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1、第四节矩阵的初等变换第1页，本讲稿共27页定义定义 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c”)2第2页，本讲稿共27页初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换定义定义 由单位矩阵由单位矩阵E经过经过一次一次初等变换，得到的矩阵初等变换，得到的矩阵称为称为初等矩阵初等矩阵。初等矩阵有下列初等矩阵有下列3种种:3第3页，本讲稿共27页(1)对对E施以第施以第(1)种初等变换得到的矩种初等变换得到
2、的矩阵阵.i 行i 列j 行j 列4第4页，本讲稿共27页(2)对对E施以第施以第(2)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.5第5页，本讲稿共27页(3)对对E施以第施以第(3)种初等变换得到的矩阵种初等变换得到的矩阵.6第6页，本讲稿共27页(2)对对A施以某种初等施以某种初等列列变换变换,相当于用同种的相当于用同种的n阶初阶初等矩阵等矩阵右右乘乘A.(1)对对A施以某种施以某种初等初等行行变换变换,相当于用同种的相当于用同种的m阶初阶初等矩阵等矩阵左左乘乘A.定理 设A为 阶矩阵，证略。证略。例例17第7页，本讲稿共27页初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵初等矩阵的逆矩阵还是同类型
3、的初等矩阵：8第8页，本讲稿共27页等价关系的性质：等价关系的性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称矩阵A和B为等价的，记作 定义9第9页，本讲稿共27页定理定理任意一个 矩阵A都与一个形式为 的矩阵等价，称之为的矩阵等价，称之为A的的标准形标准形。证略。证略。10第10页，本讲稿共27页将下列矩阵化为标准形将下列矩阵化为标准形.例例2(1)解解11第11页，本讲稿共27页12第12页，本讲稿共27页若方阵若方阵A A可逆，则它的标准形必为单位矩阵，可逆，则它的标准形必为单位矩阵，初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是初等阵是可逆的，且其逆阵仍为初等阵，于是其中均为初等矩阵
4、，可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。可逆阵能表成一些初等矩阵的乘积。由得其中均为初等矩阵，13第13页，本讲稿共27页可逆阵可经过若干次初等可逆阵可经过若干次初等行行变换化为单位矩阵。变换化为单位矩阵。表明：表明：表明：表明：如果用一系列初等行变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E，那么同样地用这些初等行变换就把单位矩阵E化为 利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：14第14页，本讲稿共27页 解解例例315第15页，本讲稿共27页16第16页，本讲稿共27页即即初等初等行行变换变换17第17页，本讲稿共27页例例4解解18第18页，本讲稿共27页19第19页，本讲稿共27页20第20页，本讲稿共27页例例5解解假设矩阵A和B 满足关系式：其中 求矩阵B。21第21页，本讲稿共27页22第22页，本讲稿共27页于是于是因此因此23第23页，本讲稿共27页例5或解或解假设矩阵A和B 满足关系式：其中 求矩阵B。24第24页，本讲稿共27页列变换行变换从而获得从而获得Y。25第25页，本讲稿共27页例例6解解求解下列矩阵方程：求解下列矩阵方程：转置，转置，26第26页，本讲稿共27页练习：练习：P69 习题二27第27页，本讲稿共27页