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1、X2022/11/14信息学科立体化教材离散时间信号 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望X2022/11/14信息学科立体化教材22.1 离散时间信号离散时间信号2.1.1 几种常用序列几种常用序列2.1.2 序列的周期性序列的周期性 2.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列用单位脉冲序列来表示任意序列 2.1.4 序列的运算序列的运算 2.1.5 序列的能量序列的能量 X2022/11/14信息学科立体化教材32.1 离散时间信号离散时间信号 离散时
2、间信号离散时间信号(序列序列)离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列不连续的序列。离散时间信号在数学上可用时间序列n来来表示，表示，n的取值范围为整数，的取值范围为整数，n取其他值没有意义。取其他值没有意义。离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如离散时间信号可以是由模拟信号通过采样得到，例如对模拟信号进行等间隔采样，对模拟信号进行等间隔采样，在数值上与模拟信号的关系为在数值上与模拟信号的关系为X2022/11/14信息学科立体化教材42.1 离散时间信号离散时间信号 离散时间信号的时域表
3、示离散时间信号的时域表示 离散时间信号可以用公式表示离散时间信号可以用公式表示 离散时间信号还可以用集合符号离散时间信号还可以用集合符号.表示表示X2022/11/14信息学科立体化教材52.1 离散时间信号离散时间信号 离散时间信号也可以用图形表示离散时间信号也可以用图形表示x(n)x(3)x(1)x(4)x(-4)x(-3)x(-2)x(2)x(-1)x(0)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nX2022/11/14信息学科立体化教材62.1.1 几种常用序列几种常用序列 1.单位脉冲序列（单位抽样）单位脉冲序列（单位抽样）(n)1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nX
4、2022/11/14信息学科立体化教材72.1.1 几种常用序列几种常用序列 2.单位阶跃序列单位阶跃序列 和和 的关系为的关系为-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 nu(n)1X2022/11/14信息学科立体化教材82.1.1 几种常用序列几种常用序列 3.矩形序列矩形序列 和和 、的关系为：的关系为：0 1 2 3 N-1 nRN(n)1X2022/11/14信息学科立体化教材92.1.1 几种常用序列几种常用序列 4.实指数序列实指数序列 式中，式中，a为实数。当为实数。当|a|1时，序列时，序列是发散的。是发散的。a为负数时，序列是为负数时，序列是摆动的。摆动的。a20 1 2
5、 3 4 nanu(n)a4a3a1X2022/11/14信息学科立体化教材102.1.1 几种常用序列几种常用序列 5.复指数序列复指数序列 或或 它具有实部和虚部，它具有实部和虚部，0是复正弦的数字域频率。是复正弦的数字域频率。如果用极坐标表示，则如果用极坐标表示，则 因此因此X2022/11/14信息学科立体化教材112.1.1 几种常用序列几种常用序列 6.正弦型序列正弦型序列 式中：式中：A为幅度，为幅度，0为数字域的频率，它反映了序列变化为数字域的频率，它反映了序列变化的速率，的速率，为起始相位。为起始相位。X2022/11/14信息学科立体化教材122.1.1 几种常用序列几种常
6、用序列 7.用用MATLAB产生离散信号的函数产生离散信号的函数 MATLAB中许多函数都可用来产生离散信号，例如三中许多函数都可用来产生离散信号，例如三角函数、指数函数、角函数、指数函数、rand函数等，关于这些函数的用法可函数等，关于这些函数的用法可参见参见MATLAB中的中的help。这里主要介绍信号处理中的专用。这里主要介绍信号处理中的专用函数。函数。(1)单位脉冲函数单位脉冲函数 单位脉冲序列的产生函数如下：单位脉冲序列的产生函数如下：X2022/11/14信息学科立体化教材132.1.1 几种常用序列几种常用序列 function x,n=impseq(n0,n1,n2)%产生产生
7、 x(n)=delta(n-n0);n1=n,n0=n2%x,n=impseq(n0,n1,n2)if(n0 n2)|(n1 n2)error(参数必须满足参数必须满足 n1=n0=n2)end n=n1:n2;%x=zeros(1,(n0-n1),1,zeros(1,(n2-n0);x=(n-n0)=0;X2022/11/14信息学科立体化教材142.1.1 几种常用序列几种常用序列 (2)单位阶跃函数单位阶跃函数 单位阶跃序列的产生函数如下：单位阶跃序列的产生函数如下：function x,n=stepseq(n0,n1,n2)%产生产生 x(n)=u(n-n0);n1=n,n0=n2%x
