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1、高中数学选修高中数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程2.2.12.2.1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程启动思维 1在圆柱形玻璃杯中盛半杯水，当杯体直立时，水面的边界是一个圆；当杯体倾斜一定角度时(水面与杯壁相交)，水面的边界就会变成另一种曲线，这种曲线将会给我们椭圆的直观形象这一现象反映在数学上就是如果用一个与圆柱体轴线斜交的平面截这个圆柱，那么平面与这个圆柱侧面的交线就是椭圆，椭圆究竟是什么样的点的轨迹呢？启动思维2将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部，并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是什么曲线，并思考：(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定的还是运动
2、的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？启动思维走进教材1 1椭圆的定义椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，叫做椭圆的焦点，叫做椭圆的焦距距离的和等于常数距离的和等于常数这两个定点两焦点间的距离走进教材2椭圆的标准方程椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点 a、b、c的关系(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)c2a2b2知识回顾平面内与两个定点F1，F2的_的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_，_叫做椭圆的焦距两两焦点间距离焦点间距离距离的
3、和等于常数距离的和等于常数(大于大于|F1F2|)焦点焦点1椭圆的定义知识回顾2.椭圆的方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点坐标a、b、c的关系(-c,0)、(c,0)(0,-c)、(0,c)c2a2-b2典例导航题型一：利用椭圆的定义求轨迹方程 已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴 由已知|AB|AC|BC|16，又|BC|6，|AB|AC|10即点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，|BC|6【解析】xyOABC形成轨迹的几何条件定值典例导航变式训练求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切
4、的动圆圆心的轨迹方程.化为动点满足的几何条件典例导航题型二：与椭圆有关的轨迹问题【解析】代入法变式训练解：当01时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当1时，点M的轨迹是圆；当1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆典例导航题型三：椭圆中的焦点三角形问题【解析】焦点三角形的边角关系典例导航由椭圆定义|PF1|+|PF2|=4即|PF2|=4-|PF1|变式训练|PF1|PF2|2a|F1F2|2cF1PF260求|PF1|PF2|变式训练课时训练C48 自主练习c=2a2b2D自主练习定义定义D自主练习椭圆类型椭圆类型2a=8典例导航题型一题型一：求椭圆的标准方程：求椭圆的标准方程典例导航(1)两个
5、焦点坐标分别是(3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)【解析】典例导航(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.【解析】典例导航【解析】由已知解得：a2=15,b2=5【解析】由已知解得：a2=5,b2=15与ab矛盾典例导航典例导航【另解】设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0)则由已知3m+4n=112m+n=1变式训练变式训练典例导航题型二：椭圆定义的应用题型二：椭圆定义的应用典例导航(1)由椭圆方程得a2100，b236，于是a10，c8，所以椭圆的焦点坐标为F1(8,0)，F2(8,0)(2)ABF2的周长为|AB|AF2|BF2
6、|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)，由椭圆的定义可知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，故|AB|AF2|BF2|4a40.【解析】变式训练变式训练归纳小结1椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为数学问题，再结合代数知识解题而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形的边角关系处理(2)椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|PF2|看成一个整体或者配方等灵活应用归纳小结2利用待定系数法确定椭圆的标准方程求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式归纳小结求轨迹方程的方法有多种:定义法、直接法、代入法、相关点坐标分析法等.具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试.通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何条件有多种,这些条件能让我们开拓眼见.再见再见