOB的面积恒为定值，的面积恒为定值，的面积恒为定值，的面积恒为定值，与点与点与点与点MM在双曲线上的位置无关在双曲线上的
12、位置无关在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关第第17页页/共共59页页说明：说明：说明：说明：这里参数这里参数这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾的倾的倾的倾斜角不同斜角不同斜角不同斜角不同.双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒与三角恒与三角恒与三角恒等式等式等式等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方相比较而得到，所以双曲线的参数方相比较而得到，所以双曲线的参数方相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换程的实质是三
13、角代换程的实质是三角代换程的实质是三角代换.第第18页页/共共59页页例例3第第19页页/共共59页页 例例例例4 4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点取顶点取顶点A A2 2(a,0),(a,0),弦弦弦弦AB AB OxOx，弦弦弦弦ABAB对对对对A A1
14、1张直角，张直角，张直角，张直角，同理对同理对同理对同理对A A2 2也张直角也张直角也张直角也张直角第第20页页/共共59页页MMOOy yx x B BAA 例例例例5 5 已知双曲线，已知双曲线，已知双曲线，已知双曲线，A A，B B是双曲线同支是双曲线同支是双曲线同支是双曲线同支上相异两点，线段上相异两点，线段上相异两点，线段上相异两点，线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴相交于点轴相交于点轴相交于点轴相交于点P P ,求证：求证：求证：求证：，解：设解：设解：设解：设A A，B B坐标分别为坐标分别为坐标分别为坐标分别为则中点为则中点为则中点为
15、则中点为MM于是线段于是线段于是线段于是线段ABAB中垂线方程为中垂线方程为中垂线方程为中垂线方程为将将将将 代入上式代入上式代入上式代入上式,(A A，B B相异相异相异相异)，第第21页页/共共59页页 例例例例6 6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。离之积是常数。离之积是常数。离之积是常数。第第22页页/共共59页页MMF FOOY YX XA A前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻 t t 为参数的抛物线的参数
16、方程为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程为例，其中为例，其中为例，其中为例，其中p p为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。第第23页页/共共59页页 设设设设M(x,y)M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除
17、顶点外的任意一点，以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作为终边的角记作为终边的角记作 显然，当显然，当显然，当显然，当 在在在在 内变化时，点内变化时，点内变化时，点内变化时，点MM在在在在抛物线上运动，并且对于抛物线上运动，并且对于抛物线上运动，并且对于抛物线上运动，并且对于 的每一个值，的每一个值，的每一个值，的每一个值，在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点在抛物线上都有唯一的点MM与之对应，因与之对应，因与之对应，因与之对应，因此，可以取此，可以取此，可以取此，可以取 为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛物线的参数为参数来探求抛
18、物线的参数方程方程方程方程.因为点因为点因为点因为点MM在在在在 的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得由方程由方程由方程由方程(为参数为参数为参数为参数)这是抛物线这是抛物线这是抛物线这是抛物线(不包括顶点不包括顶点不包括顶点不包括顶点)的参数方程的参数方程的参数方程的参数方程.第第24页页/共共59页页如果令如果令如果令如果令则有则有则有则有（t t为参数）为参数）为参数）为参数）(为参数为参数为参数为参数)当当当当t=0t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表
19、示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),(0,0),因此，当因此，当因此，当因此，当 时，时，时，时，（t t为参数）为参数）为参数）为参数）就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数 t t 表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数的任意一点与原点连线的斜率的倒数第第25页页/共共59页页C练习练习第第26页页/共共59页页 例例例例1 1 如图，如图，如图，如图，OO为原点，为原点，为
20、原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线为抛物线为抛物线 上上上上异于顶点的两动点，且异于顶点的两动点，且异于顶点的两动点，且异于顶点的两动点，且OAOAOBOB，OMOMABAB于于于于MM，求点，求点，求点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程第第27页页/共共59页页当点当点当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？第第28页页/共共59页页第第29页页/共共59页页 练习练习 已知椭圆已知椭圆C1:及抛物线及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；