8、,n=stepseq(n0,n1,n2)if(n0 n2)|(n1 n2)error(参数必须满足参数必须满足 n1=n0=0;X2022/11/14信息学科立体化教材152.1.1 几种常用序列几种常用序列 例例2.1 用用MATLAB产生各种离散序列。产生各种离散序列。解解 MATLAB程序如下：程序如下：x1,n1=impseq(0,-5,5);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);xlabel(n);ylabel(x(n);x2,n2=stepseq(0,-1,10);subplot(2,2,2);stem(n2,x2);xlabel(n);ylabel(x(n);xl
9、im(n2(1),n2(end)X2022/11/14信息学科立体化教材162.1.1 几种常用序列几种常用序列n3=-1:10;x3=stepseq(0,n3(1),n3(end)-stepseq(5,n3(1),n3(end);subplot(2,2,3);stem(n3,x3);xlabel(n);ylabel(x(n);xlim(n3(1),n3(end)n4=0:20;x4=sin(0.3*n4);subplot(2,2,4);stem(n4,x4);xlabel(n);ylabel(x(n);X2022/11/14信息学科立体化教材172.1.1 几种常用序列几种常用序列X2022
10、/11/14信息学科立体化教材182.1.1 几种常用序列几种常用序列 例例2.2 用用MATLAB产生复指数序列。产生复指数序列。解解 MATLAB程序如下：程序如下：n=0:1:20;alpha=-0.1+0.5j;x=exp(alpha*n);subplot(2,2,1);stem(n,real(x);title(实部实部);xlabel(n)X2022/11/14信息学科立体化教材192.1.1 几种常用序列几种常用序列 subplot(2,2,3);stem(n,imag(x);title(虚部虚部);xlabel(n)subplot(2,2,2);stem(n,abs(x);tit
11、le(振幅振幅);xlabel(n)subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x);title(相位相位);xlabel(n)X2022/11/14信息学科立体化教材202.1.1 几种常用序列几种常用序列X2022/11/14信息学科立体化教材212.1.2 序列的周期性序列的周期性 如果对所有如果对所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成，使下面等式成立：立：则称序列则称序列x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N。下面讨论正弦序列的周期性。设下面讨论正弦序列的周期性。设 则则 若若 为整数时，则为整数时，则 根据周期序列的定
12、义可知，这时正弦序列为周期序列，其根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周期序列，其周期满足周期满足 （N、k必须为整数）。必须为整数）。X2022/11/14信息学科立体化教材222.1.2 序列的周期性序列的周期性 （1）当）当 为整数时，为整数时，k=1，正弦序列是以正弦序列是以 为周期的周期为周期的周期序列。序列。例如，例如，这里，这里 ，所以它是一个周期序列，所以它是一个周期序列，最小周期为最小周期为N=10，10nx(n)=sin(0n)X2022/11/14信息学科立体化教材232.1.2 序列的周期性序列的周期性 （2）当）当 为有理数时，设为有理数时，设 其中，其中，k，N为
13、互素的整数，则为互素的整数，则 为最小正整数，为最小正整数，此时正弦序列为周期序列，其周期将大于此时正弦序列为周期序列，其周期将大于 。3）当）当 是无理数时，则任何整数是无理数时，则任何整数k都不能使都不能使N为为正整数，这时正弦序列不是周期序列。正整数，这时正弦序列不是周期序列。X2022/11/14信息学科立体化教材24N=10N=20无周期无周期X2022/11/14信息学科立体化教材252.1.3 用单位脉冲序列来表示任意序列用单位脉冲序列来表示任意序列 任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，任意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加权和，即即 例如例如 可表示成可表示成 X2
14、022/11/14信息学科立体化教材262.1.4 序列的运算序列的运算 序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、差分运算、卷积、尺度变换等。差分运算、卷积、尺度变换等。1.移位移位 移位序列移位序列y(n)为为 当当m为正时，为正时，x(n-m)则是指序列逐项依次延时（右移）则是指序列逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列，当位而给出的一个新序列，当m为负时，为负时，x(n-m)是指依次是指依次超前（左移）超前（左移）m位。位。X2022/11/14信息学科立体化教材272.1.4 序列的运算序列的运算 2.反褶反褶 序列的反褶是将序列
15、以序列的反褶是将序列以n=0的纵轴为对称轴进行对褶。的纵轴为对称轴进行对褶。X2022/11/14信息学科立体化教材282.1.4 序列的运算序列的运算 3.和和 两序列的和是指同序号两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。和序列成的一个新序列。和序列y(n)可表示为可表示为 X2022/11/14信息学科立体化教材292.1.4 序列的运算序列的运算 4.积积 两序列相乘是指同序号两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。乘的序列值逐项对应相乘。乘积序列积序列y(n)可表示为可表示为 X2022/11/14信息学科立体化教材302.1.4 序列
