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1、向量共线的条件与轴上向向量共线的条件与轴上向量坐标运算量坐标运算 引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线引入：在学习向量概念时，我们们已给出向量共线的概念：的概念：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行。或互相平行。 应注意，这里说的向量平应注意，这里说的向量平行包含向量基线重合的情形，行包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点与两条直线平行的概念有点不同不同a ab bc cd d 轴的概念轴的概念 规定了方向和长度单位的直规定了方向和长度单位的直 线叫做轴线叫做轴已知轴已知轴 取单位向量取单位向量 ,使使 的方向
2、与的方向与 同方向，根据平行同方向，根据平行的条件，对于轴的条件，对于轴 上任意向量上任意向量 一定存在唯一数一定存在唯一数 ，使，使反过来，任意给定一个实数反过来，任意给定一个实数 ，我们总能作一个向量，我们总能作一个向量 ，使它的长度等于这个实数使它的长度等于这个实数 的绝对值，方向与实数的绝对值，方向与实数的符号一致。的符号一致。lelexexa xaxl轴和数轴轴和数轴 的区别的区别想一想想一想le当 与 同方向时， 是正 数当 与 反方向时， 是负数aaexex 给定一向量给定一向量 能生成与它平行的所有向量的集合能生成与它平行的所有向量的集合 这里的向量这里的向量 叫做轴叫做轴 的
3、基向量。的基向量。 叫做叫做 在在 上的上的坐标（或数量）坐标（或数量） eRxexelxal（其中（其中 ） exa 轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等；轴上两个向量相等的条件是他们的坐标相等； 轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和。设设 于是于是 ，得，得 如果如果 则则 反之，如果反之，如果 ，则，则 ,21exbexa, ba 21xx 21xx , ba exxba)(21OABCle设设 是轴是轴 上的一个基向量上的一个基向量,显然，显然， ， 与与 绝对值相同，绝对值相同，符号相反，即符号相反，即eleABAB eBABA0
4、BAABBAABACBCABeACeBCeABeACeBCAB)(因为因为 oe 所以所以ACBCABOx 设设 向量向量 平行于平行于 轴，以原点轴，以原点 为始点作为始点作 则点则点 的位置被向量的位置被向量 所唯一确定，由平行向量基本所唯一确定，由平行向量基本定理知，存在唯一的实数定理知，存在唯一的实数 使使 ，数值，数值 是点是点 的位置向量在的位置向量在 轴上的坐标，也就是点轴上的坐标，也就是点 在在 轴上的坐标。轴上的坐标。axaOP PaxexOP xPxPxPxa在数轴在数轴 上，已知点上，已知点 的坐标为的坐标为 ，点，点 的坐标的坐标为为 x1xAB2x12xxAB即即数轴
5、上两点距离公式数轴上两点距离公式为为12xxABoA1x302xBPxOBOAOBAOAB12xx 于是得到于是得到 例题讲解三例题讲解三 例例3、 已知数轴上三点已知数轴上三点A、B、C的坐标分别是的坐标分别是4、-2、-6，求求 的坐标和长度。的坐标和长度。CABCAB,O4-2-6l解：解：, 64)2(AB66 AB, 4)2(6BC44 BC,10)6(4CA1010 CA基础知识形成性练习基础知识形成性练习1、把下列向量、把下列向量 表示为数乘向量表示为数乘向量 的形式的形式ab（1） ebea6,3（2）ebea31,8ebea31,32（3）ebea32,43（4）得得aee3
6、)6(21ba21（1） 由由（2）aee8)16(21由由得得ea21（3）aee32)31(2由由得得ba2（4）由由得得aee43)32(89ba89答案：答案：3、在数轴上，已知、在数轴上，已知 求求,BCABAC（1） ; 5, 3BCAB（2）; 7, 5BCAB;23, 8BCAB（3）（4）; 8, 7BCAB (1) (1) AB+BC=AC AC=3+5=8 AB+BC=AC AC=3+5=8 (2) (2) AC=AB+BC=5+(-7)=-2 AC=AB+BC=5+(-7)=-2 (3) (3) AC=AB+BC=(-8)+23=15 AC=AB+BC=(-8)+23=