21、若；若C1C2，求，求m的取值范围。的取值范围。代入得代入得 cos2+4cos+2m-1=0所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1,1内有解；内有解；第第30页页/共共59页页 3 3 已知已知已知已知A,B,CA,B,C是抛物线是抛物线是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个点，上的三个点，上的三个点，上的三个点，且且且且BCBC与与与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直线轴垂直，直线ABAB和和和和ACAC分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于D,ED,E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶
22、点平分两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习练习第第31页页/共共59页页 4 经过抛物线经过抛物线y2=2px(p0)的顶点的顶点O任作两条互相任作两条互相垂直的线段垂直的线段OA和和OB，以直线，以直线OA的斜率的斜率k为参数，求线为参数，求线段段AB的中点的中点M的参数方程。的参数方程。解：直线解：直线OA的方程为的方程为y=kx，直线，直线OB的方程为的方程为由由y2=2px和和y=kx，得，得A点坐标为点坐标为同理同理B点坐标点坐标(2pk2,-2pk)第第32页页/共共59页页 5 5 已知椭圆已知椭圆已知椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点上任意一
23、点上任意一点MM，(除短轴端点除短轴端点除短轴端点除短轴端点外外外外)与短轴端点与短轴端点与短轴端点与短轴端点B B1 1,B,B2 2的连线分别与的连线分别与的连线分别与的连线分别与x x轴交于轴交于轴交于轴交于P,QP,Q两点，两点，两点，两点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。为定值。为定值。第第33页页/共共59页页 练习练习练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线直线直线 与曲线与曲线与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点，则恒有公共点
24、，则mm的范围是：的范围是：的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过直线恒过直线恒过点点点点当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足第第34页页/共共59页页抛物线的参数方程抛物线的参数方程第第35页页/共共59页页直线的参数方程直线的参数方程第第36页页/共共59页页请同学们回忆请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式两点式:点斜式点斜式:一般式一般式:温故知新温故知新第第37页页/共共59页页问题情景问题情景第第38页页/共共59页页M0(x0，y
25、0)M(x,y)解：在直线上任取一点解：在直线上任取一点M(x，y)，则，则xOy第第39页页/共共59页页探究思考探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方程中参数所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点的绝对值等于直线上动点M到定点到定点M0的距离的距离.这就是这就是 t 的几何的几何意义，要牢记意义，要牢记xOy第第40页页/共共59页页分析分析:3.点点M是否在直线上是否在直线上1.用普通方程去解还用普通方程去解还是用参数方程去解；是用参数方程去解；2.分别如何解分别如何解.ABM(-1，2)xyO第第41页页/共共59页页解：因为把点解：因为把点M的坐标代入直的坐标代入
26、直线方程后，符合直线方程，所线方程后，符合直线方程，所以点以点M在直线上在直线上.M(-1，2)ABxOy第第42页页/共共59页页M(-1，2)ABxOy第第43页页/共共59页页探究思考探究思考第第44页页/共共59页页B第第45页页/共共59页页B第第46页页/共共59页页5.动点动点M作匀速直线运动，它在作匀速直线运动，它在x轴和轴和y轴方轴方向的分速度分别是向的分速度分别是3cm/s和和4cm/s，直角坐标，直角坐标系的长度单位是系的长度单位是1cm，点，点M的起始位置在点的起始位置在点M0(2，1)处，求点处，求点M的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.第第47页页/共共59页页第第4
27、8页页/共共59页页第第49页页/共共59页页辨析辨析:例例:动点动点M作等速直线运动，它在作等速直线运动，它在 x 轴和轴和 y 轴方轴方向分速度分别为向分速度分别为 9，12，运动开始时，点，运动开始时，点 M 位于位于A(1，1)，求点，求点 M 的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程.请思考请思考:此时的此时的t有没有明确的几有没有明确的几何意义何意义?没有没有第第50页页/共共59页页重要结论重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式直线的参数方程可以写成这样的形式:第第51页页/共共59页页第第52页页/共共59页页第第53页页/共共59页页第第54页页/共共59页页例例3 当前台风中心
28、当前台风中心P在某海滨城市在某海滨城市O向东向东300km处处生成，并以生成，并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移动度方向移动.已知距台风中心已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭台风侵袭?PMOyx第第55页页/共共59页页第第56页页/共共59页页思考：思考：在例在例3中，海滨城市中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时受台风侵袭大概持续多长时间？间？如果台风侵袭的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半比如：当前半径为径为250km，并以，并以10km/h的速度不断增大的速度不断增大)，那，那么问题又该如何解决？么问题又该如何解决？第第57页页/共共59页页小结小结:1.直线参数方程直线参数方程2.利用直线参数方程中参数利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化的几何意义，简化求直线上两点间的距离求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.探究探究:直线的直线的参数方程形式参数方程形式是不是唯一的是不是唯一的|t|=|M0M|第第58页页/共共59页页感谢您的欣赏感谢您的欣赏第第59页页/共共59页页