16、的运算序列的运算 5.标乘标乘 序列序列x(n)的标乘是指的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数的每个序列值乘以常数a。标。标乘序列乘序列y(n)可表示为可表示为 X2022/11/14信息学科立体化教材312.1.4 序列的运算序列的运算 6.累加累加 设某序列为设某序列为x(n)，则，则x(n)的累加序列的累加序列y(n)定义为定义为 它表示它表示y(n)在某一个在某一个n0上的值上的值y(n0)等于在这一个等于在这一个n0上上的值的值x(n0)与以前所有与以前所有n上的值上的值x(n)之和。之和。X2022/11/14信息学科立体化教材322.1.4 序列的运算序列的运算 7.差分运算差
17、分运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分 比较以上两式，显然有比较以上两式，显然有 X2022/11/14信息学科立体化教材332.1.4 序列的运算序列的运算 8.卷积和运算卷积和运算 X2022/11/14信息学科立体化教材342.1.4 序列的运算序列的运算 9.尺度变换尺度变换 抽取抽取(decimation)M在原序列中每隔在原序列中每隔M-1点抽取一点点抽取一点f kf Mk M为正整数为正整数内插内插(interpolation)M在序列两点之间插入在序列两点之间插入M-1个点个点X2022/11/14信息学科立体化教材352.1.4 序列的运算序列的运算 例例2.3 用用MA
18、TLAB实现两序列相乘和相加。实现两序列相乘和相加。解解 MATLAB程序如下：程序如下：clc;clear;x1=0,1,2,3,4,3,2,1,0;n1=-2:6;x2=2,2,0,0,0,-2,-2;n2=2:8;y1,n=sigmult(x1,n1,x2,n2);y2,n=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title(序列序列x1)xlabel(n);ylabel(x1(n);X2022/11/14信息学科立体化教材362.1.4 序列的运算序列的运算 subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title(序列序列
19、x2)xlabel(n);ylabel(x2(n);subplot(2,2,3);stem(n,y1);title(两序列相乘两序列相乘)xlabel(n);ylabel(y1(n);subplot(2,2,4);stem(n,y2);title(两序列相加两序列相加)xlabel(n);ylabel(y2(n);X2022/11/14信息学科立体化教材372.1.4 序列的运算序列的运算X2022/11/14信息学科立体化教材382.1.5 序列的能量序列的能量 序列序列x(n)的能量的能量E定义为序列各抽样值的平方和，即定义为序列各抽样值的平方和，即 X2022/11/14信息学科立体化教
20、材392.3 离散时间信号的频域描述离散时间信号的频域描述 2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 2.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性X2022/11/14信息学科立体化教材402.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 连续时间周期信号连续时间周期信号xT(t)的傅立叶变换定义为的傅立叶变换定义为 连续时间非周期信号连续时间非周期信号x(t)的傅立叶变换定义为的傅立叶变换定义为X2022/11/14信息学科立体化教材412.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间
21、信号的傅立叶变换 DTFT:离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform)离散时间信号离散时间信号x(n)的傅立叶变换定义为的傅立叶变换定义为 X(e j)的傅立叶反变换为的傅立叶反变换为 在物理意义上，在物理意义上，X(e j)表示序列的频谱，表示序列的频谱，为数字域频率。为数字域频率。X(e j)一般为一般为 的复变函数，可表示为的复变函数，可表示为 X2022/11/14信息学科立体化教材422.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 其中，其中，XR(e j)，XI(e j)分别为分别为X(e j)的实部和虚部，
22、通常的实部和虚部，通常称称|X(e j)|为幅频特性或幅度谱，而为幅频特性或幅度谱，而()=argX(e j)称为相称为相频特性或相位谱，并且有频特性或相位谱，并且有 X2022/11/14信息学科立体化教材432.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 例例2.14 求矩形序列的傅立叶变换求矩形序列的傅立叶变换 解解 其幅度谱和相位谱分别为其幅度谱和相位谱分别为 X2022/11/14信息学科立体化教材442.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 0222/N|X(ej)|N0(N=5)X2022/11/14信息学科立体化教材452.3.1 离散时间信号
