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1、会计学1选修参数方程曲线的参数方程选修参数方程曲线的参数方程曲线的参数方程第1页/共34页？救援点救援点投放点投放点 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处100m/s100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。因此因此,不易直接
2、建立不易直接建立x,yx,y所满足的关系式。所满足的关系式。x x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y y表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，第2页/共34页x xy y500500o o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1 1）沿）沿oxox作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2 2）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？在这
3、个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？t t时刻，水平位移为时刻，水平位移为x=100tx=100t，离地面高度，离地面高度y y，即：，即：y=500-gty=500-gt22/2/2，物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得x10.10mx10.10m；即即500-gt500-gt22/2=0/2=0，解得，解得，t10.10st10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。第3页/共34页 参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如
4、果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，参数是联系变数参数是联系变数x,yx,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。第4页/共34页例例1:1:已知曲线已知曲线CC的参数方
5、程是的参数方程是 （为参数）（为参数）(1)(1)判断点判断点MM11(0(0，1)1)，MM22(5(5，4)4)与曲线与曲线CC的位置关系；的位置关系；(2)(2)已知点已知点MM33（6 6，a a）在曲线）在曲线CC上，求上，求a a的值。的值。解：解：(1)(1)把点把点MM11的坐标的坐标(0,1)(0,1)代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所以，所以MM11在曲线上在曲线上把点把点MM22的坐标的坐标(5,4)(5,4)代入方程组，得到代入方程组，得到这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点MM22不在曲线不在曲线CC上上(2)(2)因为点因为点MM33(6,a)(6
6、,a)在曲线在曲线CC上，所以上，所以解得解得t=2,a=9 t=2,a=9 所以，所以，a=9.a=9.第5页/共34页 练习：一架救援飞机以练习：一架救援飞机以100m/s100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标在离灾区指定目标1000m1000m时投放救援物资（不计空气阻力时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速重力加速 g=10m/sg=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m1m）x=100t=1000,x=100t=1000,t=10,t=10,y=gty=gt22/2=1010/2=101022/2
7、=500m./2=500m.第6页/共34页练习练习 1 1、曲线、曲线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是()()B BA(1A(1，4)4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0)B(25/16,0)C(1,-3)D(25/16,0)2 2、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是()()DDA(2A(2，7)7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)0)3 3 已知曲线已知曲线CC的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)M(5,4)该曲线上该曲线上.(1)(1)求常数求常数a;a;（2
8、 2）求曲线）求曲线CC的普通方程的普通方程 (1)(1)由题意可知由题意可知:1+2t=5:1+2t=5，atat22=4=4；a=1a=1，t=2t=2；代入第二个方程得代入第二个方程得:y=(x-1):y=(x-1)22/4/4 第7页/共34页 4 4 动点动点MM作等速直线运动作等速直线运动,它在它在x x轴和轴和y y轴方向的速度分别为轴方向的速度分别为5 5和和12,12,运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2),P(1,2),求点求点MM的轨迹参数方程的轨迹参数方程.解：设动点解：设动点M(x,y)M(x,y)运动时间为运动时间为t t，依题意，得，依题意，得A A 一个定
9、点一个定点 B B 一个椭圆一个椭圆 C C 一条抛物线一条抛物线 D D 一条直线一条直线D第8页/共34页A A B B C C D D5 5下列在曲线下列在曲线上的点是上的点是 ()()B第9页/共34页（4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法参数方程求法:（1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P P坐标为坐标为;（2 2）选取适当的参数）选取适当的参数;（3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式
10、;第10页/共34页圆的参数方程第11页/共34页y yx xo or rM(x,y)M(x,y)圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点的位置呢？怎样刻画运动中点的位置呢？第12页/共34页那么那么=t.=t.设设|OM|=r|OM|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有如果在时刻如果在时刻t t，点，点MM转过的角度是转过的角度是，坐标是，坐标是M(x,y)M(x,y)，即即这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程
11、参数参数 t t 有物理意义有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻)考虑到考虑到=t=t，也可以取，也可以取 为参数，于是有为参数，于是有第13页/共34页圆心为原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程.其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是OMOM00绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，OMOM00转过的角度转过的角度 圆心为圆心为 ，半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注
12、明参数及参数的取值范围。第14页/共34页解：解：x x22+y+y22+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程,(x+1),(x+1)22+(y-3)+(y-3)22=1=1 参数方程为参数方程为(为参数为参数)例例1 1 已知圆方程已知圆方程x x22+y+y22+2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。将它化为参数方程。练习：练习：第15页/共34页 例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是(x,y
