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1、第四节实对称矩阵的相似矩阵1本讲稿第一页，共十二页对称阵对称阵此时此时 A 称为称为实对称矩阵实对称矩阵.性质性质1.1.实对称阵的特征值全为实数实对称阵的特征值全为实数.一、实对称矩阵的特征值的有关性质一、实对称矩阵的特征值的有关性质2本讲稿第二页，共十二页性质性质2.证明证明:3本讲稿第三页，共十二页定理八定理八.那么那么其最大线其最大线性无关组所包含的向量个数恰为性无关组所包含的向量个数恰为k.推论推论.实对称矩阵必与对角矩阵相似实对称矩阵必与对角矩阵相似.定理九定理九.若若A为为n阶实对称阵阶实对称阵,则总有正交则总有正交00阵阵P，使，使4本讲稿第四页，共十二页二、求正交矩阵的方法二
2、、求正交矩阵的方法求正交矩阵的具体步骤为求正交矩阵的具体步骤为:5本讲稿第五页，共十二页例例.解解:第一步第一步:求出求出A的所有特征值的所有特征值.A的特征多项式的特征多项式:故特征值为故特征值为:6本讲稿第六页，共十二页第二步第二步:求出求出A的特征向量的特征向量.取同解方程组取同解方程组:7本讲稿第七页，共十二页8本讲稿第八页，共十二页基础解系基础解系:取同解方程取同解方程:9本讲稿第九页，共十二页基础解系基础解系:第三步第三步:将特征向量正交规范化将特征向量正交规范化.10本讲稿第十页，共十二页得单位特征向量得单位特征向量:11本讲稿第十一页，共十二页作矩阵作矩阵12本讲稿第十二页，共十二页