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1、2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 1.1.向量共线的条件向量共线的条件在学习向量概念的时候在学习向量概念的时候,我们已经定义了什么我们已经定义了什么是是向量共线向量共线(即即平行平行).而我们要知道向量的而我们要知道向量的共共线和平行是同一个含义线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重它与直线的平行、重合不同合不同,两个向量的基线是同一条直线或两条两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时平行直线时,向量都称为向量都称为共线共线(或平行或平行)向量向量,它的表示方法是它的表示方法是a/b，而且由于，而且由于零向量零向量0的的方向不定，所以可以把零向量认为成和任一方向不定，所以可以把
2、零向量认为成和任一向量平行的向量。向量平行的向量。(1).平行向量基本定理平行向量基本定理:这样我们给出的这个这样我们给出的这个平行向量的基本定理平行向量的基本定理,根据它就可以根据它就可以判断两个向量是否共线判断两个向量是否共线了了,实际实际上上,给出的这种判断方法是一种给出的这种判断方法是一种代数的判断方代数的判断方法法,后面在学习了坐标后我们在判断是否共线后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的时也是根据这种方法来判断的.如果如果a=b,则则a/b;反之反之,如果如果a/b,且且b0,则存则存在唯一一个实数在唯一一个实数,使得使得a=b.如如a=2b，则，则a/b；
3、c=2b，则，则c/b.(2).单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a同方向且长度等于同方向且长度等于1的向量的向量,叫做向量叫做向量a的单位向量的单位向量.如果如果a的单位向量记作的单位向量记作a0,由数乘向量的定由数乘向量的定义可知义可知:a=|a|a0或或 例例1.如图如图MN是是ABC的中位线，求证：的中位线，求证：MN=BC，且，且MN/BC.例例2.已知已知a=3e，b=2e，试问向量，试问向量a，b是否是否平行？并求平行？并求|a|:|b|.规定了规定了方向方向和和长度单位长度单位的直线叫做的直线叫做轴轴.2.2.轴上向量的坐标及其运算轴上向量的坐标及其运算
4、 已知轴已知轴l，取单位向量，取单位向量e,使使e的方向与的方向与l同方同方向向,根据向量平行的条件根据向量平行的条件,对轴上任意向量对轴上任意向量a,一定一定存在唯一实数存在唯一实数x,使使a=xe.反过来反过来,任意给定一个实数任意给定一个实数x,我们总能作我们总能作一个向量一个向量a=xe,使它的长度等于这个实数的使它的长度等于这个实数的绝对值绝对值,方向与实数的符号一致方向与实数的符号一致.这里的单位向量这里的单位向量e叫做轴叫做轴l的的基向量基向量,x叫做叫做a在在l上的上的坐标坐标(或数量或数量).x的绝对值等于的绝对值等于a的长的长,当当a与与e同方向时同方向时,x是正数是正数,
5、当当a与与e反向时反向时,x是负是负数数.轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件：轴上两个轴上两个向量相等向量相等的条件是它们的的条件是它们的坐标相等坐标相等;轴上两个轴上两个向量和的坐标向量和的坐标等于两个等于两个向量坐标的和向量坐标的和.向量向量 的坐标常用的坐标常用AB表示表示.小结小结:实数实数x与轴上的与轴上的向量向量a建立起建立起一一对应一一对应关系关系.于是于是可用数值表示向量可用数值表示向量.公式公式(1)AB+BC=AC 设设e是是l上的一个单位向量，在上的一个单位向量，在l上任取三点上任取三点A，B，C，则，则ABe+BCe=ACe,因为因为e0,所以所以AB+BC=
6、AC.公式公式(2)：AB=x2x1(轴上向量坐标公式轴上向量坐标公式)即轴上向量的坐标等于向量即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减终点的坐标减去始点的坐标去始点的坐标。设设e是轴是轴x的基向量的基向量,向量向量a平行于平行于x轴轴,以原以原点点O为始点作为始点作 =a,则点则点P的位置被向量的位置被向量a所所唯一确定。唯一确定。则则 =xe(平行向量基本定理平行向量基本定理)数值数值x是点是点P的位置向量在的位置向量在x轴上的坐标轴上的坐标;反反之亦然之亦然.在数轴在数轴x上上,已知点已知点A的坐标为的坐标为x1,点点B的坐的坐标为标为x2.由公式由公式(1)得得 AB=AO+OB =OA+
7、OB =x2x1.公式公式(3)：|AB|=|x2x1|例例1.已知数轴上三点已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是的坐标分别是4,2,6,求求 的坐标和长度的坐标和长度.解：解：AB=6，|AB|=6;BC=4，|BC|=4；CA=10，|CA|=10.例例2.已知向量已知向量a,b是两非零向量，在下列四是两非零向量，在下列四个条件中，能使个条件中，能使a,b共线的条件是（共线的条件是（）2a3b=4e 且且a+2b=3e 存在相异实数存在相异实数，使，使a b=0 xa+yb=0(其中实数其中实数x,y满足满足x+y=0)已知梯形已知梯形ABCD，其中，其中 =a,=b A B C DA例例
8、3.已知两非零向量已知两非零向量e1,e2不共线不共线,如果如果AB=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2,求证求证:A,B,D三点共线三点共线;练习练习.已知已知e1,e2是两不共线的非零向量是两不共线的非零向量,且且AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若若A,B,D三三点共线点共线,求求k的值的值;1.判断四边形形状判断四边形形状在四边形在四边形ABCD中中,AB=a+2b,BC=4ab,CD=5a3b2.已知数轴上三点已知数轴上三点A,B,C,其中其中A,B的坐标分别为的坐标分别为-3,6,且且CB=2,求向量求向量AB的坐标及点的坐标及点C的坐标的坐标;3.已知数轴上三点已知数轴上三点A,B的坐标分别为的坐标分别为-2,3,且求向且求向量量AB和和BA的坐标的坐标;4.已知已知a,b是两不共线的非零向量是两不共线的非零向量,OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,(1)证明证明:A,B,C三点共线三点共线;(2)若若ka+b与与a+kb共线共线,求求k.