7、15 (4) (4) AC=AB+BC=-7+(-8)=-15 AC=AB+BC=-7+(-8)=-154、已知数轴上三点、已知数轴上三点 、 、 的坐标分别为的坐标分别为 求求 、 、 的坐标和长度的坐标和长度ABC, 5 , 2, 8 ABBCCA设设 、 、 的坐标分别为的坐标分别为 ABCxxx3,2, 16)8(212xxAB6AB7)2(523xxBC7BC135831xxCA13CA 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 不共线，如果不共线，如果 求证：求证： 三点共线三点共线1e2e,3221eeAB,23621eeBC.8421eeCDDBA,ABeeeeeeeeeeCDB
8、CABAD6)32(6181284236322121212121向量向量 与向量与向量 共线，且有共同起点共线，且有共同起点 故故三点共线。三点共线。 ADAB,ADBA,解：解：变式引申变式引申已知非零向量已知非零向量 和和 不共线，欲使不共线，欲使 和和 共线，是确定共线，是确定 的值。的值。1e2e21eek21eke k解解 ：因为：因为 和和 共线共线 21eek21eke )(2121ekeeek所以存在实数所以存在实数 ，使，使 21) 1()(ekek则则由于由于 与与 不共线，不共线，1e2e010kk1k只能有只能有 ，则，则向量共线的实质是向量相等，即存在唯一的实数向量共
9、线的实质是向量相等，即存在唯一的实数 使使 = = a本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。本节课主要运用了直观、类比、特殊到一般的思维方法。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。同学们要认真体会这些思维方法，提高理性思维的能力。轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向轴上向量的坐标运算给出了数轴上两点的坐标公式和向量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。量的坐标运算公式。定义了轴上两个向量求和的公式。定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，定理为解决三点共线和直线平行问题提供了一种方法，要证三点共线或直线平行，任取两点确定两个向量，要证三点共线
10、或直线平行，任取两点确定两个向量，看能否找唯一实数看能否找唯一实数 ，使两向量相等，把向量平行的，使两向量相等，把向量平行的问题转化问题转化 为寻求实数为寻求实数 使向量使向量 相等问题。相等问题。 b)(oa 作业：练习册英才名题作业：练习册英才名题 已知向量已知向量 ，其中，其中 不共不共线，向量线，向量 问是否存在这样的实数问是否存在这样的实数 ，使向，使向量量 与与 共线？共线？212132,32eebeea21,ee2192eec,badc解：假设存在这样的实数解：假设存在这样的实数 使使 与与 共共 线线 ， ,badc)32()32(2121eeeebad21)33()22(ee
11、要使要使 与与 共线，则应共线，则应有有实数实数 ，使，使 即即ckd kdc212192)33()22(ekekee由由kk9332222得得故存在这样的故存在这样的 使使 与与 共线共线,dc 某人骑车以每小时某人骑车以每小时a a公里的速度向东行驶，感到风从正北公里的速度向东行驶，感到风从正北 方吹来，而当速度为方吹来，而当速度为2 2a a公里时，感到风从东北方向吹来，公里时，感到风从东北方向吹来， 试问实际风速和风向。试问实际风速和风向。vaa解解: :设设 表示人以每小时表示人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量。在无公里的速度向东行驶的向量。在无 风时此人感到的风速为风时此人感
12、到的风速为 。设实际风速为。设实际风速为 ,那么此人所那么此人所 感到的风速向量为感到的风速向量为 .设设 ，由于，由于 从而从而aaavaOBaOA2,PAOAPOavPABOPAv这就是感到这就是感到从正北方向从正北方向吹来得风速。吹来得风速。 由于由于 ，从而，从而 于是，当此人的速度是原来的于是，当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是向吹来的风速就是由题意，得由题意，得从而从而 为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，故即即答：实际吹来的风是风速为答：实际吹来的风是风速为 的西北风。的西北风。 PBOBPOPBav2PBAOBABOPAPBO,450PBOaPBPO2av2a22、已知：在、已知：在 中，中， 求证求证 ： ，并且，并且ABC.31,31ACANABAMBCMN31BCMN 因为因为 所以所以 AMANMN)(31BCAC BC31BCMNBCMN31,AMNCB