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1、第四节矩阵的初等变换本讲稿第一页，共二十七页定义定义下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)2本讲稿第二页，共二十七页初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换定义定义 由单位矩阵由单位矩阵E经过经过一次一次初等变换，得到的矩阵称初等变换，得到的矩阵称为为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有下列初等矩阵有下列3种种:3本讲稿第三页，共二十七页(1)对对E施以第施以第(1)种初等变换得到的矩阵种初等变
2、换得到的矩阵.i 行行i 列列j 行行j 列列4本讲稿第四页，共二十七页(2)对对E施以第施以第(2)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.5本讲稿第五页，共二十七页(3)对对E施以第施以第(3)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.6本讲稿第六页，共二十七页(2)对对A施以某种初等施以某种初等列列变换变换,相当于用同种的相当于用同种的n阶初等矩阶初等矩阵阵右右乘乘A.(1)对对A施以某种施以某种初等初等行行变换变换,相当于用同种的相当于用同种的m阶初等矩阶初等矩阵阵左左乘乘A.定理定理 设设A为为 阶矩阵，阶矩阵，证略。证略。例例17本讲稿第七页，共二十七页初等矩阵的逆矩阵还是同类型
3、的初等矩阵初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：8本讲稿第八页，共二十七页等价关系的性质：等价关系的性质：如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过有限次初等变换经过有限次初等变换得到，则称矩阵得到，则称矩阵A和和B为为等价等价的，记作的，记作 定义定义9本讲稿第九页，共二十七页定理定理任意一个任意一个 矩阵矩阵A都与一个形式为都与一个形式为 的矩阵等价，称之为的矩阵等价，称之为A的的标准形标准形。证略。证略。10本讲稿第十页，共二十七页将下列矩阵化为标准形将下列矩阵化为标准形.例例2(1)解解11本讲稿第十一页，共二十七页12本讲稿第十二页，共二十七页若方阵若方阵A A可逆，则它的标准形必
4、为单位矩阵，可逆，则它的标准形必为单位矩阵，初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是其中其中均为初等矩阵，均为初等矩阵，可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。由由得得其中其中均为初等矩阵，均为初等矩阵，13本讲稿第十三页，共二十七页可逆阵可经过若干次初等可逆阵可经过若干次初等行行变换化为单位矩阵。变换化为单位矩阵。表明：表明：表明：表明：如果用一系列初等如果用一系列初等行行变换把可逆矩阵变换把可逆矩阵A化为单化为单位矩阵位矩阵E，那么同样地用这些初等，那么同样地用这些初等行行变换就把单位变换就把单位矩阵矩阵E化为化为 利用初等变
5、换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：14本讲稿第十四页，共二十七页 解解例例315本讲稿第十五页，共二十七页16本讲稿第十六页，共二十七页即即初等初等行行变换变换17本讲稿第十七页，共二十七页例例4解解18本讲稿第十八页，共二十七页19本讲稿第十九页，共二十七页20本讲稿第二十页，共二十七页例例5解解假设矩阵假设矩阵A和和B 满足关系式：满足关系式：其中其中 求矩阵求矩阵B。21本讲稿第二十一页，共二十七页22本讲稿第二十二页，共二十七页于是于是因此因此23本讲稿第二十三页，共二十七页例例5或解或解假设矩阵假设矩阵A和和B 满足关系式：满足关系式：其中其中 求矩阵求矩阵B。24本讲稿第二十四页，共二十七页列变换列变换行变换行变换从而获得从而获得Y。25本讲稿第二十五页，共二十七页例例6解解求解下列矩阵方程：求解下列矩阵方程：转置，转置，26本讲稿第二十六页，共二十七页练习：练习：P69 习题二习题二27本讲稿第二十七页，共二十七页