23、的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特性：离散时间信号的傅立叶变换具有以下两个特性：(1)X(e j)是是 的周期函数，周期为的周期函数，周期为2 。由于。由于e-j n=e j(+2)n，故有，故有 (2)当当x(n)为实序列时，为实序列时，X(e j)的幅值的幅值|X(e j)|在区间在区间0 2 内是偶对称函数，相位内是偶对称函数，相位argX(e j)是奇对称函数。是奇对称函数。X2022/11/14信息学科立体化教材462.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 利用利用MATLAB可以实现离散时间信号的傅立叶变换，并可以实现离
24、散时间信号的傅立叶变换，并绘出幅频特性和相频特性曲线，其绘出幅频特性和相频特性曲线，其MATLAB函数如下函数如下 function X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot)%计算离散序列的付立叶变换计算离散序列的付立叶变换%X,magX,angX=FourierTran(x,n)%或或X,magX,angX=FourierTran(x,n,dot)if nargin 3 dot=600;end k=-dot:dot;w=(pi/dot)*k;X2022/11/14信息学科立体化教材472.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 X=x*(exp(-j
25、).(n*w);magX=abs(X);argX=angle(X);subplot(211);plot(w/pi,magX);xlabel(频率频率(单位单位pi);ylabel(|X(e jomega)|);title(幅频特性幅频特性);subplot(212);plot(w/pi,argX/pi);xlabel(频率频率(单位单位pi);ylabel(弧度弧度/pi);title(相频特性相频特性);X2022/11/14信息学科立体化教材482.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 例例2.15 用用MATLAB实现例实现例2.14序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换
26、解解 MATLAB程序如下程序如下 x=1,1,1,1,1;n=0:4;FourierTran(x,n);X2022/11/14信息学科立体化教材492.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 1.序列的傅立叶变换的线性序列的傅立叶变换的线性 如果序列如果序列x(n)和和y(n)的傅立叶变换分别为的傅立叶变换分别为X(e j)和和y(e j)，即，即 则对任何常数则对任何常数a和和b有有 X2022/11/14信息学科立体化教材502.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 2.序列的移位序列的移位 如果如果 则则 即时间的移位，导致频域相移
27、。即时间的移位，导致频域相移。X2022/11/14信息学科立体化教材512.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 3.频域的相移频域的相移 如果如果 则则 即频域的相移相当于对序列进行了调制。即频域的相移相当于对序列进行了调制。X2022/11/14信息学科立体化教材522.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 4.序列的反褶序列的反褶 如果如果 则则 X2022/11/14信息学科立体化教材532.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 5.序列乘以序列乘以n 如果如果 则则 X2022/11/14信息学科立
28、体化教材542.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 6.序列的共轭序列的共轭 如果如果 则则 X2022/11/14信息学科立体化教材552.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 7.序列的卷积序列的卷积 如果如果 则则X2022/11/14信息学科立体化教材562.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 8.序列相乘（频域卷积）序列相乘（频域卷积）如果如果则则 X2022/11/14信息学科立体化教材572.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 若序列若序列xe(n)满足满足 则称序列则称序列