13、),(x,y),则点则点P P的坐标是的坐标是(2cos(2cos,2sin,2sin).).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是第16页/共34页例例3 3 已知已知x x、y y满足满足,求求的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为第17页/共34页2 2 点点P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线为参数为参数)上任意一点，则上任意一点，则的最大值为的最大值为()()A 1 B 2 C DA 1 B 2 C D练习练习1 P(x,y)1 P(x,y)是曲线是曲线(为参数为参数)上任意一点上任意一点
14、,则则的最大值为的最大值为()()A AA A36 B36 B6 C6 C26 D26 D2525DD3 3 圆圆的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是()()A A圆圆 B B直线直线 CC椭圆椭圆 DD双曲线双曲线A A第18页/共34页(为参数为参数)上任意一点上任意一点,则则4 4 点点P(x,y)P(x,y)是曲线是曲线的最大值为的最大值为 .5 5 已知点已知点P P是圆是圆 上一个动点上一个动点,定点定点A(12,0)A(12,0)，点点MM在线段在线段PAPA上，且上，且2|PM|=|MA|2|PM|=|MA|，当点，当点P P在圆上运动在圆上运动 时，求点时，求点MM的轨迹的轨迹解：设
15、点解：设点MM的坐标是的坐标是(x,y),(x,y),则点则点P P的坐标是的坐标是(4cos(4cos,4sin,4sin).).2|PM|=|MA|,2|PM|=|MA|,由题设由题设(x-12,y)=(x-12,y)=因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是第19页/共34页 例例4(1)4(1)点点P(m,n)P(m,n)在圆在圆x x22+y+y22=1=1上运动上运动,求点求点Q(m+n,2mn)Q(m+n,2mn)的轨迹方程的轨迹方程;(2)(2)方程方程x x22+y+y22-2(m+3)x+2(1-4m-2(m+3)x+2(1-4m22)y+16m)y+16m
16、44+9=0.+9=0.若该方程表示一个圆若该方程表示一个圆,求求mm的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程.已知已知P(x,y)P(x,y)圆圆CC：x x22+y+y226x6x4y+12=04y+12=0上的点。上的点。(1)(1)求求 的最小值与最大值的最小值与最大值(2)(2)求求x xy y的最大值与最小值的最大值与最小值例例5 5 最值问题最值问题例例6 6 参数法求轨迹参数法求轨迹 已知点已知点A(2,0),PA(2,0),P是是x x22+y+y22=1=1上任一点上任一点,的平分线交的平分线交PAPA于于QQ点点,求求QQ点的轨迹点的轨迹.AQ:QP=2:1第
17、20页/共34页 例例7 7 已知已知A A（11，0 0）、）、B B（1 1，0 0）,P,P为圆为圆上的一点上的一点,求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点的坐标点的坐标.第21页/共34页参数方程和普通方程的互化 第22页/共34页 把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3,sin=y;cos=x-3,sin=y;于是于是(x-3)(x-3)22+y+y22=1=1，轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了 在例在例1 1中，由参数方程中，由参数方程直接判断点直接判断点MM的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，一般地一般
18、地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：第23页/共34页 例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？解解:(1)(1)由由得得代入代入得到得到这是以（这是以（1
19、1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以把把得到得到第24页/共34页(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x(2)y=1-2x22（-1x1-1x1）(3)x2-y=2（x2或x-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。第25页/共34页练习练习 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程(2)(2)第26页/共34页B B例例2 2 求参数方程求参数方程表示（表示（）（A A）双曲线的一支）双曲线的一支,这支过点（这支过点（1,1/21,1/2）;（B B）抛物线的一部分）抛
20、物线的一部分,这部分过（这部分过（1,1/21,1/2）;（CC）双曲线的一支）双曲线的一支,这支过点（这支过点（1,1/2);1,1/2);（DD）抛物线的一部分）抛物线的一部分,这部分过（这部分过（1,1/2).1,1/2).第27页/共34页 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消去参数然后代入消去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据
21、参数方程本身的结构特征,整体上消去整体上消去 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中注意：在消参过程中注意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定，必须根据参数的取值范围，确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。小小 结结第28页/共34页普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线如：直线 l l 的普通方程是的普通方程是 2x-y+2=02x-y+2=0，可以化为参数方程
22、，可以化为参数方程:一般地一般地,如果知道变量如果知道变量x,yx,y中的一个与参数中的一个与参数t t的关系的关系,例如例如x=f(t)x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t t的关系的关系y=g(t)y=g(t)，那么，那么:就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,yx,y的取值范围保持一致的取值范围保持一致第29页/共34页例例3 3 求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设为参数；为参数；(2)(2)设设为参数为参数.为什么两个参数方程合起来才
23、是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？第30页/共34页在在y=xy=x22中，中，x x R,y0R,y0，因而与因而与 y=xy=x22不等价；不等价；练习练习:曲线曲线y=xy=x22的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.在在A A、B B、CC中，中，x,yx,y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而在而在DD中，中，x,yx,y范围与范围与y=xy=x22中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，代入代入y=xy=x22后满足该方程，后满足该方程，从而从而DD是曲线是曲线y=xy=x22的一种参数方程的一种参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参
24、数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.解：解：第31页/共34页 (1)(1)，设，设，t t为参数；为参数；(2)(2)，设，设，为参数。为参数。练习练习 把下列普通方程化为参数方程：把下列普通方程化为参数方程：练习练习 把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程(3)(3)(t(t是参数是参数)第32页/共34页 练习练习 P P是双曲线是双曲线 (t(t是参数是参数)上任一点，上任一点，F F11,F,F22是该焦点：求是该焦点：求F F11F F22的重心的重心GG的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。第33页/共34页