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1、第四章稳定性分析本讲稿第一页，共十五页将各项系数，按下面的格式排成劳斯表将各项系数，按下面的格式排成劳斯表一、劳斯表一、劳斯表前一页后一页本讲稿第二页，共十五页这样可求得这样可求得n+1行系数行系数 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S S的左半平面，相应的系统是稳定的。的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在式的根在S S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。的右半平面上的个数，相应的系统为
2、不稳定。劳斯稳定判据劳斯稳定判据前一页后一页二阶、三阶系统二阶、三阶系统本讲稿第三页，共十五页 已知一调速系统的特征方程式为已知一调速系统的特征方程式为例例试用劳斯判据判别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面。的右半平面。前一页后一页本讲稿第四页，共十五页已知某调速系统的特征方程式为已知某调速系统的特征方程式为 例例求该系统稳定的求该系统稳定的K值范围。值范围。解：列劳斯表解：
3、列劳斯表)1(167005.41)1(16705175.410)1(16705.41051710123KSKSKSS+-.+由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：数必须全为正值。可得：前一页后一页本讲稿第五页，共十五页劳斯判据特殊情况劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零，而其余各项不全为零（至少有一个劳斯表某一行中的第一项等于零，而其余各项不全为零（至少有一个不为零）不为零）是以一个很小的正数是以一个很小的正数e e来代替为零的这项来代替为零的这项，据此算据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列出其余的各项，
4、完成劳斯表的排列解决的办法解决的办法前一页后一页若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在方程在S S右半平面上根的数目，相应的右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定系统为不稳定如果第一列如果第一列e e上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属(不不)稳定稳定本讲稿第六页，共十五页已知系已知系统统的特征方程式的特征方程式为为试试判判别别相相应应系系统统的的稳稳定性。定性。例例解：列劳斯表解：列劳斯表前一页
5、后一页01234=+3SSS26S+(6e-2)/e-)(062311234SSSSeS1011不稳定，有两个根在不稳定，有两个根在S平面右半部平面右半部本讲稿第七页，共十五页劳斯表中出现全零行劳斯表中出现全零行 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。全零的行。完成劳斯表的排列。解决的办法解决的办法这些对称分布的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的这些对称分布的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的
6、，所以辅助多项式的阶数总是偶数数目总是偶数的，所以辅助多项式的阶数总是偶数前一页后一页表明有对称分布的根表明有对称分布的根这些根都是偶数，所以可以辅助多项式的阶书数总是这些根都是偶数，所以可以辅助多项式的阶书数总是偶数偶数本讲稿第八页，共十五页例如，一个控制系统的特征方程为例如，一个控制系统的特征方程为 列劳斯表列劳斯表显然这个系统显然这个系统处于临界处于临界(不不)稳定状态。稳定状态。sssF16122)(24+=0)4)(2(2)86(216122)(222424=+=+=+=sssssssF前一页后一页 8 24本讲稿第九页，共十五页二、二、劳斯判据的应用劳斯判据的应用实际系统希望实际系
7、统希望S S左半平面上的根距离虚轴有一定的左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。距离。为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线是否有根位于垂线此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的距离虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程度程度”。代入原方程式中，得到以代入原方程式中，得到以 稳定判据能回答特征方程式的根在稳定判据能回答特征方程式的根在S S平面上的平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。分布情况，而不能确定根的具体数据。解决的办法解决的办
8、法设设右侧。右侧。前一页后一页本讲稿第十页，共十五页用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右半平面上，并检验有几个根在垂线的右方。的右方。例例s1s1-0解：列劳斯表解：列劳斯表 第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。前一页后一页本讲稿第十一页，共十五页令令代入特征方程：代入特征方程：式中有负号，显然有根在式中有负号，显然有根在的右方。的右方。列劳斯表列劳斯表第一列的系数符号变化了一次，表示原方第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线程有一个根在
9、垂直直线的右方。的右方。前一页后一页本讲稿第十二页，共十五页已知一单位反馈控制系统如图，试回答已知一单位反馈控制系统如图，试回答 例例时，闭环系统是否稳定？时，闭环系统是否稳定？单位反馈控制系统方块图单位反馈控制系统方块图时，闭环系统的稳定条件是什么？时，闭环系统的稳定条件是什么？排劳斯表排劳斯表 第一列均第一列均为为正正值值，S全部位于左半全部位于左半平面，故平面，故 时，闭环系统的时，闭环系统的特征方程特征方程为为解：解：系统稳定系统稳定前一页后一页本讲稿第十三页，共十五页开开环传递环传递函数函数 闭环闭环特征方程特征方程为为 列列劳劳斯表斯表前一页后一页本讲稿第十四页，共十五页利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。调参数对系统稳定性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 前一页后一页缺点：缺点：不能指出怎样改变结构、参数才能改善系统的稳不能指出怎样改变结构、参数才能改善系统的稳定性定性本讲稿第十五页，共十五页