29、xe(n)为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条为共轭对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成件就变成xe(n)=xe(-n)，即，即xe(n)为偶对称序列。为偶对称序列。若序列若序列xo(n)满足满足 则称序列则称序列xo(n)为共轭反对称序列。对于实序列来说，这一为共轭反对称序列。对于实序列来说，这一条件就变成条件就变成xo(n)=-xo(-n)，即，即xo(n)为奇对称序列。为奇对称序列。X2022/11/14信息学科立体化教材582.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列
30、之和，即对称序列之和，即 其中其中 序列的傅立叶变换也可分解成共轭对称分量与共轭反序列的傅立叶变换也可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和，即对称分量之和，即 其中其中 X2022/11/14信息学科立体化教材592.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 分别是共轭对称的与共轭反对称的，即分别是共轭对称的与共轭反对称的，即 与序列情况一样，若傅立叶变换与序列情况一样，若傅立叶变换X(e j)是实函数，且满足是实函数，且满足共轭对称，则它是频率的偶函数，即共轭对称，则它是频率的偶函数，即X(e j)=X(e-j)。若。若X(e j)是实函数，且满足共轭反对称，则它是频率的奇函是
31、实函数，且满足共轭反对称，则它是频率的奇函数，即数，即X(e j)=-X(e-j)。X2022/11/14信息学科立体化教材602.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 设序列设序列x(n)的傅立叶变换为的傅立叶变换为X(e j)，根据前面介绍的，根据前面介绍的性质得，性质得，x*(n)的傅立叶变换为的傅立叶变换为X*(e-j)，x*(-n)的傅立叶的傅立叶变换为变换为X*(e j)。由此可得到的实部和虚部的傅立叶变换。由此可得到的实部和虚部的傅立叶变换分别为分别为 这表明序列这表明序列x(n)实部的傅立叶变换实部的傅立叶变换XR(e j)具有共轭对具有共轭对称性质，而其虚部（
32、包括称性质，而其虚部（包括j在内）的傅立叶变换在内）的傅立叶变换Xo(e j)具有具有共轭反对称性质。共轭反对称性质。X2022/11/14信息学科立体化教材612.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 序列序列x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅立叶的共轭对称分量和共轭反对称分量的傅立叶变换为变换为 这表明序列这表明序列x(n)共轭对称部分的傅立叶变换对应于的共轭对称部分的傅立叶变换对应于的X(e j)实部，而共轭反对称部分的傅立叶变换对应于的实部，而共轭反对称部分的傅立叶变换对应于的X(e j)虚虚部（包括部（包括j在内）。在内）。如果如果x(n)是实序列，则这些性质
33、将变得特别地简单和是实序列，则这些性质将变得特别地简单和有用。这时序列的傅立叶变换是共轭对称的，即有用。这时序列的傅立叶变换是共轭对称的，即 所以，实序列的傅立叶变换的实部是所以，实序列的傅立叶变换的实部是 的偶函数，而的偶函数，而虚部是虚部是 的奇函数。的奇函数。X2022/11/14信息学科立体化教材622.4 连续信号的抽样连续信号的抽样 离散时间信号通常是由连续时间信号经周期抽样得到离散时间信号通常是由连续时间信号经周期抽样得到的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列p(t)，从连续信号，从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信中抽
34、取一系列的离散值，得到抽样信号即离散时间信号，以表示号，以表示xa(t)。抽样是模拟信号数字化处理的第一环节。抽样是模拟信号数字化处理的第一环节。xa(t)再经幅度量化编码后即得到数字信号。再经幅度量化编码后即得到数字信号。完成抽样功能的器件称为抽样器，抽样器可以看成是完成抽样功能的器件称为抽样器，抽样器可以看成是一个电子开关。开关每隔一个电子开关。开关每隔T秒闭合一次，便得到一个输出秒闭合一次，便得到一个输出抽样值。在理想情况下，开关闭合时间无穷短。对实际抽抽样值。在理想情况下，开关闭合时间无穷短。对实际抽样，闭合时间是样，闭合时间是 秒，但秒，但 T。X2022/11/14信息学科立体化教
35、材632.4 连续信号的抽样连续信号的抽样p(t)p(t)(d)TT0000tttx a(t)0ttx a(t)电子开关(a)(b)(c)(e)(f)X2022/11/14信息学科立体化教材642.4 连续信号的抽样连续信号的抽样 1.理想抽样理想抽样 设模拟信号设模拟信号xa(t)，冲激函数序列，冲激函数序列 T(t)以及抽样信号以及抽样信号xa(t)的傅立叶变换分别为的傅立叶变换分别为Xa(j)、M(j)和和Xa(j)，可以，可以推导出傅立叶变换的关系。推导出傅立叶变换的关系。X2022/11/14信息学科立体化教材652.4 连续信号的抽样连续信号的抽样 从上式可以看出，一个连续信号经过
