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1、定理定理1 1注意注意 使用运算法则前提使用运算法则前提,参与运算的极限都存在参与运算的极限都存在.第1页/共35页推论推论第2页/共35页定理定理2 2 说明说明 若定理中若定理中则类似可得则类似可得第3页/共35页1.1.直接利用极限运算法则直接利用极限运算法则第4页/共35页小结小结 代入法代入法例如例如第5页/共35页2.2.无穷小与有界变量乘积仍为无穷小无穷小与有界变量乘积仍为无穷小3.3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系第6页/共35页4.4.分解因式约去零因子分解因式约去零因子(零因子约分法零因子约分法)例例5 5 计算计算例例6 6 计算计算第7页/共35页5.5.有理
2、化约去零因子有理化约去零因子例例7 7 计算计算例例8 8 计算计算例例9 9 计算计算第8页/共35页6.6.分子、分母同除以无穷大量法分子、分母同除以无穷大量法例例1111注意注意第9页/共35页为非负常数为非负常数)一般有如下结果：一般有如下结果：第10页/共35页第11页/共35页7.7.无穷大减无穷大无穷大减无穷大:通分或者有理化通分或者有理化 第12页/共35页第13页/共35页极限计算的思路分析极限计算的思路分析无穷小与有界变量乘积为无穷小无穷小与有界变量乘积为无穷小无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系4.4.分解因式约去零因子分解因式约去零因子直接利用极限运算法则直接利用极
3、限运算法则 5.5.有理化约去零因子有理化约去零因子7.7.通分或者有理化通分或者有理化 状态归类晓状态归类晓定者仅三条定者仅三条悟得转化术悟得转化术极限知多少极限知多少(转化为确定型转化为确定型)6.6.分子、分母同除以一个无穷大分子、分母同除以一个无穷大第14页/共35页二、两个重要极限二、两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第16页/共35页准则一、夹逼定理准则一、夹逼定理注意注意 使用夹逼定理求函数极限时要注意使用夹逼定理求函数极限时要注意:(1(1)(2)(2)第17页/共35页例例2 2 计算计算例例1 1
4、计算计算例例3 3 利用夹逼准则证明：利用夹逼准则证明：例例4 4 计算计算第18页/共35页注 例例5 5 计算计算例例4 4 计算计算第19页/共35页推广推广:()代表相同的表达式代表相同的表达式例例6 6 计算计算第20页/共35页3 计算第21页/共35页准则二、单调有界准则准则二、单调有界准则1.1.准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.2.2.几何解释几何解释例例3 3第22页/共35页2.2.可以证明：对可以证明：对,有有例例8 8 计算计算例例9 9 计算计算第23页/共35页例例10 10 计算计算例例11 11 计算计算推广推广:()代表相同的表达式代表相同
5、的表达式特征：特征：底数底数:1+:1+无穷小无穷小;指数指数:无穷大无穷大,且与底数中的无穷小互为倒数且与底数中的无穷小互为倒数.第24页/共35页第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小在求极限中的应用二、等价无穷小在求极限中的应用第25页/共35页都是无穷小都是无穷小,引例引例但但 极限不同极限不同,反映了各个无穷小趋于反映了各个无穷小趋于0 0的的“快慢速度快慢速度”不不同同.比比要要“快快”的的多多;不存在不存在,与与速度大致相同速度大致相同;与与不具有可比性不具有可比性.第26页/共35页若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小,
6、若若若若若若若若设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是关于是关于 的的k阶阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小,记作记作定义定义第27页/共35页时时又如又如,故故时时,是关于是关于x 的二阶无穷小的二阶无穷小,且且例如例如,当当第28页/共35页时时,例例2 2 证明证明:当当说明说明 例例2实际上还给出了等价关系实际上还给出了等价关系:时时,例例1 1 证明证明:当当第29页/共35页定理定理1 1则在极限存在的则在极限存在的与与是同一
7、变化过程中的无穷小是同一变化过程中的无穷小,且且条件下条件下,有有定理定理2(等价无穷小替换法则等价无穷小替换法则)设设第30页/共35页注意注意1.1.可以替换整个分子或分母可以替换整个分子或分母,也可替换分子也可替换分子或分母中的或分母中的因子因子;2.2.乘除可以替换乘除可以替换,而加与减是不可以替换的而加与减是不可以替换的!第31页/共35页当当时时,上面各式中上面各式中 换成换成均成立均成立.3.3.常用等价无穷小常用等价无穷小:第32页/共35页例例4 4 求求例例7 7 求求例例6 6 求求例例3 3 求求例例5 5 求求第33页/共35页第34页/共35页感谢您的欣赏！第35页/共35页