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1、第四节矩阵秩与矩阵第四节矩阵秩与矩阵的等价标准形的等价标准形本讲稿第一页，共二十页主要内容：一、秩的定义；主要内容：一、秩的定义；四、一些重要的性质四、一些重要的性质二、秩的求法；二、秩的求法；2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形矩阵的秩与矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形2本讲稿第二页，共二十页一、秩的定义一、秩的定义例如例如等等等等,它们都是二阶子式它们都是二阶子式.等等等等,它们都是三阶子式它们都是三阶子式.每一个元素都是一阶子式每一个元素都是一阶子式.1、k阶子式：阶子式：说明：说明：1）在在 矩阵矩阵 A 中中,任取任取 k 行行 k 列列,位于这位于这些行列交点
2、上的元素按原次序构成的些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式阶行列式,称为称为 A 的的 k 阶子式阶子式.2）3本讲稿第三页，共二十页 如果矩阵如果矩阵中有一个不为零中有一个不为零的阶子式，的阶子式，且所有阶的子式（如果存在的话）全等于零且所有阶的子式（如果存在的话）全等于零,称为称为A A的的秩秩秩秩,记为记为r(r(A A).例如例如2、矩阵的秩：、矩阵的秩：规定规定:零矩阵的秩是零零矩阵的秩是零.4本讲稿第四页，共二十页回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：回答下面问题：(2)mn 的矩阵的矩阵 A,其秩最大可能是其秩最大可能是?r(A)min(m,n)(3)A 有一个有一
3、个 r 阶子式不为零阶子式不为零,其秩至少是其秩至少是?r(A)r(4)如果如果A 有一个有一个 r 阶子式不为零阶子式不为零,且所有且所有 r+1 阶都等于零阶都等于零,有没有有没有 r+2 阶阶不为零的子式？不为零的子式？如果如果 A 的所有的所有 r 阶子式都等于零阶子式都等于零,A 的秩最大可能是的秩最大可能是 多少多少?(5)r(A)=r(AT)?(6)A为为 n 阶阶可逆矩阵的充要条件是可逆矩阵的充要条件是 r(A)=r(A)=r(AT)n(7)A=O 的充要条件是的充要条件是 r(A)=0r-1(1)矩阵的秩是否惟一矩阵的秩是否惟一?当然惟一当然惟一满秩矩阵满秩矩阵（8）如果如果
4、则：则：没有没有5本讲稿第五页，共二十页初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。初等变换不改变矩阵的秩。秩的基本定理秩的基本定理二、秩的求法：二、秩的求法：即即:则则:例例1.求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩而而解解:而阶子式不存在而阶子式不存在6本讲稿第六页，共二十页秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理秩的基本定理又可叙述为又可叙述为:r(P m A mn Q n)=r(A)(其中其中 P，Q 是可逆矩阵是可逆矩阵)注注：该定理回答了矩阵标准形：该定理回答了矩阵标准形中中 r 是唯一的。它就是矩阵是唯一的。它就是矩阵 A 的秩。的秩。阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶
5、梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数阶梯形矩阵的秩就是其非零行数！由以上例子说明由以上例子说明:于是得到求秩的方法：于是得到求秩的方法：则：则：7本讲稿第七页，共二十页例例1 求矩阵求矩阵 A 的秩的秩建议只用行变换建议只用行变换阶梯形不唯一阶梯形不唯一8本讲稿第八页，共二十页例例2求求 和和9本讲稿第九页，共二十页 例例1三三.矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形10本讲稿第十页，共二十页 用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下用初等变换必能将任何一个矩阵化为如下等价标准形等价标准形等价标准形等价标准形（也称（也称相相相相抵标准形抵标准形抵标准形抵标准形）：）：等价标准形是唯一的
6、。等价标准形是唯一的。(等价标准形定理等价标准形定理)定理定理3如果我们对矩阵如果我们对矩阵11本讲稿第十一页，共二十页定理定理4 4(1)(1)使得使得:(证明略证明略)推论推论1 112本讲稿第十二页，共二十页三、三、秩的一些重要性质秩的一些重要性质秩的一些重要性质秩的一些重要性质其中其中A为为B为为其中其中A和均为和均为13本讲稿第十三页，共二十页14本讲稿第十四页，共二十页永远是奇异矩阵永远是奇异矩阵(不可逆不可逆)有可能是非奇异矩阵（可逆）有可能是非奇异矩阵（可逆）例例315本讲稿第十五页，共二十页证证例例4思考：思考：16本讲稿第十六页，共二十页则则(A)t=6 时时,必有必有 r(P)=1(B)t=6 时时,必有必有 r(P)=2(C)t 6 时时,必有必有 r(P)=1(D)t 6 时时,必有必有 r(P)=2首先首先,又又例例517本讲稿第十七页，共二十页小结小结:一、矩阵秩的定义一、矩阵秩的定义四、关于矩阵秩的一些结论四、关于矩阵秩的一些结论二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵的等价标准形三、矩阵的等价标准形18本讲稿第十八页，共二十页思考题思考题1.1.设设是可逆矩阵，是可逆矩阵，矩阵矩阵则则 无法确定无法确定19本讲稿第十九页，共二十页作业作业:20本讲稿第二十页，共二十页