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1、椭圆的参数方程第1页/共59页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？第2页/共59页MM如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,x xOOy yA AN NB B设以设以OxOx为始边，为始边，OAOA为终边的角为为终边的角为，点点MM的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)。那么点那么点A A的横坐标为的横坐标为x x，点，点B B的纵坐标为的纵坐标为y y。由于点由于点A,BA,B均
2、在角均在角 的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:y yNMNMx xONON 这是中心在原点这是中心在原点O,O,焦点在焦点在x x轴上轴上的椭圆的参数方程。的椭圆的参数方程。常数常数a a、b b分别是椭圆的长半轴分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定在椭圆的参数方程中，通常规定参数参数 的范围为的范围为|OA|cos|OA|cosacosacos，|OB|sin|OB|sinbsinbsin第3页/共59页OAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2的几何意义是AO
3、P=PA椭圆的参数方程:是AOX=,不是MOX=.称为点称为点MM的离心角的离心角 第4页/共59页小小 结结 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长轴长.ab.ab第5页/共59页练习 把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(3)(4)把下列参数方程化为普通方程第6页/共59页 练习练习 OO是坐标原点，是坐标原点，P P是椭圆是椭圆 上上离心角为离心角为-/6-/6所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OPOP的倾
4、角的正切值是的倾角的正切值是 .解：把解：把代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程可得可得P P点坐标点坐标所以直线所以直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是:第7页/共59页xyOM解：因为椭圆的参数方程为解：因为椭圆的参数方程为(为参数为参数)，所以可设点所以可设点MM的坐标为的坐标为由点到直线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点MM到直线的距离为到直线的距离为 例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点MM，使，使MM到直线到直线 l l：x+2y-10=0 x+2y-10=0的距离最的距离最小小.第8页/共59页 例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点
5、上求一点MM，(1)(1)使使MM到直线到直线 l l：x+2y-10=0 x+2y-10=0的距离的距离最小最小.第9页/共59页yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例2、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。第10页/共59页双曲线的参数方程第11页/共59页A ABBB BOOy yx xMM AA以原点以原点OO为圆心为圆心,a a,b b(a a0,0,b b0)0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C C1 1,C C2.2.设设A A为圆为圆C C1 1上任一点上任一点,作直线作直线OAOA,过过A A作圆作圆C C1 1的切线的切线AAAA 与与x
6、 x交于点交于点A A,过圆过圆C C2 2与与x x轴的交点轴的交点B B作圆作圆C C2 2的切线的切线BBBB 与直线与直线OAOA交于点交于点B B。过点过点AA,B B 分别作分别作y y轴轴,x x轴的平行线轴的平行线A A MM,B B MM交于点交于点MM,设设OAOA与与OXOX所成角为所成角为(0,20,2),),/2,/2,3/2)3/2)求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程,并说出点并说出点MM的轨迹。的轨迹。研究双曲线研究双曲线的参数方程的参数方程第12页/共59页 A ABBB BOOy yx xMM AA第13页/共59页baoxy)MBA事实上事实上第14页/共59
7、页(t 是参数,t 0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4第15页/共59页第16页/共59页不妨设不妨设MM为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线则直线MAMA的方程为的方程为 解得点解得点A A的横坐标为的横坐标为 平行四边形平行四边形MAOBMAOB的面积为的面积为 由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形MAOBMAOB的面积恒为定值，的面积恒为定值，与点与点MM在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关第17页/共59页说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾斜角不同的倾斜角不同.双
8、曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第18页/共59页例3第19页/共59页 例例4 4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点A A2 2(a,0),(a,0),弦弦AB AB OxOx，弦弦ABAB对对A A1 1张直角，张直角，同理对同理对A A2 2也张直角也张直角第2
9、0页/共59页MMOOy yx x B BAA 例例5 5 已知双曲线，已知双曲线，A A，B B是双曲线同支上相异两点，线段是双曲线同支上相异两点，线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴相交于点轴相交于点P ,P ,求证：求证：，解：设解：设A A，B B坐标分别为坐标分别为则中点为则中点为MM于是线段于是线段ABAB中垂线方程为中垂线方程为将将 代入上式代入上式,(A A，B B相异相异)，第21页/共59页 例例6 6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。第22页/共59页抛物线的参数方程第23页/共59页
10、MMF FOOY YX XA A前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻 t t 为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程为例，其中为例，其中p p为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。第24页/共59页 设设M(x,y)M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作 显然，当显然，当 在在 内变化时，点内变化时，点MM在抛物线上运动，并且在抛物线上运动，并且对于对于 的每一个值，在抛物线上都有唯一的点的每
11、一个值，在抛物线上都有唯一的点MM与之对应，因此，与之对应，因此，可以取可以取 为参数来探求抛物线的参数方程为参数来探求抛物线的参数方程.因为点因为点MM在在 的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得由方程由方程(为参数为参数)这是抛物线这是抛物线(不包括顶点不包括顶点)的参数方程的参数方程.第25页/共59页如果令如果令则有则有（t t为参数）为参数）(为参数为参数)当当t=0t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),(0,0),因此，当因此，当 时，时，（t t为参数）为参数）就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数 t
12、t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数倒数第26页/共59页C练习第27页/共59页 例例1 1 如图，如图，OO为原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线 上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两动点，且OAOAOBOB，OMOMABAB于于MM，求点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程第28页/共59页当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？第29页/共59页第30页/共59页 练习 已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。代入得
13、 cos2+4cos+2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1,1内有解；第31页/共59页 3 3 已知已知A,B,CA,B,C是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个点，且上的三个点，且BCBC与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线ABAB和和ACAC分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于D,ED,E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习第32页/共59页 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直
14、线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)第33页/共59页 5 5 已知椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点MM，(除短轴端点外除短轴端点外)与短轴端点与短轴端点B B1 1,B,B2 2的连线的连线分别与分别与x x轴交于轴交于P,QP,Q两点，两点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。第34页/共59页 练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线 与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则mm的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过点点当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲
15、线恒有公共点时，必满足第35页/共59页直线的参数方程第36页/共59页请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式:温故知新第37页/共59页问题情景第38页/共59页M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y)，则xOy第39页/共59页探究思考|t|=|M0M|M0M所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是 t 的几何意义，要牢记xOy第40页/共59页分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解；2.分别如何解.ABM(-1，2)xyO第41页/共59页解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符
16、合直线方程，所以点M在直线上.M(-1，2)ABxOy第42页/共59页M(-1，2)ABxOy第43页/共59页探究思考第44页/共59页B第45页/共59页B第46页/共59页5.动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别是3cm/s和4cm/s，直角坐标系的长度单位是1cm，点M的起始位置在点M0(2，1)处，求点M的轨迹的参数方程.第47页/共59页第48页/共59页第49页/共59页辨析:例:动点M作等速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向分速度分别为 9，12，运动开始时，点 M 位于A(1，1)，求点 M 的轨迹的参数方程.请思考:此时的t有没有明确的几何意义?没有第5
17、0页/共59页重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式:第51页/共59页第52页/共59页第53页/共59页第54页/共59页例3 当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?PMOyx第55页/共59页第56页/共59页思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250km，并以10km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？第57页/共59页小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数 t 的几何意义，简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.探究:直线的参数方程形式是不是唯一的|t|=|M0M|第58页/共59页感谢您的观看。第59页/共59页