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1、2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程第1页/共30页椭圆形的实物第2页/共30页第3页/共30页每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。第4页/共30页 观察做图过程(1)绳长应当大于F1、F2之间的距离。(2)由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。数学实验(1)取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的 图形探究点1：椭圆的画法及图像第5页/共30页椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F
2、2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.MF2F1第6页/共30页|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|椭圆椭圆|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|线段线段|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|不存在不存在思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结】第7页/共30页探究点探究点2 2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？设设M是椭圆上任意一点，椭圆的两个
3、焦点分别是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为为F1 1和和F2 2，椭圆的焦距为，椭圆的焦距为2c(c0)2c(c0)，M与与F1 1和和F2 2 的距的距离的和等于离的和等于2a(2a2c0)2a(2a2c0)，求椭圆的轨迹方程，求椭圆的轨迹方程.第8页/共30页第一步：如何建立适当的坐标系呢？想一想：想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？的方法呢？OxyMF1F2方案一F1F2方案二方案二OxyM第9页/共30页解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，
4、线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).x xF F1 1F F2 2M MOy y第10页/共30页由椭圆的定义得由椭圆的定义得因为因为移项，再平方移项，再平方第11页/共30页整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得第12页/共30页第13页/共30页总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx第14页/共30页 图 形方 程焦 点F(c，
5、0)F(0，c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a (2a2c0)定 义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表注:由标准方程判断焦点位置“大定轴”第15页/共30页例1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并写出焦点坐标答：在 X 轴（-3，0）和（3，0）答：在 y 轴（0，-5）和（0，5）答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）第16页/共30页下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明 ，写出焦点坐标.?练习：练习：第17页/共30页0b33.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 .(0,4)椭圆方程的
6、理解椭圆方程的理解第18页/共30页例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a=4，b=1，焦点在 x 轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；(3)两个焦点的坐标是（0，-2）和（0，2），并且经 过点P（-1.5，2.5）.解：因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为 c=2，且 c2=a2-b2 4=a2-b2 又椭圆经过点 联立可求得：椭圆的标准方程为(法一)xyF1F2P或类型一类型一 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程第19页/共30页(法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为第20页/共30页练习练习1 1 已知椭圆的两个
7、焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),),(2,0),(2,0),并且经过点并且经过点 .求它的标准方程求它的标准方程.解解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x x轴上轴上,所以设所以设它的标准方程为它的标准方程为由椭圆的定义知由椭圆的定义知第21页/共30页【变式练习1】已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 和和 ，求椭圆的，求椭圆的标准方程标准方程.解：设椭圆的标准方程为则有 解得 所以，所求椭圆的标准方程为 .第22页/共30页【变式练习2】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经过点求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过经过点P(P(2,0)2,0)和和Q(0,Q(0,
8、3)3)的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程.第23页/共30页例3.已知椭圆的方程为：，请填空：(1)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=_.8（2）若）若CD为过左焦点为过左焦点F1的弦，则的弦，则 F2CD的周长为的周长为_0类型二类型二 椭圆的定义及其应用椭圆的定义及其应用第24页/共30页练习1.在ABC中，已知A（-3，0）、B（3，0），动点C满足|CA|、|AB|、|CB|成等差数列，则点C的轨迹方程为 。第25页/共30页例4.已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程解：设PBr
9、圆P与圆A内切，圆A的半径为10两圆的圆心距PA10r，即PAPB10(大于AB)点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即点P的轨迹方程为 1第26页/共30页练习：一动圆过点B（-3，0），内切，求该动圆圆心M 的轨迹方程。而且与圆3-3xyMABC第27页/共30页例5.已知点P 是椭圆 一点 ，F1和F2 是椭圆的焦点，PF1F2d若F1PF2=90，求 F1PF2的面积若F1PF2=60，求 F1PF2的面积若F1PF2=，求 F1PF2的面积PF1F2d解 由椭圆定义得:|PF1|+|PF2|=10又a=5 b=3,c=4,2c=8由勾股定理得:|PF1|2+|PF2|2=642-得 2|PF1|PF2|=36由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60=64 由余弦定理得:|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos=642-得 3|PF1|PF2|=362-得 2(1+cos)|PF1|PF2|=36第28页/共30页练习1.已知F1、F2是椭圆 的焦点，P为椭圆上一点，且 ，则 的面积为_.第29页/共30页谢谢大家观赏！第30页/共30页