36、理想抽样后，其从上式可以看出，一个连续信号经过理想抽样后，其频谱将以抽样频率频谱将以抽样频率 s=2/T为间隔周期重复，这就是频谱为间隔周期重复，这就是频谱产生的周期延拓，如图所示。注意，频谱大都是复数，图产生的周期延拓，如图所示。注意，频谱大都是复数，图中仅画出了其幅度谱。也就是说，理想抽样信号的频谱，中仅画出了其幅度谱。也就是说，理想抽样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为是频率的周期函数，其周期为 s，而频谱的幅度与原信号，而频谱的幅度与原信号的频谱相差一个常数因子的频谱相差一个常数因子1/T。所以除一个常数因子的区。所以除一个常数因子的区别外，每一个延拓的谱分量与原信号的频谱相同。因
37、此只别外，每一个延拓的谱分量与原信号的频谱相同。因此只要各延拓分量与原频谱不发生频率上的交叠，则有可能恢要各延拓分量与原频谱不发生频率上的交叠，则有可能恢复出原信号。复出原信号。X2022/11/14信息学科立体化教材662.4 连续信号的抽样连续信号的抽样(c)(a)000(b)X2022/11/14信息学科立体化教材672.4 连续信号的抽样连续信号的抽样 这样如果原信号这样如果原信号xa(t)的频谱的频谱Xa(j)，限制在某一最高，限制在某一最高频率范围内，即频率范围内，即 则称其为带限信号。当对带限信号的抽样满足则称其为带限信号。当对带限信号的抽样满足 h s/2时，那么原信号的频谱和
38、各次延拓分量的谱彼此不重叠。时，那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。这时采用一个截止频率为这时采用一个截止频率为 s/2的理想低通滤波器，就可得的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，即可以不失真地还原出原来的连到不失真的原信号频谱，即可以不失真地还原出原来的连续信号。续信号。如果原信号的的最高频率如果原信号的的最高频率 h超过超过 s/2，则各周期延拓，则各周期延拓分量产生频谱交叠，称为混叠现象，因而无法不失真地还分量产生频谱交叠，称为混叠现象，因而无法不失真地还原出原来的连续信号。由于原出原来的连续信号。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠一般是复数，所以混叠也是复数相加。通
39、常称也是复数相加。通常称 s/2为折叠频率或奈奎斯特频率。为折叠频率或奈奎斯特频率。X2022/11/14信息学科立体化教材682.4 连续信号的抽样连续信号的抽样 2.抽样信号的恢复抽样信号的恢复 如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号频谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可知小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可知 故将其通过理想低通滤波器故将其通过理想低通滤波器 就可得到原信号频谱就可得到原信号频谱，即在输出端就恢复出了原连续信号。，即在输出端就恢复出了原连续信号。X2022/11/14信息学科立体化教材692.4 连续信号的抽
40、样连续信号的抽样 理想低通滤波器的输出为理想低通滤波器的输出为 上式就是从抽样信号恢复原连续信号的抽样内插公式。上式就是从抽样信号恢复原连续信号的抽样内插公式。其中其中 称为内插函数。称为内插函数。X2022/11/14信息学科立体化教材702.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样 离散时间信号离散时间信号x(n)的抽样过程如图所示，抽样后得到的抽样过程如图所示，抽样后得到的序列的序列xp(n)称为离散时间抽样序列，其抽样周期为称为离散时间抽样序列，其抽样周期为N。xp(n)x(n)p(n)x(n)nnp(n)xp(n)nX2022/11/14信息学科立体化教材712.5 离散时间信号的抽
41、样离散时间信号的抽样 设序列设序列x(n)，离散时间抽样序列，离散时间抽样序列xp(n)和冲激函数序列和冲激函数序列p(n)的傅立叶变换分别用的傅立叶变换分别用X()、Xp()和和P()。可以推导出可以推导出 可以看出，一个序列经过抽样后得到的离散时间抽样可以看出，一个序列经过抽样后得到的离散时间抽样序列，其频谱是原序列的频谱的周期延拓，周期为抽样频序列，其频谱是原序列的频谱的周期延拓，周期为抽样频率率 s。如图所示。如图所示。X2022/11/14信息学科立体化教材722.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样XP()XP()2S2S-MM0-2-S2S-22P()-MMX()000X20
42、22/11/14信息学科立体化教材732.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样采样定理：采样定理：当抽样频率满足当抽样频率满足 s 2 M。(设原序列的最高频设原序列的最高频率为率为 M)时，时，那么各次延拓分量的谱彼此不重叠。那么各次延拓分量的谱彼此不重叠。Xp()在在-M M之间的部分与之间的部分与X()的频谱相同的频谱相同(只只相差一个系数相差一个系数)。这时采用一个截止频率为。这时采用一个截止频率为 s/2的的理想低通滤波器，就可得到不失真的原序列频谱。理想低通滤波器，就可得到不失真的原序列频谱。也就是说，可以不失真地恢复出原来的序列。也就是说，可以不失真地恢复出原来的序列。X2022/11/14信息学科立体化教材742.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样 若理想低通滤波器的频率特性为若理想低通滤波器的频率特性为 理想低通滤波器的输出为理想低通滤波器的输出为